книги / Статистические методы в строительной механике

Второй класс задач составляют задачи о накоплении оста­ точных макроскопических деформаций в конструкциях, загру­ женных стационарными или квазистационарными случайными силами *. Допустим, что уровень напряженности достаточно вы«

оружений, где в целом ряде случаев можно идти на допуск уме­ ренных остаточных деформаций, особенно к окончанию срока

службы.

Наконец к третьему классу принадлежат задачи о накопле­

нии усталостных разрушений в конструкциях, запруженных ста­ ционарными или квазистационарными случайными силами. Предполагается при этом, что перегрузки за предел упругости Re здесь весьма маловероятны и что конструкция выходит из

1 Квазистационарными случайными процессами будем называть такие

процессы, вероятностные характеристики которых меняются во времени медленно по сравнению с изменением самих случайных функций. Поскольку за время службы конструкции режим ее эксплуатации н условия работы не остаются неизменными, то большая часть реальных нагрузок оказывается именно квазистационарными случайными нагрузками. ’Стационарные случай­ ные лагрузки представляют собой чрезмерную идеализацию.

строя в .результате .постепенного ^развития усталостной трещины (см. рис. 87, где через R. обозначен предел выносливости). Та­ кая задача представляет значительный интерес в первую оче­ редь для расчета надежности авиационных « машиностроитель­ ных конструкций.

Чтобы приведенная классификация стала полной, .необходи­ мо ее дополнить двумя подклассами смежных задач, лежащих на стыке двух соседних классов. Такое дополнение тривиально. Заметим также, что эта классификация заключает в себе зада­ чи с различным сочетанием случайных и детерминированных

нагрузок (как по интенсивности, так .и по спектральному со­ ставу). Например, если на случайный «фон» накладывается процесс с детерминированной частотой 0 (рис. 88), то это учи­ тывается соответствующими особенностями в спектральной плотности Ф(ш) (рис. 89).

Для решения поставленных задач необходимо знать следу­ ющие вероятностные характеристики процесса s=s{t): вероят­ ность P(s > S'|r ) превышения уровня S за время Т хотя бы один раз, плотность вероятности перегрузок р (S| Т), среднее число превышений V0{S) уровня S в единицу времени и среднёе число превышения V<S\T) уровня 5 за время Т. Некоторые из этих ха­ рактеристик изучались применительно к стационарным процес­ сам и задачам теории связи и автоматического управления [72, 124]. Другие вопросы, по-видимому, приходится рассматривать впервые. Нижеследующие пп. 63 и 64 будут целиком посвящены изучению интересующих нас вероятностных характеристик случайных процессов.

63. Среднее число превышений заданного уровня при случайных процессах

Допустим, что дана некоторая, вообще говоря, нестационар­ ная случайная функция s(t). В дальнейших приложениях'роль функции s(t) .будут играть некоторые обобщенные силы и обоб-

щенные напряжения, возникающие в конструкции. Вычислим

ее производной $(/)» зависящую от времени t «как от параметра.

Эту вероятность можно истолковать так же, как ту долю от еди­

собой интервал времени, в течение которого функция s(t) один

раз проходит через интервал dSds. Деля одно выражение на другое, мы получим среднее число прохождений функции s (/)

через интервал dSds в единицу времени |s | p(S, s; t) ds.

Чтобы получить среднее число Vo(S; t) превышений уровня S в единицу времени, нужно это вы«ражение проинтегрировать по

всем положительным значениям s. Итак:

(6. 1)

За время Т среднее число превышений, очевидно, будет

т00

функции, как известно [85], корреляция с ее первой производной

В зависимости от тредположения о виде функций p(s) и

p{s) возможна дальнейшая специализация формул. Рассмот­ рим случай irayccoB'CKO'ix) ipa-апределения. Пусть

процесс с произвольной -плотностью вероятности p(s), но с сим­ метричным гауссовым распределением p(s). В этом случае

64. Теоретические законы распределения случайных перегрузок

Найдем теперь вероятность P(s> У Т) того, что за время Т максимальное значение функции s[t) хотя бы один раз -пре­ высит уровень 5. Попробуем связать эту вероятность со сред­ ним числом превышений V(S| Г).

Пусть J3!(S | T), P2(SI Г), . . . P (S'T) — вероятности одно­ кратных, двухкратных и т. д. превышений уровня 5 за время Т. Тогда вероятность P(s > 5| Т) будет равна

P (S> S I D = J ; p 4(S |r).

А-1

ниями показан предполагаемый 'вид «истиннаго» распределе­ ния, для 'которого распределение (6.11) в области перегрузоч­ ных значений дает оценку сверху.

Распределение (6.11) вводится, по-видимому, впервые. Оно, как мы покажем, играет большую роль в задачах, относящихся (по классификации п. 62) к первому и второму классам. Рас­ смотрим некоторые его частные случаи. Бели процесс s=s(t) стациона1рный, то

65. Задача о сочетании случайных, нагрузок, действующих на сооружение

На сооружение обычно действует несколько видов перемен­ ных нагрузок. Как правило, все эти нагрузки являются случай­ ными. В связи с расчетом сооружений на действие таких -на­ грузок возникает задача об отыскании вероятности невыгодней­ ших сочетаний нагрузок в течение заданного срока эксплуата­ ции. Эта задача уже обсуждалась ранее рядом авторов и осо­ бенно подробно H. С. Стрелецким (115] и А. Р. Ржай-ицыньш [93]. Однако, в указанных работах нагрузки трактовались прос­ то как некоторые коррелированные между собой случайные числа.. -В действительности они представляют -собой разверты­ вающийся ©о времени 'случайный -процесс. Поэтому продолжи­ тельность действия нагрузок и характерная частота их измене­ ния весьма существенны в этой задаче; указанные факторы можно учесть лишь в1рамках теории случайных процессов.

Формулы; выведенные в п. 64, позволяют рассмотреть зада­ чу о сочетании нагрузок в следующей постановке. Каждая из нагрузок рассматривается как некоторый гауссовский (квазистационарный) 'Случайный процесс. Величина, характеризую­ щая. состояние, сооружения- (напряжение в опасной точке, уси­ лие?/. в опасном' элементе и т. и.), предполагается линейной

функцией нагрузок. Основная задача 'состоит -в отыскании .веро­ ятности превышения этой величиной некоторого установленно­ го уровня. Несмотря на схематизацию задачи, она позволяет ко­ личественно подойти к вопросу о сочетании различных видов нагрузок, например, ветровой и снеговой [31].

Итак, предположим, что «а сооружение действует п видов нагрузок с параметрами q\ (t), q2 (t), ..... <7.(0. которые являют­ ся некоторыми нестационарными случайными функциями вре­ мени. Допустим, что реакция сооружения на действие нагрузок может быть охарактеризована некоторым параметров s= C ito+ + c2q2+... +с„<7,, являющимся линейной функцией параметров нагрузки. Примем в качестве исходного условия, что предель­ ное состояние сооружения (отказ) наступит, когда .параметр, а превысит некоторое установленное значение 3. Основная зада-

службы сооружения) (параметр s (превысит предельное значе­ ние S хотя бы один раз. Обозначим эту вероятность через P(s>S\T). Такая постановка соответствует, например, 'Случаю, когда материал сооружения предполагается идеальным упругопластическим, а отказ отождествляется с достижением предела текучести хотя бы в одной точке.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо знать сов­ местную плотность вероятности параметров q,{и нх первых про­

изводных р(<7ь q%... q n> Яи to .- <7Я10* Простейшее предположе­ ние состоит в том, что процессы qй (/) являются гауссовскими

случайными процессами. Обозначая qk = хк, qk = xa+k (£ = 1,2,...

2л), запишем эту плотность вероятности в виде (1.31)

Pi*1. х»г ...* sы1 0 е

2л 2#| f \ -t

Поскольку 'параметр s ino предположению является, линей­ ной функцией от нагрузок qt , то он будет также подчиняться

гаусоовокому распределению

При расчетах сооружений интерес представляют лишь ред­ кие перегрузки, вероятность которых весьма мала. Для таких

с вероятностью P{s>S Т). Следовательно, может быть приме­ нена приближенная формула (6.10), которая с использованием формулы (6.2) принимает вид

тсо

(6.18)

2| M(t, t p ■

Пусть, например, Mi2» M 2i« 0 , _s«0. Эти условия выполня­ ются точно для стационарных случайных процессов. Мы же будем предполагать, что процесс s (0 близок к 'стационарному, т. е. что его вероятностные характеристики меняются медленно по сравнению с изменением самой функции s ( t ) . Обозначим Мп = o2s (i), М22=о\ (0 , где °s(t) иоЦО — среднее квадратиче­

ское уклонение для процесса s (?) я его первой производной. Тогда, учитывая, что

В качестве примера рассмотрим действие неокольких корре­ лированных стационарных случайных нагрузок с параметрами qk (t) (&=1, 2,... л). Это могут быть, например, сочетания снего­ вой, ветровой и полезной эксплуатационной нагрузок. По фор­ мулам (6.21)

со* Фу* (<i>) d 0)

(6.23)

J ФуА(“) à 0>

о

При j —k величина a Jk представляет собой некоторую эффек­ тивную частоту процесса qt (t), соответствующую эффективно­ му .периоду (6.7). Подстановка (6.22) в формулу (6.20) дает