книги / Оптимизация параметров импульсных и широкополосных усилителей

число таких обращении — недостаток, свойственный всем методам нелинейного программирования.

к свойствам системы. Так, в случаях, когда усилитель используется для усиления видео- и радиоимпульсов, важно иметь хорошую форму АЧХ и ПХ. Полное удовтворение всех требований к этим характеристикам не­

возможно. Поэтому принимаются компромиссные реше­ ния. Можно, например, оптимизировать параметры уси­ лителя по критерию maxiQB при ограничениях на экстремумы АЧХ ДМ ^а и на выбросы ПХ В ^ Ь .

На рис. З-llO и 3-11 пунктиром показан процесс оптимизации из тех же начальных точек Ai, Аг, Аз, когда введено дополнительное ограничение В ^ 3%. Ранее полученные точки B i, Вл, Вз не удовле­

творяют этим ограничениям, так как выбросы ПХ составляют 5— 1 2 %. В точках C i, Сл, С3 выполняются все ограничения как в частот­

ной, так и во временной областях. Граничная частота в этом случае меньше, чем для точек В i, В 3 и Вз, и составляет '3,86; 3,8 и 3,78 со­

ответственно. При введенных дополнительных ограничениях возрас­ тает число обращений к вычислению параметров модели и время оптимизации увеличивается.

132

Глава ч е т в е р т а я

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКЦИИ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ КРИТЕРИЯМ

4-1. АБСОЛЮТНЫЕ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОЕ

ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА

При серийном изготовлении и эксплуатации широко­ полосных и импульсных усилителей большое значение имеет определение разброса их параметров. Разброс мо­ жет быть вызван случайными отклонениями величин элементов схемы от номинальных значений, старением и температурными изменениями.

Если известна функциональная зависимость между параметрами электронной цепи и параметрами ее эле­ ментов, то в принципе можно оценить нестабильность параметров цепи при произвольных изменениях элемен­ тов. Однако решение этой задачи прямым путем в каж­ дом конкретном случае производится по-разному, при­ водит к громоздким выражениям и не всегда выполнимо. Для облегчения исследования функциональную зависи­ мость, заданную аналитически или определенную экспе­ риментально, разлагают в ряд Тейлора. Обычно исполь­ зуются только линейные члены разложения, что сильно ограничивает возможные вариации элементов. Рассмо­ трение линеаризованной зависимости не позволяет су­ дить о реальной стабильности «в большом» и серийноспособности аппаратуры, так как производственный раз­ брос параметров активных элементов и уход параметров во времени значительно превышают те отклонения, при которых линеаризация дает удовлетворительную точ­ ность. Учет квадратичных членов разложения позволил бы существенно расширить интервал допустимых изме­ нений элементов схемы. Но практическое осуществление такого расчета для конкретных цепей затруднительно из-за большого числа элементов, влияющих на рассма­ триваемый параметр, и сложных функциональных зави­ симостей. В частности, это относится к определению параметров АЧХ, ПХ и их изменений. Для упрощения и унификации методики расчета электронных усилителей расширим классическое определение чувствительности [52] и введем обобщенные чувствительности первого и второго порядка, связывающие относительные изменения

133

параметров элементов с абсолютными или относитель­ ными изменениями параметров цепи.

Пусть связь рассматриваемого параметра цепи у и параметров элементов хи Хг, . . хп задана функциональ­

ной зависимостью

Относительную чувствительность первого порядка параметра у к параметру xq определим в общепринятой

классической форме

—д У

Абсолютной чувствительностью первого порядка на­ зовем величину

Для учета влияния квадратичных членов разложе­ ния введем чувствительность второго порядка

Wtx = ^ — Snx ,

абсолютную чувствительность второго порядка

Пу — -Ё.— fy

и смешанные относительную и абсолютную чувствитель­ ности

Введенные функции чувствительности в некоторой мере аналогичны частным производным первого и вто­ рого порядка, но связывают приращения функции не с абсолютными, а с относительными приращениями аргументов. Правила вычисления их для функций мно­ гих переменных и сложных функций также несколько иные, чем для производных. В практических расчетах удобнее пользоваться чувствительностями, а не произ­ водными, так как относительные чувствительности — безразмерные величины, а абсолютные чувствительности

134

всегда имеют размерность исследуемого параметра. Экспериментальное определение их тоже проще, чем производных.

Нетрудно показать, что абсолютные и относительные чувствительности связаны следующими соотношениями [53]:

в ряд Тейлора, то ее приращение может быть пред­ ставлено в виде

Выразив первый и второй дифференциалы через от­ носительные приращения и чувствительности и предпо­ лагая, что Хи . . хп— независимые переменные и по­

следняя сумма в выражении (4-5) равна нулю, получаем абсолютное приращение параметра

Заменив в этой формуле абсолютные чувствитель­ ности через относительные с помощью соотношения

135

(4-2), получим относительное приращение Ьу параметра цепи у:

Выражения (4-6) и (4-7) целесообразно применять в тех случаях, когда функция у не является сложной и

чувствительности легко определяются. При анализе, на­ пример, переходных процессов в усилителях параметры импульсов (выброс, спад, длительность фронта) нахо­ дятся с помощью преобразования Лапласа и вычисление чувствительностей затруднительно. Здесь удобно рас­ сматривать зависимость (4-1) через промежуточные па­ раметры— коэффициенты изображения ПХ.

Пусть параметр у является сложной функцией аргу­ ментов xif х2, . . хп, связанных с промежуточными пе­ ременными zu z2, . . z™, т. е. y = F (z u z2, ..., zm), где Zi=(pi(Xi, ..., xn), z2=(p2(xii ..., xn) и т. д. Рассмотрим

сначала более простой случай, когда промежуточные пе­ ременные Z{ являются функциями одного аргумента х.

Тогда чувствительности, входящие в формулу (4-6), вы­ ражаются через промежуточные переменные следующим образом:

т

7 4 = 2 Т"г‘S* ’

/=1

т

Q " * = 2 [Q 4 ( S > + 7 4 , R+] +

i=l

m

+ 2 3 2 Q ' . f . j W 1=2}<l

Формулы для вычисления сложных относительных чувствительностей аналогичны, только вместо абсолют­ ных чувствительностей Ту и Qy к промежуточным пере­ менным входят относительные чувствительности Sv и Wv.

Используя определения полного дифференциала пер­ вого и второго порядка, можно показать, что в случае

436

нескольких независимых переменных необходимо в фор­ мулах (4-4) и (4-5) относительные приращения, завися­ щие от х, заменить следующими выражениями:

П

Таким образом, абсолютное приращение параметра цепи, зависящего от изменении величин элементов Хи *2, . . хп, определяется формулой

Несмотря на сложность окончательного выражения (4-9), применение промежуточных переменных облегча­ ет решение задачи. Чувствительности параметра цепи у

(выброса, спада и т. п.) к промежуточным переменным Zi (коэффициентам изображения ПХ) определяются

1 раз для целого класса цепей. В каждой конкретной цепи этого класса приходится рассчитывать только от­ носительные чувствительности промежуточных перемен­ ных Zi к параметрам варьируемых элементов цепи хч.

Часто из характеристик определяется чувствитель­ ность искомой величины у (например, сов, Тф), но выра­

женной в другом масштабе г/i. Причем нормирующий

Если же нормирующий множитель не зависит от х,

то

Svx=S?x'.

Чувствительности второго порядка определяются ана­ логично.

Применим установленные правила для определения

V Ьп

++ s ^ l + K ; * r+ % sx+s; s«;r)

138

4-2. СТАБИЛЬНОСТЬ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

а) Стабильность длительности фронта и выброса

Длительность фронта Тф и выбросы в ПХ усилителя сложным образом зависят от его параметров, входящих в коэффициенты изображения ПХ. Это обстоятельство затрудняет как определение стабильностей длительности фронта и выброса при изменениях параметров цепи, так и нахождение допусков на отдельные элементы. В прин­ ципе можно было бы вычислять ПХ при каждом рас­ сматриваемом сочетании параметров и определять дли-

} 39

тельиость фронта в каждом случае. Однако при оптими­ зации переходного процесса в усилителе обращение к процедуре вычисления ПХ происходит настолько ча­ сто, что время, затрачиваемое на расчет, становится не­ допустимо большим даже для быстродействующих ЭВМ. Поэтому необходимо искать косвенные пути исследова­ ния отклонений параметров ПХ. Один из возможных вариантов — использование сложных чувствительностей первого, а при необходимости и второго порядка. Пусть дважды нормированное изображение ПХ имеет вид:

а старший коэффициент характеристического уравнения до повторной нормировки равен Ьп. Тогда относитель­

ная чувствительность длительности фронта к параметру схемы хч в соответствии с (4-11) будет равна:

где Тф — длительность фронта в масштабе, соответствую­ щем изображению ПХ со старшим коэффициентом Ьп,

и т'ф— дважды нормированная длительность фронта, соответствующая изображению (4-14). Чувствительно­

сти S~x4> выразим через промежуточные параметры —

коэффициенты изображения (4-14). Тогда получаем:

Поэтому относительное отклонение длительности фронта бтф при одновременном отклонении нескольких параметров схемы на основании (4-9) равно:

П—\

(4-15)

НО