книги / Статистические методы в строительной механике

ласть для эмпирической кумулятивной кривой; построенной по 200 измерениям. Чем выше требования к достоверности утверж­ дения о том, что точка теоретической кривой лежит внутри опре­ деленных границ, тем шире оказываются эти границы. Вероят­ ность нахождения теоретической кривой внутри интервала

± 1 равна 0,96, т. е. это событие является почти достоверным. А^ежду тем утверждение о том, что теоретическая кривая лежит внутри интервала ±0,05, имеет достоверность, равную лишь 0,29. Поскольку при доказательстве критерия А. Н. Колмогоро­

ва принято, что F(x) и F(x) — непрерывные функции, то при его использовании следует избегать объединения эмпирических зна­ чений в слишком крупные интервалы.

Другой часто употребляемый критерий основан на использо­ вании х2 -распределения Пирсона; при этом о близости двух рас­ пределений судят по величине (1.61). С этим критерием согла­ сия можно познакомиться по курсам математической статисти­ ки 154, 66].

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБОСНОВАНИЯ НОРМАТИВНЫХ РАСЧЕТОВ

16. Вступительные замечания

Целью инженерного расчета конструкции является получе­ ние гарантии того, что за время ее эксплуатации не наступит ни одно из недопустимых предельных состояний. Для определен­ ности будем в дальнейшем говорить о предельных состояниях по прочности, записывая «условие прочности» в виде

Как внешняя нагрузка, так и несущая способность являются изменчивыми, случайными величинами, законы распределения которых можно лишь установить, систематически накапливая и изучая опытные факты, относящиеся к однородным 'условиям. Характер этой изменчивости таков, что в большинстве случаев не существует вполне определенного и имеющего практический

h абсолютное требование, чтобы выполнялось неравенство (2.1), лишено смысла. Можно лишь поставить условие, чтобы в тече­ ние срока службы сооружения оно было выполнено с той или иной вероятностью, достаточно близкой к единице. Таким обра­ зом, мы пришли к вероятностной трактовке инженерных расче­ тов на прочность/

Традиционные методы расчета, разумеется, содержат эле­ менты статистического подхода, хотя бы в более или менее за-

вуалированной форме. «Условие прочности» (2.1) заменяется условием

прочности. Расчетные значения нагрузок и несущей способности входят в условие (2.3) как некоторые вполне определенные, де^ гермппированные величины. По отношению к реальным величи­ нам, имеющим случайный характер, они играют роль либо неко­ торых средних или вероятных значений, либо средних в группе наибольших (наименьших) значений. На формирование расчет­ ных (нормативных) значений большее влияние, нежели теорети­ ческие соображения, оказали традиция и историческая преем­ ственность. Поэтому первенствующее значение в условии проч-. ности (2.3) принадлежит коэффициенту запаса. Величины ко­ эффициентов запаса, а также тесно с ними связанные величины, расчетных нагрузок и расчетных сопротивлений вырабатыва­ лись, исправлялись и уточнялись главным образом эмпириче­ ским способом, путем обобщения многолетнего опыта проекти­ рования и эксплуатации конструкций. Между тем, как видно из. существа задачи, здесь возможны в принципе и теоретические подходы с широким привлечением аппарата теории вероятно­ стей и математической статистики. Применяемые совместно С технико-экономическим анализом и с учетом результатов, ниже-., мерной практики вероятностные методы открывают возмбйсности для теоретического обоснования существующих нормативных методов расчета, для разработки новых, (более прогрессивных и экономичных методов.

Приведенные выше соображения являются в настоящее вре­ мя общепризнанными и едва ли могут вызвать возражения. Это стало возможным, однако, лишь в результате многолетней, ра­ боты ряда исследователей, которые способствовали разъясне­ нию вероятностной природы коэффициента запаса и популяри­ зации статистических методов исследования среди инженеров.

Первые работы, посвященные критике классической концеп­ ции «условия прочности» и применению методов теории вероят­ ностей к расчету сооружений, принадлежали М. Майеру (177] и Н. Ф. Хоциалову (121—122]. Эти работы, носившие ярко выра­ женный дискуссионный характер, не встретили, по-видимому, широкого одобрения. Выдающаяся роль в деле развития стати­ стических методов в строительной механике принадлежит H. С. Стрелецкому. Начиная с 1935 г., он опубликовал серию работ [109—114], которые были подытожены в его книге [115]. Параллельно велись исследования эмпирических распределений для нагрузок и механических характеристик строительных ма-

териалов. Среди них должны быть упомянуты исследования В. В. Кураева [68].

Работы М. Майера, Н. Ф. Хоциалова и H. С. Стрелецкого бы­ ли, по существу, первыми работами в области теории надежно­ сти. Ряд вопросов теории надежности был впервые поставлен и разрешен в этих работах — обстоятельство, которое заслужива­ ет быть отмеченным в современных публикациях по теории на­ дежности.

В послевоенные годы изучение статистической природы коэф­ фициента запаса было продолжено более широким фронтом. Важное место здесь принадлежит исследованиям А. Р. Ржанииына [87—94]. Примерно в то же время началась разработка аналогичных вопросов за рубежом [130, 149—151, 162, 181, 189]. Следует особо отметить, что идеи статистического обоснования нормативных расчетов, зародившиеся впервые в области расче­ та строительных конструкций, начали проникать в машинострое­ ние [202] и авиацию [166, 190, 191, 206].

Работы по применению теории вероятностей к расчетам на прочность сыграли существенную роль в подготовке перехода к более совершенному методу расчета конструкций по предель­ ному состоянию, осуществленному в послевоенные годы, хотя не все они непосредственно были связаны с этими методами. На­ ряду с работами упомянутых выше авторов важное место при­ надлежит исследованиям А. А. Гвоздева, И. И. Гольденблата,

В.М. Келдыша и других авторов.

Основная формула метода расчета по предельному состоя­

нию имеет вид

или пределы текучести материалов, из которых изготовлена кон­

нятие предельного состояния конструкции, он в гораздо большей степени, чем исторически предшествовавший ему метод допус­ каемых напряжений, дает возможность отразить вероятностную природу условий прочности. Это достигается благодаря расшиф­ ровке коэффициента запаса, расчленению его на отдельные ком­ поненты и приданию каждому компоненту определенного физи­ ческого смысла, связанного с изменчивостью тех или иных вели­ чин. Коэффициенты перегрузки характеризуют изменчивость внешних нагрузок и определяются как отношение нагрузок, со­ ответствующих достаточно малым вероятностям появления, к нормативным нагрузкам. Коэффициенты однородности анало­ гичным образом характеризуют изменчивость прочности мате-

риала. Перечисленные коэффициенты назначаются, исходя из эмпирических распределений для соответствующих случайных факторов и из накопленного опыта строительства; при составле­ нии новых норм, как известно, широко использовался положи­ тельный опыт, накопленный в предшествующих нормах [58].

Несмотря на то, что отдельные стороны метода предельных состояний нуждаются в уточнении и доработке, в целом он предо­ ставляет собой более совершенный и прогрессивный метод рас­ чета. Оставаясь по форме детерминистическим, он все же весь­ ма тесно связан с вероятностными методами и дает толчок к целому ряду исследований, использующих аппарат теории ве­ роятностей и математической статистики.

Настоящая глава целиком отведена вопросу об обосновании нормативных расчетов конструкций. Этому наиболее простому, наиболее раннему и вместе с тем важному приложению веро­ ятностных методов посвящена обширная литература. Мы огра­ ничимся лишь освещением основных идей в этой области, харак­ теристикой современного состояния и указанием основных на­ правлений дальнейшего развития. Те или иные чисто техниче­ ские детали будут приводиться лишь для иллюстрации общих положений.

Критический анализ некоторых трактовок статистического метода и анализ связи этого метода с теорией надежности мы отложим до п. 24—26.

17. Общие положения

Допустим, что состояние конструкции в условиях эксплуата­ ции может быть охарактеризовано конечным числом независим

ной схемы и т. д. В число параметров qu Яг, • • • Ял мы 'не будем включать те величины, которые в конструкции., .реализуются .в точном соответствии с расчетом или с малыми допусками,, влия­ нием которых на работу конструкции .можно пренебречь.

Например, в их число не включаются параметры, характери­ зующие размеры и форму сооружения (за исключением,- может быть, задач устойчивости и родственных им, где малые отступ1 ления от проектных размеров приобретают важное -значение).

Таким образом, все параметры Яи Я2,--Яп мы будем считать случайными, предполагая, что известна их совместная плотность

вероятности р(Яи <72. Для краткости эти параметры мы будем называть определяющими параметрами.

Основная задача расчета состоит в.определении вероятности того,» что недопустимое предельное, состояние не будет достигну­ то, и в сопоставлении найденной вероятности, с некоторым

нормативным значением. Запишем условие недопустимости пре­ дельного состояния (2.1) в виде

Вероятность случайного события, состоящего в том, что нера­ венство (£.5) будет выполнено, обозначим через Р ( + ) . Вероят­ ность противоположного события (т. е. вероятность наступления предельного состояния) обозначим через Р(—). Тогда по фор­ муле (1.23)

Vf?!. ?J. . .qn)>4

Задача определения вероятности Р[ + ) сводится, таким об­ разом , к интегрированию плотности вероятности p(q\, Яг, Яп) по той части пространства определяющих параметров qit q^ ... qn, где выполняется условие (2.5) («область безопасности»).

Поскольку вероятность Р ( + ) должна 'быть весьма близка к единице, то удобнее вычислять вероятность

жений, опыта строительства и эксплуатации и т. д.

Формулы (2.6), (2.7) и (2.8) дают принципиальное решение статистической задачи расчета на прочность. Необходимо отме­ тить, что для их применения требуется знать не только совмест­ ную плотность вероятности р{Яи Яг,— Яп)* но и решение соответ^ ствующей детерминистической задачи для всей интересующей нас области параметров qn <72,...«7„. Решение этой задачи дает­ ся обьганым'И методами строительной механики. Таким об­ разом, статистический подход не может заменить решения де­ терминистической задачи. Напротив, он предполагает решение этой задачи в объеме, нередко большем, чем классические мето­ ды расчета.

18. Другие варианты статистического подхода

Соображения, изложенные в предыдущем параграфе, могут быть положены в основу статистического метода обоснования нормативных расчетов. Близкие к ним соображения высказы­

оружения или конструкции. Что касается вероятности наступле­ ния предельного состояния, то, очевидно:

Другой подход основан на анализе распределения функции уУ(Яи <72, ..?„), вводимой согласно формуле (2.5). Производя за­ мену переменных qi=h(Wt <72, - - О , получим формулу, анало­ гичную формуле (2.10):

Для числовых характеристик распределения имеют место соот­ ношения, аналогичные формулам (2.11) и (2.13), а вероятность наступления предельного состояния находится по формуле

о

Подход, основанный на рассмотрении коэффициента запаса k, близок к подходу, который развивался H. С. Стрелецким в его работах [109—116]. H. С. Стрелецкий исходил в основном из методики допускаемых напряжений и представлял коэффициент запаса в виде

Здесь k\ — коэффициент, учитывающий изменчивость нагруз­ ки; k2— коэффициент учета отклонений реальной конструкции от расчетной схемы; й3 — коэффициент, учитывающий изменчи­ вость прочности материала, и т. д. Коэффициенты k\, k2>..kn можно считать статистически независимыми. Тогда

p(k) =

тельные предположения (линейная зависимость функции 'F от определяющих параметров и нормальный закон их распределе­ ния),, то становится возможным получить весьма простые фор­ мулы для вероятности Р (—).

Эквивалентность формул (2.7), (2.13) и (2.15) вытекает из физических соображений; она может быть легко установлена также путем формальных преобразований.

19. Эмпирические распределения для прочности материалов

Прежде чем переходить к применению изложенных вышеоощих положений, необходимо познакомиться с некоторыми осо­ бенностями эмпирических распределений. Поскольку внешние нагрузки и характеристики прочности материала являются ста­ тистически независимыми, то их распределения могут быть рас­ смотрены раздельно. Мы начнем с распределения прочности ма­ териалов, ибо анализ распределения нагрузок, как мы увидим, представляет некоторые дополнительные трудности.

На рис. 13 приведена типичная кривая распределения преде­ лов текучести для стали марки Ст.З (83]. Как видно из графика, в области не слишком больших отклонений пределы текучести стали имеют распределение, близкое к симметричному, и внеш­ не напоминающее кривые нормального распределения.

Кривые распределения пределов прочности для бетона с про­ ектной маркой 170, взятые из работы 144], приведены на рис. 14. И здесь имеет место распределение, близкое к нормальному. Эти кривые относятся, правда, к заводскому бетону. Бетон по­ строечного изготовления обнаруживает большую изменчивость и большую асимметрию распределения, чем заводской бе­

тон 144].

В теоретических расчетах для характеристик прочности обычно берется нормальное распределение [87—94, 149—>151]. Против этого могут быть выдвинуты серьезные возражения, од­ но из которых состоит в том, что нормальное распределение не ограничено ни снизу, ни сверху и простирается в область отри­ цательных значений. Применение некоторых асимметричных рас­ пределений было рассмотрено в работах [79, 115]. Имея рас­ пределение, заданное с точностью до трех или четырех парамет­ ров, можно достаточно хорошо аппроксимировать эмпирическое

распределение вблизи его центра. Однако для расчета на проч­ ность основной интерес представляет возможность надежной экстраполяции выбранных кривых в сторону низких значений прочности с очень малой вероятностью появления.

Для того чтобы на основании эмпирических данных с доста­ точной достоверностью получить отрезки кривой распределения, относящиеся к малым вероятностям (например, порядка 0,001), нужно располагать числом испытаний, во много раз превышаю­ щим реальные возможности массового эксперимента. Это выте­ кает, в частности, из критерия согласия А. Н. Колмогорова. Най­ дем, например, число испытаний, необходимое для того, чтобы •с достоверностью, равной 90°/о, можно было утверждать, что ве­ роятность обнаружить низкий предел текучести лежит в преде-

.лах между нулем и 0,001. Максимальная разность между кри­ выми распределения равна, следовательно, Dn=0,001. Досто­ верности, равной 90%, соответствует значение функции К(х) =

— 0,50. Отсюда х —0,828 и, следовательно, требуемое число опы­ тов оказывается равным

п = — = 0,6810е.

Д аж е в случае, когда необходимый доверительный интервал ра­ вен D„ = 0,01, число опытных точек должно быть порядка 104. Наиболее массовая известная нам обработка результатов срав­ нительно однородных испытаний содержала лишь 6800 опытных точек {83].

Надежная экстраполяция эмпирических данных в область весьма малых вероятностей возможна лишь при условии, если из каких-либо общетеоретических соображений известны асимп­ тотические свойства распределений в области малых вероятно­ стей. Эти данные могут быть получены лишь на базе статисти­ ческих теорий прочности, практическое значение которых в свя­ зи с этим значительно возрастаег (см. третью главу).

20. Эмпирические распределения для нагрузок

Среди различных типов нагрузок, действующих на сооруже­ ния и конструкции, наиболее изученными с точки зрения стати­ стического распределения являются ветровая и снеговая нагруз­ ки. Эмпирические кривые распределения этих нагрузок пред­ ставлены на рис. 15 и 16. В отличие от кривых распределения прочности они обладают дзумя особенностями. Во-первых, они обнаруживают ярко выраженную асимметрию, что вовсе исклю­ чает возможность их аппроксимации при помощи нормального распределения. Во-вторых, эти кривые оказываются зависящими от времени, в течение которого велись наблюдения за изменчи­ востью нагрузок. Такая зависимость проявляется по-разному для