книги / Статистические методы в строительной механике

Здесь чертой сверху обозначается осреднение по множеству реа­ лизаций. При сделанных предположениях об операторе L су­ ществует спектр пространственных корреляций для прогибов

в котором через Lx(—ш) обозначен результат замены в выраже­ нии для L оператора d/dt на — /ш, х на хх, у на уь z на zx. Через L2{m) обозначен результат замены d/dt на ш, х на х2, у на у2,

2 на г2. Если L является чисто временным оператором, то L(io)) представляет собой передаточную функцию системы. Тогда урав­ нение (5.79) превращается в общеизвестную зависимость (5.28) между спектральными плотностями «входа» и «выхода» линейной системы с конечным числом степеней свободы и постоянными параметрами. Если же L является пространственно-временным оператором, то уравнение (5.84) является операторным уравне­ нием. Так, если оператор L является дифференциальным опера­ тором по х, у, z, то уравнение (5.87) превращается в дифферен­ циальное уравнение в частных производных относительно функ­ ции Фа,, зависящей от шести переменных хх, ух, zx, х2, y2t z2t а также от ю. Граничные условия для этой функции вытекают из граничных условий для функции w(x, у, z, t) и формулы (5.86).

Решение уравнения (5.87) может быть найдено по методу факторизации. Рассмотрим частный случай оператора

ной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с по­ следующим применением к ней стандартной процедуры статисти­

(чертой сверху обозначено осреднение по ансамблю реализаций).

Эти функции называются интенсивностями марковского процесса первого и второго порядка соответственно. Предположим также, что интенсивности более высокого порядка, например

1 . (*/T — Xj) (Xkz — xk) ( * |х - Х[)

условию, называется непрерывным.

При сделанных ограничениях изменение плотности вероятно­

Решение задачи сводится к интегрированию уравнения пара­ болического типа (5.91) при заданном начальном условии (рас­ пределении вероятностей при /=0), граничных условиях, требую­ щих достаточно быстрого затухания функции р{хи х2, . х5|0 с увеличением Xj, и условии нормировки

Теперь возьмем уравнения движения упругой системы (5.34),

Здесь pj — инерционные коэффициенты, ey.— коэффициенты демпфирования, gj—некоторые нелинейные функции обобщен'

ных координат.

Выясним вопрос об ограничениях, накладываемых на обоб­ щенные силы Qj (/), для того чтобы вероятностное поведение

системы (5.92) описывалось уравнением (5.91). Заметим прежде всего, что первая производная по времени по крайней мере от одной из компонент марковского процесса должна быть обоб­ щенной случайной функцией типа «белого» шума. Поэтому есте­ ственно искать обобщенные силы Qj(t) в классе случайных функ­

ций типа «белого» шума. Пусть

(М = 1,2, . .л),

Подставим сюда выражение (5.104)

ое

(рис. 79), должны быть статистически независимы. При этом ин­ тенсивность нагрузки должна быть постоянной по всей площа­ ди Й. Такая нагрузка типична для задач теории броуновского движения. Ее, например, создают удары молекул о пластинку, помещенную в жидкость с равномерным распределением тем­

пературы. Если температура жидкости меняется от точки к точке, то условие (5-100) для всех j и k выполнено быть не может. С другой стороны, если плотность ph является функ­ цией координат, то соотноше­ ние (5.100) выполняется лишь при условии, что интенсив­ ность нагрузки также является вполне определенной функцией координат (параметр с должен отличаться от р h постоянным множителем) и т. д.

Для того чтобы нагрузку, действующую на инженерные конструкции, можно было ап­ проксимировать пространст­ венным «белым» шумом, нуж­

но, чтобы масштаб пространственной корреляции был мал не только по сравнению с характерным размером конструкции, но и по сравнению с характерным размером возбуждаемых форм колебаний. Реальные нагрузки — давление от атмосферной тур­ булентности, давление пульсаций в пограничном слое, акусти­ ческое давление от шума работающих двигателей, давление мор­ ских волн и т. п. — этому требованию не удовлетворяют. Напро­ тив, наибольший интерес во многих задачах представляют имен­ но те формы колебаний, характерные размеры которых близки к масштабу пространственной корреляции внешних сил. Поэтому

Далее, приравнивая нулю члены, не содержащие динамических переменных, получим уравнения

Заметим, что уравнение (5.109) удовлетворяется тождественно при подстановке в него формулы (5.110). Подставляя выраже­ ния (5.108) и (5.110) в формулу (5.107), получим распределение, совпадающее с распределением Максвелла — Больцмана для линейной системы

лишь в случае ру/Су = const. Введем обозначения:

С учетом этих обозначений плотность вероятностей (5.107) для безразмерных обобщенных координат принимает вид

Распределению (5.111) соответствует здесь, очевидно, случай, когда все т у = 1. На рис. 80,а показано это распределение при п = 2. Распределение (5.112) для случая л = 2, m, = 1, т2—2 по­ казано на рис. 80,6. Если Ci2=£0, то распределение вероятностей принимает вид, изображенный на рис. 80,в.

61. Некоторые статические задачи, решаемые при помощи спектрального метода

Имеется ряд чисто статических задач о распределении слу­ чайных напряжений и деформаций в упругих телах, которые мо­ гут быть решены при помощи корреляционных методов. В неко­ торых из этих задач обнаруживается весьма близкая аналогия с задачами о случайных колебаниях. В качестве примера дадим здесь решение одной задачи, связанной с расчетом подземных трубопроводов.