книги / Статистические методы в строительной механике

ную процедуру [39], сведем задачу к алгебраическому уравне­ нию, связывающему и но:

qQ— его верхнее критическое значение. Для весьма пологих па­ нелей это значение равно

где ц — коэффициент Пуассона, k — параметр, характеризую­ щий кривизну панели

6 — центральный угол (см. рис. 47).

На рис. 48 построены кривые зависимости безразмерного полного прогиба от величины сжимающей нагрузки и величины начального прогиба для случая /г=12. При этом частично были использованы соответствующие графики из работы [39]. Заме­ тим, что для рассматриваемой оболочки верхнее критическое значение, определяемое по формуле (4.25), составляет <71(«7,2. Нижнее же критическое значение, которое мы будем опреде­ лять как наименьшее значение нагрузки, при котором возмож­ но «прощелкивание» оболочки независимо от величины началь­ ного прогиба, равно, как видно из рис. 48, <7„«3,3. Если началь­ ный прогиб превышает значение «„^0,25, то «прощелкивание» не наступает. Подчеркнем, что рассматриваемый пример носит чисто иллюстративный характер и что вводимые здесь упроще­ ния имеют целью лишь достижение максимальной наглядности.

Вычислим вероятность достижения некоторого опасного со­ стояния, полагая, что известна совместная плотность вероят­ ности р(и, q) для начального прогиба и и внешней нагрузки q. Прежде всего, уточним понятие опасного состояния для данной задачи. «Прощелкивание» возможно лишь в некоторой ограни­ ченной области параметров (0 < и < м н, Если «> «„,

(если, разумеется, на оболочку не действует никаких дополни­ тельных конечных возмущений). Несмотря на отсутствие скач­ ка, в обоих случаях при определенных значениях нагрузки со­ стояние оболочки становится опасным. Поэтому мы определим опасное состояние более точно, если дополним линию «прощелкивания» (линию СН на рис. 48) линиями, соответствующими

V

опасным деформациям или опасным напряжениям. Так, в рас­ сматриваемом примере мы приняли, что безопасные прогибы лежат в пределах —1,0< о < 1,0.

В дальнейшем удобнее перейти к плоскости параметров «, q. Этот переход сводится к преобразованию плоскости переменных на рис. 48. При этом в соответствии со сказанным » п. 38 из рассмотрения исключаются неустойчивые ветви, а также участ­ ки устойчивых ветвей типа участка ВА' на рис. 40. Последнее основано на том, что каждый единичный акт загружения пред­ ставляет собой монотонное возрастание нагрузки. Другими сло­ вами, из всех кривых при «> 0 выбираются кривые типа OAA'F на рис. 40.

Зависимость v=v(u, q), найденная таким образом, изобра­ жена в горизонталях на рис. 49. Линия скачка СН с рис. 48 отображается в одноименную линию на рис. 49. Пространствен­

ный чертеж приведен на рис. 50, где цилиндрическая поверх­ ность ЕНСЕ' соответствует одноименной области на плоскости q, V (рис. 49). При q=q*—0 реализуется нижнее значение про­ гиба, при q=q* + 0 — верхнее значение.

Область опасных значений выделена на рис. 48 и 49 штри­ ховкой. Согласно формуле (4.20) вероятность наступления опас­

U

где интегрирование распространяется на заштрихованную пло­ щадь Q(—). Начальная кривизна и внешняя нагрузка являются статистически независимыми, т. е. р (и, q)—p (и) р (q). В рас­ сматриваемом примере для начальных прогибов примем нор­

мальное распределение со средним значением и и стандартом ов

а нагрузку q будем считать заданной достоверно. Вычисление вероятности опасного состояния сводится к подстановке выра­ жения для p(u,q) в формулу (4.26) и вычислению интеграла, распространенного на площадь й ( —). Ее границы, однако, за­ труднительно выразить в конечном виде, поэтому приходится прибегать к численному интегрированию. Для достоверно за­ данных, нагрузок формула (4.26) примет вид

где Ui(q) и u2(q) — нижнее и верхнее значения начального про­ гиба, ограничивающие область безопасных состояний на рис. 50.

тенденцию развиваться в сторону центра кривизны. К тому же, мри q> <7„ прощелкнутая форма может обладать большей

устойчивостью (другими словами, более «глубоким» минимумом

можно найти по формулам п. 38. На рис. 52 примерное распре­ деление плотности вероятности p{v\q) представлено в горизон­ талях. Пока q< qn, наиболее вероятные прогибы располагаются вблизи тривиального решения о= 0 для идеальной оболочки,

хотя с ростом q дисперсия увеличивается. При q> q„ становится отличной от нуля вероятность другого решения, соответствую­ щего прощелкнутой оболочке. Отметим, что вероятность нахож­ дения системы в области, ограниченной кривой ЕНЕ', равна нулю. Физически этот вывод является следствием неустойчи­ вости решений по отношению к малым возмущениям или во­ обще отсутствием решений в данной области. Заметим также, что берега «моря нулевой вероятности» перестают быть отвес­ ными, если, например, учесть дисперсию внешней нагрузки, а

под нагрузкой q понимать ее математическое ожидание q. Тогда плотность вероятности становится отличной от нуля всюду (хотя и остается весьма малой в области ЕНЕ') .

Как уже указывалось, с точки зрения эксперимента наиболее интересной представляется следующая задача: зная рассеяние начальных прогибов оболочки (а также рассеяние ее упругих свойств, способов закрепления и т. п.), найти закон распределе­

44.Дальнейшие применения статистического метода

коболочкам

Обстоятельное изучение теоретических законов распределе­ ния критических сил для оболочек было выполнено Б. П. Мака­ ровым Ï74, 75L Он рассмотрел ряд задач: осевое сжатие замкну­ той круговой цилиндрической оболочки, сжатие оболочки боко­ вым нормальным давлением, а также всестороннее сжатие; кру­

ми значениями среднего и). Из графика видно, что распределение начальных прогибов сильно влияет на распределение критиче­

ских сил. Аналогичные кривые для цилиндрической оболочки при осевом сжатии приведены на •рию. 55. Распределение па­ раметра начального прошба

и = ^-п*т312 R

(ш0 — начальный прогиб, п — число волн в окружном направле­ нии, т — отношение длин полуволн в окружном и продольном направлениях) предполагалось нормальным. Весьма любопыт­ но, что некоторые кривые имеют два экстремума: один — вбли­ зи нижнего критического значения, другой — несколько смещен в сторону верхнего критического значения. Сходный вывод по­ лучен для другой задачи в статье 1461.

В работе 1751 на примере цилиндрической панели, находящей­ ся под осевым сжатием, исследовалось также совместное влия­ ние разброса начальных прогибов и способов опорного закреп­ ления. Оказалось, что для некоторых законов распределения этих величин плотность вероятности критических усилий также имеет два экстремума.

Большой интерес представляет применение предлагаемого метода к анализу данных по испытанию оболочек на устойчи­ вость. В работе [73] Б. П. Макаров дал статистический анализ 222 результатов испытаний цилиндрической оболочки на осевое сжатие, собранных в работе Гарриса, Шуэра, Скина и Бенджа­ мена [158] { в статье [158] авторы ограничились построением кривых, соответствующих 10 и 1% вероятности «прощелкивания» (см. рис. 39)}.На рис. 56 показаны гистограммы для раз­

личных интервалов-изменения R/h. В области малых R/h гистог­ раммы имеют два максимума, что согласуется с теоретическим выводом, полученным ранее [74, 75]. Не исключена, однако, воз­ можность того, что наличие двух максимумов объясняется при­ сутствием двух групп опытных данных с разными статистически­ ми свойствами (обрабатывались результаты, полученные не­ сколькими экспериментаторами).

А. С. Вольмир [40], используя эмпирические формулы для безразмерной стрелы начального прогиба цилиндрической обо­ лочки, проанализировал влияние отношения R/h на распределе­ ние критических сил. А. С. Вольмир показал, что со статистиче­ ской точки зрения мы должны ожидать последовательного сни­

жения среднего критического давления q* с ростом отношения

R/h.

Важное значение имеет задача об отыскании законов рас­ пределения начальных прогибов по известным распределениям критических сил. На рис. 57 приведена полученная в работе [73]

гистограмма для одного из интервалов Rjh. Здесь же для срав­ нения нанесена кривая плотности вероятности, соответствующая нормальному закону распределения параметра и со средним н^=0,1 и стандартом аи=0,06.

R/h --500-WOO

45. Заключение. Некоторые динамические задачи

Развитые выше методы применимы к любой упругой и не­ упругой системе, состояние которой с достаточной точностью может быть описано конечным числом параметров, являющихся в свою очередь функцией конечного числа случайных парамет­

ров. П.ря этом предполагается, что детерминистическая связь между обеими группами параметров известна, а также известен закон распределения случайных параметров *.

1 В принципе возможно установление таких дифференциальных уразнений, которые позволяли бы непосредственно, без решения соответствующей детерминистической задачи, получать вероятностные характеристики дефор­ мированного состояния. Однако эти уравнения будут намного сложнее, чем уравнения детерминистической задачи, и поэтому целесообразно расчленить решение ла два этапа.