книги / Статистические методы в строительной механике

График для функции h приведен на рис. 113. Пусть, например, Y=0,5, <|>=0,1, т —6. Тогда получим, что нижняя оценка отли­ чается от истинного ресурса примерно в 2,8 раза.

76. Влияние изменчивости механических свойств на суммарную долговечность

До сих нор предполагалось, что для рассматриваемого об­ разца, детали или конструкции существует вполне определен­ ная кривая усталости, которая может быть найдена из стан­ дартных усталостных испытаний. Однако, как уже указывалось

в п. 35, результаты таких испытаний обнаруживают весьма большой разброс. Так, предельные числа циклов при одном и том же номинальном напряжении могут отличаться в 10—20- раз [100]. Поэтому кривой усталости как детерминистической кривой не существует; имеет смысл говорить о семействе кри­ вых, каждая из которых оответствует некоторой вполне опре­ деленной вероятности разрушения. Чтобы учесть это обстоя­ тельство, необходимо предположить, что параметры кривой усталости являются случайными величинами, подчиняющимися некоторым статистическим распределениям. Тогда задача оты­ скания распределения для долговечности и для меры повреж­ дения сводится к некоторым преобразованиям упомянутых выше распределений.

В первом приближении можно положить, что кривые равной вероятности имеют одинаковый наклон и точку перелома при числе циклов Ы\ (рис. 114). Тогда вместо детерминистической зависимости (6.55) можно записать:

N ^oo, если S < Rfty.

Здесь ^ — случайный параметр, для 'которого естественно при нять распределение (3.66) :

Напомним, что Rf — средний предел выносливости. S0— «ис­

Применим соотношения (6.101) и (6.102) к анализу долго­ вечности, основанному на теории суммирования. Учитывая, что

получим, что Т„=Т„(,Ъ). Допустим, что найдена обратная функция <|>= ф (Г„ ). Тогда плотность вероятности для долговеч­ ности найдется по формуле

р(Гп)= р ['М Г п)]

№

dT„

Возможные значения долговечности меняются от минимальной величины, соответствующей .«истинному» пределу выносливости S0, и, теоретически, до бесконечности (рис. 115).

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ

77. Общие замечания

Главное препятствие в развитии теории сейсмостойкости со­ стоит в отсутствии адекватных представлений для сейсмических нагрузок. Долгое время величины, характеризующие сейсмиче­ ское воздействие, например горизонтальное ускорение грунта, представлялись в виде некоторых ©полне заданных функций времени. Было предложено немало аналитических выражений для таких функций. Очевидно, однако, что любые аналитиче­ ские законы, в том числе и те, которые могли бы быть пред­ ложены в будущем, не имеют ничего общего с реальными аксе­ лерограммами землетрясений, носящими хаотичеокий характер.

Трудности аналитического описания сейсмического воздей­ ствия заставляли идти по лолуэмпиричеокому пути. Этот путь предполагает исследование реакции сооружения на наиболее сильные землетрясения, имевшие место в прошлом и характер­ ные для данного района. Для осуществления этой идеи было предложено при «проектировании сейсмостойких сооружений ис­ пользовать зависимость максимального ускорения однома-ссо- вой системы при наиболее сильных землетрясениях от периода колебаний системы и ее затухания (спектр ускорений). В этом направлении был 'проделан ряд исследований и расчетов [77, 132, 160]. Рассчитанное по такому полуэмпирическому методу сооружение устоит при повторении землетрясения во всех де­ талях; однако такое повторение является весьма мало вероят­ ным. В то же время сооружение может оказаться неспособным противостоять землетрясению, более слабому в смысле мам^* мальных ускорений грунта, но имеющему менее благоприятные спектральные или .фазовые характеристики. Кроме того, при этом остаются не определенными величина риска разрушения и ожидаемый срок службы — факторы, -которые для строитель­ ства в сейсмичеоких (районах играют существенную роль.

В настоящее время является общепризнанным, что сейсми­ ческое воздействие носит случайный характер и что в основу, теории сейсмостойкости должны (быть положены методы теории вероятностей и математической статистики. Первая попытка применить вероятностные методы в этой области принадлежит, по-видимому, ХауЗ'Неру [159]. В его работе ускорение грунта было представлено в виде случайной последовательности не­ коррелированных импульсов. Эта схема развивалась далее в работах [155, 194]. Следует отметить, однако, что в действитель­ ности корреляция ускорений имеет большое значение. Это вы­ ражается как в наличии «преобладающих периодов» в акселе­ рограммах землетрясений, так и в повышенной чувствительности сооружений с определенными периодами собственных колеба­ ний к сейсмическим воздействиям. Элементы статистического подхода содержатся в другой работе Хаузнера [161]. Необходи­ мость привлечения статистических методов для построения на­ учной теории сейсмостойкости отмечалась И. И. Гольденблатом и В. А. Быховским [45]. Некоторые статистические данные, от­ носящиеся к распределению параметров сильных землетрясе­ ний, приведены в статьях Гутенберга и Рихтера [156] и их кни­ ге [157]. Статистика землетрясений на территории СССР изуча­ лась С. В. Медведевым [77], Е. Ф. Саваренским и Н. А. Вве­ денской [97].

Теория может успешно развиваться, если имеется адекват­ ный аппарат, позволяющий дать математическую формулиров­ ку основных ее понятий. Таким аппаратом для теории сейсмо­ стойкости и, вообще, для прикладной сейсмологии является тео­ рия нестационарных случайных процессов. В работе автора [21] была предложена статистическая теория сейсмостойкости, основанная на представлении землетрясения в виде нестацио­ нарного случайного процесса. В другой работе [20] эта теория была применена для вероятностной оценки реакции упругого сооружения на сейсмическое воздействие и для оценки долго­ вечности сооружения. Последующее изложение будет основано на этих работах, за исключением п. 82, посвященного эмпири­ ческим распределениям .параметров землетрясения.

Развитие статистической теории сейсмостойкости, предло­ женной автором, дано в работах [96, 135]. В частности, в рабо­ те Ю. И. Романова [96] рассмотрен вопрос о возможности за­ мены землетрясения некоторым стационарным процессом. Дру­ гие статистические подходы предлагались в работах [1'1, 194, 195, 204].

78. Представление сейсмического воздействия в виде нестационарного случайного процесса

•При рассмотрении реакции сооружения на действие сейсми­ ческих нагрузок целесообразно после перехода к расчетной

схеме ввести обобщенные координаты, соответствующие пол­ ному разделению неизвестных в уравнениях малых колебаний линейной системы. Пусть до( х, у, z, /) — перемещение каждой точки сооружения, измеряемое в системе координат, которая движется вместе с основанием (рис. 116), wk (х, г/, г) — формы малых собственных колебаний. Представляя (перемещения в ви­ де ряда

Здесь, как и в дальнейшем, чертой обозначено осреднение по ансамблям функций. Пусть hk(t — т) — импульсная переходная функция для уравнения (7.2). Тогда, повторяя выкладки, из­ ложенные в п. 52, получим

корреляционных функций для обобщенных координат произ­ водится по формулам (7.4). Дальнейший расчет сводится к по­ строению распределения вероятностей для обобщенных коорди­ нат и к установлению вероятности «опасного» состояния.

Из оказанного вытекает, что решение основной задачи ста­ тистической теории сейсмостойкости, по крайней мере, при предположении о сохранении упругих свойств материала не встречает принципиальных затруднений. Трудности обуслов­ лены здесь главным образом недостатком информации о веро­ ятностных свойствах землетрясений и невозможностью резкого

сооружения с достаточной достоверностью. При этом наиболее существенным моментом является выбор опособа математиче­ ского описания сейсмического воздействия.

Заметим прежде всего, что вероятностная природа сейсмиче­ ских сил имеет два источника. Первый из них состоит в том, что каждое землетрясение, взятое в отдельности, представляет собой случайный акт. Местоположение эпицентра, глубина за­ легания ^фокуса, количество выделившейся энергии, время, в течение которого произошло это выделение, и т. л. — ©се эти интегральные .признаки, характеризующие землетрясение, яв­ ляются случайными величинами. Другим источником вероятно­ стной природы землетрясения является то обстоятельство, что к каждой рассматриваемой точке земной поверхности сейсми­ ческие волны доходят после многократной дифракции и интер­ ференции. Вследствие этого движение грунта в 'каждом пункте представляет собой случайный процесс. Если бы было возмож­ но получить для одного и того же пункта две акселерограммы двух совершенно идентичных по своим интегральным призна­ кам землетрясений, то они отличались бы между собой непов­ торимыми чертами. Их следовало бы рассматривать как две различные реализации случайного процесса с одинаковыми ин­ тегральными признаками. Более того, далее две акселерограммы одного и того же землетрясения, записанные в двух близких, но все-таки различных пунктах, .также .следует трактовать как различные реализации .случайного процесса.

Из оказанного вытекает, что статистическое описание сей­ смического воздействия благодаря самой его природе должно быть .расчленено «а две части. Первая часть состоит в иосгрое-

нии функции распределения для интегральных признаков зем­ летрясений. Вторая часть состоит в том, чтобы дать надле­ жащее статистическое описание нестационарного случайного процесса — движения грунта .при фиксированных значениях ин­ тегральных признаков. Тогда расчеты, связанные с отыска­ нием вероятностей разрушения конструкции при сейсмических воздействиях, должны производиться в обратной последова­ тельности. Вначале определяется вероятность разрушения при условии того, что реализуются землетрясения, дающие в рас­ сматриваемом вгункте акселерограммы с заданными интеграль­ ными признаками. Затем на основе найденных условных веро­ ятностей и функции распределения для интегральных призна­ ков находится полная вероятность разрушения.

Такое расчленение статистического описания на два этапа позволяет существенно сократить требуемое количество инфор­ мации о землетрясениях. В самом деле, если бы мы, как это предлагалось, строили корреляционные функции путем осредне­ ния всех сильных землетрясений для данного района, то это япивело бы лишь к неразумной растрате и без того окудной

информации. Напротив, раз­ делив вероятностное описа­ ние землетрясения на две части, мы можем обойтись сведениями, которые при надлежащей постановке сей­ смической службы будут по­ лучены в недалеком буду­ щем. При этом чисто эмпи­ рические сведения могут быть частично заменены со­ ответствующими статистиче­ скими гипотезами, подле­ жащими в дальнейшем про­ верке, и результатами реше­ ния детерминистических за­ дач.

Следующий шаг по пути построения статистической теории сейсмостойкости со­ стоит в некоторой специали­ зации случайного процесса,

описывающего сейсмическое воздействие. Простейшая схема основана на допущении, что изменением спектрального со­

жении, учитывая, что высокочастотные толчки, которыми обычно заканчивается землетрясение, оказывают весьма малое влияние на прочность по 'сравнению с сильными низкочастот-

ными толчками. Если принять это допущение, то можно пред­ ставить компоненты ускорения грунта в виде реализации ста­ ционарного случайного процесса, модулированного при помощи некоторой детерминированной функции времени (рис. 117).

Пусть qu q2, ... q m — интегральные признаки землетрясе­ ния, в которые мы, помимо параметров, характеризующих сам акт выделения энергии, включаем также расстояние от рас­ сматриваемого пункта до эпицентра, а также параметры, ха­ рактеризующие свойства земной коры и грунта в данном , райо­ не. Предполагается, что известна совместная плотность вероят­ ности

вана. Согласно оказанному выше, каждая компонента ускоре­

деле, можно условиться о следующем порядке отыскания оги­ бающей. Путем обработки сопоставимых акселерограмм нахо­

дится средний квадрат ускорения a2(t) и принимается, что

По найденной реализации q>(/) обычными методами находится

ковы, например, акселерограммы одного и того же землетря­ сения, записанные в близких .пунктах. При отсутствии достаточного количества сопоставимых акселерограмм среднее зна­ чение a2(t) может быть найдено следующим образом. Акселе­ рограмма разбивается на участки Дtu At2, - -. Дt п, достаточно малые, чтобы на каждом участке функция приближенно могла считаться стационарной, но достаточно большие, чтобы уже

ближенно найти средний квадрат a2(t) как функцию времени, а по нему — и огибающую А (t). Этот способ пригоден лишь для достаточно длительных землетрясений с медленно меняющи­ мися параметрами огибающей. Его использование -позволяет существенно сократить количество информации, необходимой для статистического описания землетрясений.

Если необходимо считаться с изменением опектрального со­ става в течение землетрясения, то ©место (7.2) должно быть взято более общее выражение