книги / Статистические методы в строительной механике

Из Формул (5.50) видно, что главные коэффициенты акк, ха­ рактеризующие автокорреляционные функции обобщенных ко­ ординат, приближенно равны

В то же время побочные коэффициенты Дуд имеют одинаковый порядок с главными коэффициентами лишь в случае кратных собственных частот или частот, очень близких друг к другу. Легко видеть, что условия малости побочных коэффициентов по сравнению с главными имеют вид

случайной функцией всех переменных; тогда корреляционная функция будет зависеть лишь от разностей аргументов х{—х2,

Ух—Уг и т. д.

В качестве простейшего примера рассмотрим задачу об ус­ тановившихся колебаниях балки, загруженной нагрузкой q(x, t), которая является стационарной случайной функцией перемен­ ной \= х—vt (рис. 71) (здесь о— постоянная скорость движе-

■ -» и

Рис. 71

ния). Нагрузку будем для упрощения считать безынерционной. Задачи такого рода могут возникнуть в связи с динамическим расчетом автодорожных мостов, нагрузки которых являются случайными функциями как времени, так и пространственных переменных.

•Поскольку исследуется линейная задача, то средняя и пульсащионная составляющие нагрузки могут быть рассмотрены раздельно. В дальнейшем под нагрузкой q(xt t) понимаем ее пульсационную составляющую.

Для свободно опертой балки правые части уравнений (5.34)

принимают вид

с

Допустим, что в подвижной системе координат корреляци­ онная функция нагрузки имеет вид

K„ (EL У = К, e- ■' E- - *■1cos в(Е,- у .

Ka« и следовало ожидать, корреляционные функции обобщен­ ных сил оказываются функциями интервала времени т = tx—12 и скорости движения нагрузки и.

При внешних силах, представляющих собой пространствен­

произвольной случайной функцией координат. Введем спектр пространственных корреляций для нагрузки — временное пре­ образование Фурье от корреляционной функции нагрузки:

®w C*i. Уъ гъ х2, у2, г2, со) =

Применим указанное преобразование к формуле (5.53). Фор­ мула для совместных спектральных плотностей обобщенных сил принимает .вид

Аналогичные задачи возникают при расчете конструкций на действие пульсаций давления в турбулентном пограничном слое, пульсаций давления в акустическом поле работающих двига­ телей и т. п. Не останавливаясь на подробностях, отсылаем к статьям, опубликованным в последние годы {30, 33, 36, 50, 120, 138, 144] и др.

55. Метод интегральных оценок для случая нагрузок, обладающих широким спектром

В настоящем разделе рассмотрим задачи о колебаниях уп­ ругих систем при возбуждающих силах, обладающих широким спектром. Примером таких сил могут служить пульсации аку­ стического давления от работающих двигателей. Известно [49,

138, 141], что частоты пульсаций лежат в весьма широком диа­ пазоне (от 10 до 10 000 гц). В отличие от сил, обычно рассмат­ риваемых в теории упругих колебаний, силы акустического дав­ ления от работающих двигателей могут возбуждать одновре­ менно десятки и сотни форм колебаний. Множественность воз­ буждаемых форм колебаний и густота спектра возбуждаемых частот, с одной стороны, и некоторая неопределенность крае­ вых условий и демпфирующих сил, всегда имеющая место в реальных конструкциях, с другой стороны, делают целесообраз­ ным интегральный метод решения задачи [33].

Суть интегрального метода состоит в том, что суммирование по отдельным формам собственных колебаний заменяется ин­ тегрированием по некоторой области частот (или волновых чи­ сел). Это аналогично переходу от квантовой статистики к клас­ сической статистике. Чем шире спектр возбуждаемых частот, тем при прочих равных условиях лучшее приближение дает ин­ тегральный метод. Преимущество интегральных оценок состоит не только в существенном упрощении вычислений. В ряде слу­ чаев применение интегральных оценок позволяет получить ре­ зультаты в простой замкнутой форме и дает, таким образом, возможность изучить влияние различных факторов на поведе­ ние упругого тела. Оставаясь же в рамках «квантового» мето­ да, это влияние можно исследовать лишь чисто эмпирическим путем — проводя сравнительные весьма трудоемкие вычисления, включающие суммирование многих членов ряда.

Для определенности будем говорить о тонкостенном упру­ гом теле (пластине или оболочке) толщиной Л и с плотностью материала р. Координаты точек срединной поверхности обоз­ начим через Х\, х2, время через t, интенсивность нагрузки, отне­ сенную к единице площади срединной поверхности, — через

g (x u x2, t).

Рассмотрим вначале вспомогательный вопрос о формах и частотах собственных колебаний пластины (оболочки). Естест­ венно ожидать, что для достаточно высоких частот и соответст­ вующих форм будут справедливы некоторые асимптотические соотношения, которые будут выполняться тем точнее, чем выше частота. Эта мысль положена в основу асимптотического мето­ да, предложенного автором. Применительно к упругим оболоч­ кам метод был впервые опубликован в 1960 г.; дальнейшие его обобщения и приложения были даны в статьях [30, 33, 50, 134].

Согласно асимптотическому методу решение ищется в виде суммы внутреннего решения и динамических краевых эффек­ тов. Решения удовлетворяют дифференциальным уравнениям и краевым условиям на одной из границ области. Таких решений строится столько, сколько имеется границ. Затем эти решения «склеиваются» подобно тому, как склеиваются краевые эффек­ ты и безмоментные решения в статике оболочек или «вязкие» и «невязкие» решения в гидромеханике. «Склеивание» может быть

выполнено лишь с точностью до некоторой невязки, которая бу­ дет тем меньше, чем быстрее затухают краевые эффекты. В ре­ зультате приходим к уравнениям, из которых нетрудно найти все параметры, определяющие как внутреннее решение, так и краевые эффекты. После этого можно вычислить асимптотиче­ ские выражения для частот и форм собственных колебаний. За­ метим лишь, что формы колебаний определяются таким обра­ зом всюду, кроме окрестностей угловых точек. Такая ситуация типична и для других методов, использующих идею краевого эффекта.

В качестве примера рассмотрим тонкую упругую оболочку постоянной толщины h, отнесенную к ортогональным криволи­

функция усилий в срединной поверхности, со — частота колеба­ ний. Уравнения для форм колебаний, обладающих достаточно высокими показателями изменяемости, имеют вид:

Асимптотическое решение уравнений (5.55) для прямо* угольной (в обобщенном смысле) области со сторонами ах и а2, в пределах которой метрика срединной поверхности остает­ ся неизменной, получено в работе [134]. Собственные частоты определяются по формуле

где T)=/?I//?2, a волновые числа kx и k2 определяются из реше­ ния системы уравнений:

всюду, кроме области вырождения динамического краевого эф­ фекта. Отправляя за подробностями к статье [134], укажем, что для пластин и сферических оболочек динамичеокой краевой эф­ фект никогда не вырождается, а для круговой цилиндрической

оболочки вырождается лишь при достаточно малых волновых числах

_£Л \ 1/2

kj 4”

Ограничимся простейшим примером уравнений (5.57). До­ пустим, что прямоугольная в плане пластина защемлена по контуру. Уравнения (5.57) принимают вид:

ченными при помощи вариационного метода, было дано в статье [30]. Даже для основной частоты ошибка не превышает 3% и очень быстро уменьшается с увеличением частоты.

С увеличением X\ краевой эффект быстро затухает, и пра­ вая часть формулы (5.60) стремится к внутреннему решению.

Заметим, что из формул (5.57) следуют более грубые оценки

аналогичные известным оценкам Куранта для частот собствен­ ных колебаний мембран и пластин. Существенно, что для обо­ лочек оценки (5.61) справедливы лишь вне области вырожде­ ния краевого эффекта. Это становится понятным, если учесть,

что с физической точки зрения вырождение означает сильное влияние условий на контуре на поведение форм колебаний во внутренней области.

На рис. 72 показаны семейства кривых (5.57), соответствую­ щие различным целым значениям т.\ и ш2. Волновые числа оп­ ределяются как координаты точек пересечения этих линий. Ес­ ли оболочка по контуру оперта, то все и# = 0 и мы получаем сетку прямых,* параллельных осям координат и состоящую из ячеек размером Д&1 = ~!аи ДЛ2= */Ог (в этом случае асимп­ тотическое решение совпадает с точным). Вообще, из соотноше­ ний (5.57) следует, что изме­

одной ячейки. Очевидно, что такой способ подсчета тем более надежен, чем большее число волновых чисел лежит внутри

Отсюда после подстановки в (5.62) и интегрирования по г по­ лучим

тельно. Дифференцируя выражение (5.63) по й, получим асимптотическую формулу для плотности частот

таким образом, к известной оценке Куранта. В случае сфериче­

муле для Я1 (я, У/) легко выражается через полный эллиптиче­ ский интеграл первого рода К{х):

/М « ,0) =

Н, («, 0) - -

1C

Графики для функции Я i (я, у,) для сферической и цилинд­ рической оболочек показаны на рис. 73. Дальнейшие подробно­ сти можно найти в статье [33].

Рассмотрим числовой пример. Пусть цилиндрическая панель из легкого сплава (*= 2,8 • 10-8 кн сек2 см-*, Е =0,7 • 104кн см-2,