книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

а четных полиномов — на основании равенства

п—2

при дополнительных условиях

п

1=1 dRn (х)

На рис. 2-1 приведены АЧХ вида

в интервале [0, 2]. В этом случае >QB= 1 Для систем всех порядков. Там же для сравнения пунктиром показана АЧХ

полученная аппроксимацией по Тейлору при п = 3. Для

этой АЧХ также QB=1. ГХри такой нормировке удобно рассматривать свойства фильтров, синтезированных с помощью различных аппроксимаций.

Заметим, что фильтр, синтезированный с помощью монотонных полиномов, имеет в полосе пропускания не­ сколько большее затухание, чем фильтр, полученный на основе аппроксимации по Тейлору. Однако затухание в полосе пропускания возрастает при увеличении часто­ ты монотонно и не превышает допустимого уровня. За пределами полосы пропускания затухание первого филь­ тра значительно больше, чем у второго. С возрастанием частоты отношение

1+ Rn (S2)

1 +2гя

стремится к пределу V rnn, который равен 2, 3, 6, Юсо-

ответственно для систем 3, 4, 5 и 6-го порядков.

Для сравнения АЧХ (2-3) при разных п приведем

их к виду

М (Q0 =

V i + D ,Q* .+ ... + а?п

61

путем повторного нормирования. Для этого масштаб АЧХ

по оси Q растянем в 2Ч/ гпп раз. Граничная частота при использовании полинома п-го порядка равна Q1B= 2{^гпп .

В табл. 2-1 приведены дважды нормированные АЧХ и их граничные частоты Пщ для /г= 3 —6. Хотя при этом все АЧХ имеют разные масштабы по оси частот, но

Рис. 2-1.

в силу ранее изложенного возрастание дважды норми­ рованной граничной частоты свидетельствует о расши­ рении полосы и в естественном масштабе частот.

На основании данных, приведенных в табл. 2-1, мож­ но сделать заключение, что усилители, рассчитанные с помощью монотонных полиномов, имеют большую по­ лосу пропускания, чем усилители, АЧХ которых получе­ ны аппроксимацией по Тейлору. Их ПХ рассматрива­ ются в § 2-5.

В [23, 24] с помощью полиномов Якоби получены монотонные АЧХ фильтров НЧ с максимальной крутиз­ ной спада на граничной частоте. Однако увеличение крутизны спада АЧХ приводит к возрастанию выброса в ПХ. Поэтому сравнение частотных и переходных свойств усилителей, АЧХ которых рассчитаны с исполь­ зованием полиномов Ы © 2), приведенных в [23], и мо-

62

нотонных полиномов Rn(x), показывает, что в первом

случае усилитель имеет меньшую полосу, больший вы-' брос и большую крутизну спада АЧХ, чем во втором. Так как крутизна -спада АЧХ в широкополосных усили­ телях обычно значения не имеет, то для их расчета целесообразнее пользоваться полиномами Яп{х).

б) Амплитудно-частотная характеристика с заданной

неравномерностью

По условиям расчета усилителя часто допускается, некоторая неравномерность АЧХ, а в ряде случаев и наличие экстремумов. Выбрав параметры коррекции усилителя, обеспечивающие неравномерность АЧХ в до­ пустимых пределах, можно расширить полосу пропу­ скания или увеличить коэффициент усиления по сравне­ нию со случаем «гладкой» АЧХ. Особенно существен­ ным этот выигрыш становится в многокаскадном уси­ лителе.

АЧХ, экстремумы которой укладываются между за­ данными значениями МмаКс и ММ1Ш, можно получить различными способами. Один из них, используемый для аппроксимации по Чебышеву [25, 26], состоит в том, что квадрат АЧХ с нулями в бесконечности приравнивается выражению (1 + k R n(x ))~ i. Изменением k добиваются

нужных отклонений АЧХ от единицы.

Известны две модификации метода аппроксимации полиномами Чебышева. В одном случае в качестве по-

63

линома Рп(х) используется квадрат полинома Чебыше­ ва Т2п(х) [16] и принимается, что x = Q . Тогда АЧХ

описывается выражением

M(Q) =

V 1+ kT*n (2)

здесь всегда Ммакс=1, a AfMHS регулируется коэффи­ циентом к. В другой модификации используется поли­ ном Тп(х) и принимается, что x —Q2. Тогда АЧХ колеб­

лется около значения 1, но Ммакс— —ММПи. Это различие отклонений становится особенно заметным при больших допустимых отклонениях. Нетрудно опреде­ лить, что яри использовании 'полинома с равными укло­ нениями от нуля имеется зависимость

имеющий неравные уклонения от нуля, но обеспечиваю­ щий равные уклонения АЧХ.

Определим аппроксимирующий полином Сп(х) так,

чтобы АЧХ вида

1

М (х) =

-\ -С п (х)

удовлетворяла условиям

64

Представим выражение (2-16) в видё

полиномом /г-го порядка

Fnm (X) «'0 (х) = CiX+ С2х2+ ... + Спхп

(2-18)

в интервале [0, 1]. Затем приравняем коэффициенты Си С2, ...» Сп численным значениям коэффициентов выбран­

ного полинома

Рп(х)=РшХ+ Р2 пХ2+ ... +Pnn*n,

(2-19)

чтобы получить АЧХ заданной формы. Это даст п урав­

нений связи вида

Разрешив эту систему относительно коэффициентов Ви В 2у ..., В п, получаем:

Поскольку коэффициенты рц известны, то равенства

(2-20а) можно рассматривать как уравнения связи меж­ ду коэффициентами числителя и знаменателя выражение (2-16), при выполнении которых обеспечивается задан­ ная неравномерность АЧХ в единичном интервале. Эти равенства являются обобщением условий гладкой ап­ проксимации

В {=Л и В 2—В2 ...

на случай неравномерной АЧХ.

68

Определение функций ф1, . . ф** Значительно облег­

чается, если система (2-20) линейна относительно иско­ мых коэффициентов В i, В2, ..., В п. Погрешность расче­

та и объем вычислительной работы зависят от способа аппроксимации выражения (2-17), а также от выбран­ ного полинома (2-19).

Для аппроксимации естественно попытаться исполь­ зовать разложение (2-17) в ряд Маклорена. Но при этом погрешность быстро нарастает с увеличением ко­ эффициентов А{ и приближением х к границе интервала х —\. Покажем это на примере АЧХ яри т —1. В этом случае п коэффициентов Вгопределяются из 'Простых

выражений вида

+ AiCi—i= Bi\ i—1, ...» ti.

Остается невыполненным лишь равенство AiCn=0.. Поэтому можно записать, что

Как показано в дальнейшем, старший коэффициент полинома 0(я) Сп> 1, коэффициент Ai также может до­

стигать величины нескольких единиц, поэтому

что соответствует физически нереализуемым системам.. При малых Ai условия физической реализации удовле--

творяются, но М2(1)^>1 и погрешность в конце интер­ вала очень велика. Поэтому использовать разложение:

69*

в ряд Маклорена для получения А Ч Х с заданной не­

равномерностью не представляется возможным. Необхо­ дима методика, .позволяющая понизить степень полино­ ма числителя, сохраняя основные особенности формы

АЧХ.

Аппроксимация дроби (2-16) в интервале [0, 1] воз­ можна следующим путем. В каждой отдельной точке xQ интервала при заданных А* и С{ равенство

(Z?i — А \ ) X -}- {Bz — А 2) Х“*-j~ .. • ~f* BnX?i ___

1 -f- Л \Х -}- A z X s А т Х т

= С\Х—J—С%Х* —|—... —j—Спх п

4

можно выполнить точно путем соответствующего выбо­ ра В{. Поэтому можно записать:

(Sj — Aj) XQ—j- {Bz — Аг) Хго ~}“ ... ~|—В пх»9== (1 -J- Л.\Хо—|—...

но только в тривиальном случае Аг=0, В{ = Си Но с до­

статочно малой погрешностью оно выполняется, если в правой части хт+п заменить аппроксимирующим по­

содержать хп, как и в левой части. Тогда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и

правой частях, получим некоторую систему уравнений. Из этой системы по заданным А* и Сгопределяются

Погрешность аппроксимации зависит от вида приме­ няемых полиномов и величины коэффициентов А*, воз­ растая с увеличением их. Область значений коэффици­ ентов gi, в которой форма АЧХ близка к требуемой,

зависит от порядка системы и в дальнейшем опреде­ ляется отдельно для систем 3, 4, 5 и 6-го порядков.

Постепенное понижение степени полинома при ап­ проксимации предложено К. Ланцошем [27] и названо -«телескопическим сдвигом путем последовательного со­ кращения». В дальнейшем оно описано Р. Хеммингом {28] под названием метода экономизации. Для выраже-

70