книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

Для примера на рис. 2-6 показан процесс пбДтйГИвания при i4i=12, А2—2 для п = 4, ± AM=0,05. Коэффи­ циенты B jf соответствующие кривым, -приведенным на

рис. 2-6, сведены в табл. 2-4.

Кривая 1 соответствует АЧХ с коэффициентами Ai= = 12, А2= 2 и коэффициентами Bj, полученными при рас­

чете предыдущего варианта равноволновой АЧХ для

Ai=12, А2=0,8. Поэтому для данной АЧХ не выполнено условие М(1) =1. Первый же шаг притягивания (кри­ вая 2) резко приближает форму АЧХ к требуемой. По­ следующие две итерации (кривые 3 и 4) приводят

к АЧХ с экстремумами, отличающимися от требуемых на е<0,01ДМ. Время расчета одного варианта АЧХ на ЭВМ «Минск-22» примерно 5 с.

Для перехода от массивов коэффициентов Ai....... В п

в единичном интервале частот к массивам коэффициен­

ритм Геверца [32]. В данном случае он состоит из сле­ дующих этапов:

Полученные массивы коэффициентов gu dj аппрокси­

мированы полиномами вида (1-6). Коэффициенты поли­ номов приведены в табл. 2-5 для систем 3-го и 4-го по­ рядков, в табл. 2-6 — для 5-го порядка и в табл. 2-7 — для 6-го порядка. Область определения всех полиномов 0< :gi< 2,5; 0 2 ^ 0 , 5 -

2-4. АППРОКСИМАЦИЯ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Фазовые свойства линейных систем можно характе­ ризовать фазочастотной характеристикой (ФЧХ) q> (со)» фазовым временем распространения т = —ф(ю)/со и

82

Т а б л и ц а 2-7

%

1

предпочтение отдается тому или иному параметру. Проектируемая система должна обеспечивать в задан­ ном диапазоне по возможности малые отклонения вы­ бранного параметра от такового в идеальной систе­ ме. В данном случае идеальной является система с ли­ нейной фазовой характеристикой или же с постоянным фазовым или групповым временем распространения.

В теории усилительных устройств [9, 10, 33, 34] широко используются ус­ ловия коррекции ФЧХ, хо­ тя получены они в резуль­ тате аппроксимации по Тейлору не ФЧХ, а группо­ вого времени распростра­ нения. Такая же методи­ ка часто применяется при синтезе фильтров ;[16, 18] и сводится к применению полиномов Бесселя. Пара­

метры коррекции, получаемые при этом, не являются оптимальными, если отыскивается вариант, обеспечи­ вающий наиболее широкую полосу, в которой фазовые искажения не превышают допустимых. Аппроксимация ФЧХ по Чебышеву дает более широкую полосу частот, в которой фазовые искажения не превышают допусти­ мых, но приводит к большим выбросам в ПХ [18].

Малые фазовые искажения в рабочей полосе частот являются лишь одним из условий, которые ставятся при проектировании высококачественных широкополосных и импульсных усилителей. Требуется также малое время нарастания и малый выброс в ПХ, малые частотные искажения. Одновременное выполнение всех этих требо­ ваний невозможно, и необходим разумный компромисс. Некоторые новые возможности в решении этого вопро­ са дает применение монотонных полиномов для аппро­ ксимации ФЧХ.

ФЧХ системы, изображение ПХ которой есть

86

или, иначе,

a (©) = (bi—ai) © + arctg A (©) —arctg В (©).

(2-32)

Будем рассматривать ФЧХ в единичном интервале © =*е[0, 1], что допустимо, так как коэффициенты а*, bj пока произвольны. Аппроксимируем величину а (я)

вэтом интервале полиномом ДфмаксЯп(я) так, чтобы их значения совпали в п+ 1 точке. Как показано в [17, 28],

для минимизации максимальной ошибки интерполяции

винтервале (— 1, 1] надо интерполяционные узлы выби­ рать в нулях полинома Чебышева Tn+i(x). Так как

ФЧХ рассматривается в интервале [0, 1], то следовало бы интерполяционные узлы расположить в нулях поли­ нома T*n+i(x). Тогда погрешность аппроксимации со­

ставила бы

у(п+1) (jC)

А* (л;) = т*Л+1 (" + !)!•

Однако такое расположение узлов не совсем удобно, так как r*n+i(0) 4^.0 и при х= 0 получается весьма за­ метная ошибка интерполяции. Поэтому расположим уз­ лы .интерполяции в нулях лс°,- полинома Т°п(х), опреде­

ляемых выражением (2-24). Погрешность аппроксима­ ции при этом будет

т. е. изменяется незначительно, зато при * = 0 ошиб­ ка обратится в нуль. При таком расположении узлов получаем систему

Обозначим

(bv— xj+ arctg A (xj) —Дфмакс%n (Xj) = Qj,

87

тогда систему (2-33) можно предста&йть в виде

(^j)» • • •> ft-

Эта система линейна относительно коэффициентов Ьг, Ьз, ..., Ъп, входящих только в B (X j), и трансцендент-

цендентное уравнение относительно Ьи Найденное зна­ чение bi=b'\ подставляется в (2-34), определяются 6"2, . . Ь"п и т. д. Таким образом, получается итераци­ онный цикл для определения Ьи причем каждый раз

вычисляются уточненные значения и всех остальных ко­ эффициентов. Как показывает расчет, этот итерацион­ ный процесс быстро сходится и дает значения коэффи­ циентов Ьи при которых система устойчива. Затем ко­

эффициенты нормируются, и производится переход от

аи Ь{ к gi, di.

Определим, например, параметры усилителя с последовательной индуктивной коррекцией, при которых ФЧХ имеет оптимальную мо­ нотонную форму, а ее отклонение от линейной в конце диапазона составляет А ф м а к с =0,1. Так как рассматриваемый усилитель — си­

стема третьего порядка с нулями в бесконечности, то выражение (2-33) имеет вид:

раметры коррекции, то получаем х=0,?23 и т = 0 ,5 0 2 . При этом ча­ стота, на которой отклонение ФЧХ от линейной составляет Афмакс =

=0,1, равна 2д<р-о,1 — 3,13. Применение тейлоровской аппроксима­

88

приведены коэффициенты полиномов вида (1-6), аппро­ ксимирующих при /1=3 зависимости d i = f i ( g u £г) и й г~

повое время распространения в случае, когда ФЧХ си­ стемы имеет оптимальную монотонную форму. Из (2-31) получаем:

Нормируем (2-36) так, чтобы иметь /З.н(0) = 1, тогда

В полученном выражении отклонение а заменим аппроксимирующим полиномом Дфмакс^п(я). Тогда нор­ мированное групповое время распространения выразит­ ся формулой

Выражение (2-38) приближенное, так как дифферен­ цированию подвергается не отклонение а, а аппрокси­ мирующий полином. Такая замена требует определен­ ной проверки. Интерполирующий полином и функция

99

могут очень мало отличаться между собой, но это не гарантирует, что производные их также близки. Однако в данном случае положение облегчается тем, что поли­ номы Дп(х) монотонны и ФЧХ также очень близка к монотонной функции (при малых щ ). Численная про­ верка показала, что времена *3.н, определенные по фор­

мулам (2-37) и (2-38), отличаются лишь на 1—2%. Вы­ ражение (2-38) позволяет сделать некоторые выводы о характере изменения t3.п по диапазону. В системе я-го порядка зависимость t3.n имеет я—2 экстремума и до­

стигает наибольшего отклонения в конце диапазона, ко­ торое равно

90