книги / Статистические методы в строительной механике

На рис. 28 представлены результаты испытания на изгиб трех серий образцов из металлокерамического сплава (84]. По горизонтали отложен предел прочности (в условных единицах» которые мы примем равными кн1см2), а по вертикали — сгла-

$

женная эмпирическая плотность вероятностей пределов проч­ ности p(R). Иапытывались образцы с объемом рабочей части V=911, 7290 и 17280 мм3. Значения средних пределов прочно­ сти R отложены по вертикали на .рис. 29. Если по горизонтали отложить .параметр (VV100,137» что соответствует показателю степени а =7,25, то три опытные точки располагаются вблизи прямой

/? = 1,0 + 8,9^ у - j0,137

(за эталонный объем_принят объем V0 = 17 280 лм3).

Средние значения R и коэффициенты изменчивости о»*, най-

денные из опыта, приведены в табл. 3. Замечая, что в данном случае s0= l кн/см2, s. =8,9 кн/см2, по формуле (3.25) найдем, что при V= V0 параметр а0=0,11. Из графика (рис. 25) видно, что коэффициент изменчивости Дод в этом случае может быть с достаточной точностью вычислен по формуле (3.21)*.

кое расхождение может быть приписано тому, что в опытах [84] результаты испытаний, резко выпадающие из общей серии, от­ браковывались.

31. Применение теории хрупкого разрушения к анализу прочности строительных материалов

Применим теперь результаты п. 30 к исследованию изменчи­ вости пределов прочности строительных материалов [29]. Зави­

симость .среднего предела прочности R от объема V «можно пред­ ставить формулами вида

характер поля напряжений мало влияет на коэффициент изменчивости пре­ дела прочности.

Подставив значения (3.25) в формулу (3.19), получим

М у | 1/а?(«)

)

+Д A-fcJ

0.75

+ + +

0,50*0, RQ |

0,50

^\ л = 0,05*0,57

RQ

025

i

1

Рис. 30

строительных материалов. Эту формулу можно приближенно распространить и на случай неоднородного напряженного со­ стояния, если под V понимать приведенный объем V*.

На рис. 30 представлены некоторые (результаты по экспери­ ментальному исследованию масштабного эффекта для бетона. Данные Эмпергера [107] и Бухгарца 1761 относятся к прочности бетонных кубиков на сжатие, данные, полученные на строитель­ стве плотины Гувера [107], — к прочности на сжатие бетонных призм, данные Г. Д. Цискрели [123] — к прочности призматиче­ ских образцов на разрыв. За эталонный объем принят объем Ко—10x10x10 ем3. В опытах Г. Д. Цискрели и на строитель­ стве плотины Гувера образцы объемом Vo не испытывались; по­ этому соответствующее значение предела прочности находилось для этих опытов путем экстраполяции. Кроме того, ® работе

Изложенная теория может иметь другие эффективные при­ ложения. Tant, на ней может быть основан ускоренный метод оценки масштабного эффекта и изменчивости прочности. Один из вариантов такого метода состоит в следующем. Испытыва­ ются две серии образцов двух различных объемов V\ и V2 и из

этих испытаний находятся четыре величины Ri, R2, wx и ш2. По трем из этих величин можно подобрать параметры a, b и а и,

н

таким о'бразом, установить распределение прочности для любо­ го объема. Последняя величина может быть использована для контроля. По сравнению с обычной методикой достигается су­ щественное уменьшение типов испытываемых образцов, а если ставится задача исследовать изменчивость, то и уменьшение об­ щего числа испытаний.

Пользуясь теорией, можно сделать различные выводы, отно­ сящиеся к тенденции изменения параметров прочности. Так, на основании известных данных об уменьшении изменчивости прочности с возрастом бетона [44] можно сделать вывод об уменьшении роли масштабного эффекта с возрастом.

Теория может быть использована для оценки минимальной прочности по параметрам масштабного эффекта. Если параметр

а выбран верно, то зависимость R от величины {VQ/V) ока« зывается линейной (см. рис. 30). Тогда отрезок, отсекаемый на

оси R, равен минимальной прочности Rm}n—so- Так, по данным обработанных выше опытов на сжатие, молено утверждать, что

Ят1п= 0,58 R0.

Обычно используемое правило «трех стандартов» основано на предположении, что распределение прочности — нормаль­ ное, а это как раз не имеет места. Поэтому минимальная проч­

ность, вычисляемая как Rmin—R (1—За»), может оказаться да­ же меньше, чем предел прочности наиболее дефектного эле­ мента «о. Это можно видеть, в частности, на рис. 31. Интересно, что вычисленное по правилу «трех стандартов» значение Rmin все же оказывается близким к значению so, что в некоторой степени оправдывает применение этого правила. Другой важный вывод относится к влиянию размеров образца или конструкции на минимальную прочность. Независимо от способа, которым оценивается влияние размеров на минимальную прочность, это влияние весьма невелико, хотя средние пределы прочности су­ щественно зависят от объема (см. рис. 31).

32. Обобщение теории хрупкого разрушения. Учет неоднородного распределения дефектов

В основе теории хрупкого разрушения лежит предположение о том, что нахождение дефектного элемента в любой точке тела является равновероятным событием и что дефектные эле­ менты одинаковой прочности равноопасны независимо от того, в какой точке тела они находятся. Очевидно, что прочность по­ верхностных слоев может заметно отличаться от прочности внутренних областей тела. Поэтому роль поверхностных и внут­ ренних повреждений может оказаться неодинаковой. Убеди­ тельным примером является обнаруженный опытным путем двойственный характер масштабного эффекта у стекла. Наряду с объемом образца на прочность стекла существенное влияние оказывает площадь его поверхности [8]. Поэтому для правиль­ ного описания явления хрупкого разрушения во многих случа­ ях становится необходимым дальнейшее усовершенствование статистической теории. В настоящем разделе вводится два рода дефектов — поверхностные и объемные [32]. Благодаря этому удается получить аналитическое распределение для пределов прочности, более общее, чем распределение Вейбулла. Это рас­ пределение обобщается далее на случай неоднородного напря­ женного состояния. Рассматривается случай дефектов, неравно­ мерно распределенных по объему тела; показывается, что слу­ чай дефектов двух родов может быть получен путем предельно­ го перехода. Дается применение обобщенной теории к объясне­ нию двойственной природы масштабного эффекта.

Рассмотрим тело объемом V и поверхностью о, находящееся в однородном напряженном состоянии с главными напряжения­ ми <Т|, 02, Оз- Допустим, что разрушение тела наступает в одном

из двух случаев: если разрушается некоторый первичный эле­ мент, находящийся внутри объема V, или если разрушается пер­ вичный элемент на поверхности ш. Условием разрушения являет­ ся, таким образом, достижение эквивалентным напряжением s, зависящим от oi, сг2 и аз, местного предела прочности R в одной

объема, Fi{s) — функция распределения местных пределов проч­ ности внутри объема V; распределение первичных элементов по объему V будем пока считать равновероятным. Аналогично обоз­ начим через п2 среднее число первичных элементов, приходяще­ еся на единицу поверхности о, F2(s) — соответствующая функ­ ция распределения для местных пределов прочности. Объемные и поверхностные дефекты неравновероятны, это учитывается функциями вида F](s) и F2(s).

Функция распределения F(R) для пределов прочности тела равна, очевидно, вероятности разрушения тела при эквивалент­ ном напряжении R. Вероятность неразрушения тела по теореме

Если ti\V и n2<ùвесьма велики, то может быть получена про­ стая асимптотическая оценка для функции F(R), аналогичная оценке (1.53) для функции распределения минимальных значе­ ний. Пусть Si и s2— .минимальная прочность объемных и по­ верхностных первичных элементов. Чем больше числа п\V и л2(о, тем ближе ожидаемая прочность тела к минимальной проч­ ности Si и s2. Предположим, что при значениях s, достаточно

где Ci и ai — некоторые положительные константы. Аналогично при значениях s, близких к s2:

Вообще, Sj =^=s2; но здесь предполагается, что интервалы из­ менения s, внутри которых справедливы приближенные равен­ ства (3.32) и (3.33), перекрываются. Установим предельное вы­ ражение для F(R) при весьма больших числах ti\V и л2ю и при R, близких к Si и s2. Оставляя >в стороне строгое обоснование предельного перехода, ограничимся формальными выкладками. Вычтем левую и правую части равенства (3.21) из единицы и прологарифмируем получецное соотношение

In [1 — F(/?)] = щ V In [1 — F, (/?)] + n, a) In [1 — Ft (/?)]. (3.34)

Учитывая (3.32) и (3.33), найдем, что при достаточно ма­ лых R—$i и R—52

смысл лишь при достаточно больших числах ti\V и л2ш. Выпол­ няя эту подстановку и потенцируя, получим

знаком экспоненциальной функции сохранится лишь первое сла­ гаемое, если 52< /?< S I — то только второе слагаемое. Помня эту оговорку, мы будем писать в дальнейшем оба слагаемых.

Чем больше числа tiiV и л2©, тем ближе .выражение (3.36) к точному выражению (3.31). В дальнейшем мы будем трактовать распределение (3.36) как точное распределение для хрупкой прочности при одновременном учете объемных и поверхностных дефектов.

Для удобства, как и в п. 28, введем обозначения:

Здесь Vo и ©о— некоторые эталонные объем и площадь, напри­ мер, объем и площадь стандартного образца, sCi и sCi — неко­

торые константы, имеющие размерность напряжения. Тогда

окончательно получим распределение пределов прочности те­ ла R

Распространим формулу (3.37) на случай, когда напряжен­ ное состояние является неоднородным. Предположим, как и ра­ нее, что внешние силы заданы с точностью до одного параметра 5, имеющего размерность напряжений. Тогда эквивалентное напряжение 5 = 5 / (х, у, г ), где / (х, у, z) — безразмерная функ­ ция координат точки. Разобьем объем V на N\ частей AV*, а поверхность © — на А?2 частей Д©*, достаточно малых, чтобы в пределах каждой части напряженное состояние можно было приближенно считать однородным, и в то же время достаточно больших, чтобы произведения пîAV* и п2Д©* представляли со­ бой большие числа. Вероятность того, что при параметре S не произойдет разрушения ни одного из первичных элементов в объеме AVft, очевидно, равна

Распределение (3.41) позволяет описать двойственный ха­ рактер масштабного эффекта. Рассмотрим вначале случай од­ нородного напряженного состояния, причем для упрощения по­ ложим, что минимальная прочность объемных и поверхностных элементов одинакова (s= s2= s 0). Тогда, используя формулу (3.9), придем к формуле

f " ( т ^ Г ] dR‘ (3,43)

Для дальнейших вычислений введем безразмерные парамет­

сходящегося ряда по полным гамма-функциям. Пусть, напри­

и проинтегрируем почленно равномерно и абсолютно сходя­ щийся ряд. Замечая, что

00

О

где Г (х) — полная гамма-функция, найдем