книги / Статистические методы в строительной механике

ческим аналогом «белого» света в оптике, представляет собой все же чрезмерную абстракцию, поскольку его полная мощность, пропорциональная интегралу

00

J Ф*х(ш)сК

о

оказывается бесконечно большой. Чтобы мощность процесса оставалась конечной, вводится ограничивающая частота шс (рис. 65).

Противоположным случаем является процесс с детермини­ рованной частотой 0. В этом случае

Фхх (ш) = Со(в — | ш|),

т. е. вся мощность процесса сосредоточена в бесконечно малой окрестности частоты 0 (рис. 66).

Рассмотрим, наконец, весьма важный случай, когда подав­ ляющая часть мощности процесса заключена в некотором ин­ тервале вокруг преобладающей частоты процесса 0. Корреля­ ционная функция должна иметь вид затухающей кривой с ча-

Ф(и)

Рис. 66

стотой 0 ; затухание этой кривой соответствует ослаблению кор­ реляционной связи по мере увеличения интервала т (рис. 67). Одно из возможных выражений для Кхх (•) имеет вид

щей, заключающей в себе около 41°/о мощности всего процесса.

51. Случайное воздействие на простейшую линейную систему

Прежде чем переходить к анализу поведения упругих си­ стем под действием случайных сил, остановимся на хорошо изу­ ченном случае линейной колебательной системы с одной сте­ пенью свободы. Пусть / — обобщенная координата, ыа — собст­ венная частота, р — характеристика затухания, равная отноше­ нию логарифмического декремента затухания к числу 2я. Обо­

стемы). Простота этой формулы указывает на большие преиму­ щества спектрального подхода в применении к стационарным случайным процессам. Заметим, что структура самой линейной системы может быть любой; необходимо лишь, чтобы она описывалась уравнениями с постоянными коэффициен.

тами. При этом спект­ ральная плотность внеш­ него воздействия и пере­ даточная функция могут быть заданы в виде гра­ фиков или в табличной форме. Найдя значения спектральной плотности «выхода», можно по фор-

~ мулам (5.11) и (5.13) подсчитать значения кор­ Рис. 69 реляционной функции и средний квадрат «выхо­

да».

Для системы, описываемой уравнением (5.18) с передаточ­ ной функцией (5.25), формула (5.28) примет вид

Если затухание не очень велико, то система выполняет роль «фильтра», пропуская главным образом пульсации с частота­ ми, близкими к woЗдесь имеет место явление, похожее на ре­ зонанс вынужденных колебаний при детерминированном перио­ дическом воздействии (рис. 69). _

Средний квадрат обобщенной координаты f2 найдем по фор­ муле (5.13)

фд<? (<■>)

(5.30)

(<»0 — 4- (2fkü<o0)2

52. Колебания упругой системы при случайном воздействии

Исследование поведения упругой системы представляет не­ которые трудности по сравнению с изложенным выше простей­ шим случаем. Это происходит главным образом потому, что колебания упругих систем описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Так, изгибные колебания прямолинейного стержня, загруженного поперечной нагрузкой д(х, /), в рамках обычных предположений сопротивления мате­ риалов описываются уравнением

где w(x, у, t) — нормальный прогиб, D — цилиндрическая жест­

колебания оболочек, пространственные колебания стержней и т. д.; здесь задача описывается системами дифференциальных уравнений в частных производных.

Путем представления искомого решения в виде рядов по системам функций, удовлетворяющих краевым условиям, и с коэффициентами, которые являются функциями времени, мож­ но свести задачу к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом число уравнений, входящих в систему, бу­ дет равно числу взятых членов ряда и будет выбираться, с од­ ной стороны, с учетом требуемой точности вычислений, с другой стороны, с учетом возможностей, предоставляемых вычисли­ тельными средствами. Наиболее удобным оказывается обычно разложение по формам собственных колебаний упругой системы.

ветствующая частота собственных колебаний.

легко придем к уравнениям, описывающим поведение обобщен­ ных координат fh{t):

Здесь Qk (t) — обобщенная сила, которая в общем случае трех­

К необходимости изучения взаимных корреляционных функ­ ций обобщенных «координат можно подойти также иначе. До­ пустим, что интересующие нас случайные функции Vj(t) (на­ пример, напряжения, перемещения и т. п.) выражаются в виде линейных функций обобщенных координат:

<*/.('>

Если внешнее воздействие распределено по нормальному за­ кону, то согласно свойствам нормального распределения пара­ метры Vj, полученные в конечном счете путем некоторого ли­ нейного преобразования внешнего воздействия, тоже будут распределены по нормальному закону. Отсюда совместная я-мерная плотность вероятности для параметров Vj (/) в каж­ дый фиксированный момент времени t согласно формуле (5.3) будет

*) Q* W dx.

Подставляя это выражение в формулу (5.38), получим:

Если внешняя нагрузка является стационарной случайной функцией времени, то, вводя спектральные плотности нагрузки <pQjQk (to) и спектральные плотности обобщенных координат

Ф///Л (со), получим

Как уже указывалось, наибольший интерес представляют значения корреляционных функций при t\ = t2=t и, в частности, при стационарном случайном процессе — величины К/^к (0).

Учитывая, что

53. Условия, при которых взаимной корреляцией обобщенных координат можно пренебречь

Если корреляция между обобщенными силами отсутствует,

то все Ф0 .Q (ш) = 0 при } ф k Формула (5.45) принимает V/ я

вид

K/jfb (0) = 0 (у ф k).

При этом вычисления допускают значительные упрощения. Формулы типа (5.46) были положены в основу работ (70, 118, 119] и др.; при этом анализ условий, при которых допустимо пренебрежение взаимной корреляцией, оставлен без внимания.

То, что спектральные плотности Ф///Л (о) при H=k, вообще