книги / Статистические методы в строительной механике

Напряжения и деформации подземных трубопроводов, про­ кладываемых в статистически неоднородном грунте, являются случайными функциями осевой координаты. Это обстоятельства должно учитываться при расчете трубопроводов на прочность: параметры трубопровода должны быть выбраны так, чтобы ве­ роятность достижения предельного состояния была достаточно малой. В некоторых случаях наряду с условиями прочности мо­ гут быть поставлены условия жесткости. Так, если трубопровод служит для передачи направленных световых пучков, то вероят­

ность превышения прогибом некоторого уровня на заданной длине трубопровода должна быть достаточно мала. В случае трубопроводов, играющих роль волноводных линий связи или энергетических волноводов, должны быть достаточно малы зна­ чения спектральной плотности кривизны оси волновода, соответ­

ствующие определенным диапазонам волновых чисел.

Будем рассматривать трубопровод, проложенный в грунте, как бесконечно длинный упругий стержень, лежащий на сплош­ ном упругом основании винклеровского типа. Изгибную же­ сткость стержня обозначим через EI, эффективную ширину стержня через Ь, коэффициент отпора основания, равный давле­ нию, которое требуется для погружения штампа на единицу глу­ бины, через с. Выберем систему координат Oxz, как показано на рис. 81. Предположим, что основание, подготовленное для уклад­ ки трубопровода, является неровным. Пусть уравнение кривой, описывающее эту начальную неровность, будет w=u(x). Погон­ ную нагрузку от вышележащих слоев грунта обозначим через q(x). Составим уравнение изгиба трубопровода.

Нагрузка на единицу длины стержня складывается из дав­ ления вышележащего грунта q(x) и реакции основания, рав­ ной— cb(w—и). Подстановка в уравнение%изгиба стержня дает

dx*

Допустим, что нагрузка q, коэффициент отпора с и неров­ ность и являются стационарными эргодическими случайными функциями координаты х. Среднее значение нагрузки и коэффи­ циента отпора обозначим соответственно через qo и с0. Среднее значение функции и примем равным нулю, что всегда можно

сделать, выбрав соответствующую глубину h (рис. 81). Допу­ стим далее, что эти функции могут быть представлены в виде:

Я= Яо+ V- <h (х),

U = р. Uy (х).

Здесь q\(x), Су(х) и U\(x) — стационарные эргодические слу­ чайные функции со средними значениями, равными нулю, ц — малый параметр. Введение малого параметра означает, что не­ однородности предполагаются статистически малыми (вероят­ ность больших отклонений от средних значений достаточно мала).

Учитывая формулы (5.114), будем искать решение уравнения (5.113) в виде ряда

El — — -f bc0w2= — bCi(х) wx(x) + Ъсх(х) их(х)

dx*

и т. д. Интеграл первого уравнения, ограниченный на ± оо, име­ ет вид

Таким образом, WQ является прогибом стержня в однородных условиях. С точки зрения расчета на прочность и жесткость ин­ терес представляет выражение w—ю0 = рте>|(>) + р2до2(*) +

Его среднее значение равно нулю. Для среднего квадрата имеем формулу

где чертой обозначено осреднение по множеству реализаций (или по координате х), а точками обозначены члены, содержащие р в степени выше третьей. Из формулы (5.118) видно, что с точ­

ностью до р2 средние квадраты (ку—к>0)2 и ш | совпадают. Это' замечание относится и к соответствующим корреляционным функциям. Имея в виду, что параметр р является достаточно малым, ограничимся рассмотрением функции W\(x).

В дальнейшем будем обозначать функции рдо,(х), р^|(х),

Введем по формуле (5.12) спектральные плотности для слу­ чайных функций W\ (х) и г(х) :

[й размерность м ~ 1, будем называть шелом системы «трубопровод — упруïoe волновое число лишь множителем вого числа, входящего в общий инте- >угом основании с коэффициентом от-

28) позволяют, не конкретизируя вида т(ш), сделать некоторые общие вывогрунта и жесткости трубопровода на леднего.

а,, характеризующей связь между не* условий и неоднородностью прогибов рис. 82. Из графика видно, что систе­ ме основание» является хорошей сгланеоднородности грунтовых условий.

Это особенно проявляется в области волн, длины которых до­ статочно малы по сравнению с собственной длиной

В то же время для неоднородностей, длины волн которых ве­ лики по сравнению с собственной длиной, сглаживающий эф­ фект невелик.

Сказанное относилось к неоднородности прогиба трубопрово­ да. С точки зрения расчета трубопровода на прочность интерес представляет статистическое распределение для кривизны. Гра­ фик для функции fx , входящей вовторую формулу (5.126),при­

веден на том же рис. 82. Из графика видно, что наименьший

сглаживающий эффект имеет место вблизи ©=<оо. В самом деле, при (о=шо функция / х имеет точный максимум Следовательно,

с точки зрения кривизны оси трубопровода система «трубопро­ вод— упругое основание» хорошо сглаживает лишь те неодно­ родности, характерная длина которых мала или велика по срав­

ше длина Х0- В качестве примера в табл. 5 приведены значения Хо при разных грунтовых условиях для двух типов трубопрово­ дов: для металлического трубопровода с наружным диаметром d=6U мм и изгибной жесткостью £ /= 1 0 е кнсм2 и для трубопро­ вода с наружным диаметром d=120 мм и изгибной жесткостью £7= 107 кнсм:2. В качестве эффективной ширины b в обоих слу­ чаях принят наружный диаметр d.

Рассмотрим возможные аналитические представления для корреляционной функции и спектральной плотности стационар­ ной случайной функции г(х), которая выражается через случай­ ные функции qi(x), С|(х) и «î(jc). Факт затухания корреляции значений функции г(х) в двух точках с координатами х и х+1 по мере увеличения расстояния g может быть описан при помощи выражений типа (5.15) при 6=0. Но функция г(х) мо­ жет содержать скрытые периодичности. Эти периодичности мо­ гут быть обусловлены технологией отсыпки песчаной подушки, технологией закрытия траншеи и т. д. В этом случае естествен­ но взять корреляционную функцию в виде (5.15)

Здесь а и 0 — параметры, имеющие размерность м~1. В дальней­ шем будем задавать грунтовые неоднородности в виде (5.130). Формула (5.130) дает удобную аппроксимацию для реальных корреляционных функций, многие из которых имеют ярко выра­ женный участок отрицательной корреляции.

Вместо Ко удобно ввести безразмерный коэффициент р по формуле

Будем называть его коэффициентом неоднородности грунтовых условий. Учитывая формулу (5.120), найдем, что

(q, — Ьс\ w„ + bc0u,)*

(5.132)

4

Коэффициент р характеризует разброс суммарной нагрузки на трубопровод (т. е. суммы давления верхних слоев и реакции грунта) и неровность начальной поверхности основания. Очевидно, что при достаточно однородных условиях р2 < 1.

Используя формулы (5.16), (5.130) и (5.131), получим сле­ дующую формулу для спектральной плотности Фг (оо):

На рис. 83 представлены результаты вычислений по формуле (5.133). Максимум спектральной плотности достигается вблизи о = 0.

Рис. 83

Наиболее существенным фактором, входящим в функцию не­ однородности г(х), является разброс коэффициента отпора уп­ ругого основания. Статистические свойства коэффициента отпо­ ра песчаных оснований исследовались группой сотрудников МЭИ под руководством В. Л. Благонадежина и Е. П. Кудряв­ цева. Определялись средний коэффициент отпора Со, его средне­ квадратическое отклонение ос и значения нормированной кор­ реляционной функции стационарного случайного процесса ci(*):

Ci (*) Ci (x + €)

P(S) =

На рис. 84 приведен график для случая основания из мелко­ зернистого сухого песка. Экспериментальные точки соответству­ ют результатам изменения коэффициента отпора в 162 точках с интервалом между ними, равным 15 см. Штамп имел форму круговую в плане'х диаметром 5 см. Максимальное давление на грунт составляло 2,3 нсм~2. На рис. 84 показана полоса, соот­

ветствующая 90% доверительной вероятности. Средние коэффи­ циенты отпора для данного основания в трех сериях опытов ока­ зались равными 5,8, 6,2 и 6,41 нсмг*\ средние квадратические отклонения составляли соответственно 1,75, 2,38 и 1,93 нсмгг.

Жирной линией на рис. 84 нанесена кривая

р(£) = e_aU lcos0S.

Наилучшее приближение к экспериментальным точкам полу­ чается при 0 =3,65 м-1, а=2,75 м~К

Применение формул (5.124), (5.125) и (5.133) к расчету тру­ бопроводов на прочность и жесткость на основе теории случай­ ных выбросов будет дано в п. 66.

НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИИ И ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ НАГРУЗКАХ

62. Общая характеристика проблемы

Выход конструкции из строя — отказ—редко бывает связан с ее разрушением в буквальном смысле этого слова. Обычно это является результатом постепенного накопления повреждений, остаточных деформаций, износа и т. п., которые, достигнув оп­ ределенной величины, начинают препятствовать нормальной экс­ плуатации конструкции. В течение срока службы конструкция работает в условиях повторно-переменного нагружения, пред­ ставляющего собой некоторый случайный процесс. Накопление повреждений поэтому также является случайным процессом. Зная изменение вероятностных характеристик этого процесса со временем, мы могли бы судить о распределении повреждений к концу установленного срока службы сооружения. У правильно запроектированной конструкции к концу эксплуатации вероят­ ность некоторой предельной величины повреждения не должна быть чрезмерно велика. Таким образом, проблема накопления повреждений при случайных перегрузках оказывается тесно свя­ занной с основами расчета конструкций на надежность.

Такой подход представляет дальнейший шаг вперед по срав­ нению с анализом предельных состояний в его вероятностной трактовке и является его логическим развитием. Переход к ана­ лизу накапливаемых повреждений позволяет преодолеть теоре­ тические трудности, характерные для метода предельного со­ стояния.

К ним относятся в первую очередь проблемы учета фактора времени, изменчивости и сочетания нагрузок. В самом деле, только в первом приближении внешние нагрузки можно рассматривать как совокупность некоррелирующих случайных величин. В действительности же изменение нагрузок представля­ ет собой развертывающийся во времени процесс, и только такая трактовка позволяет правильно учесть влияние срока службы, изменчивости и корреляции нагрузок. Но если внешние нагрузки

являются случайным процессом, то и поведение конструкции яв­ ляется таковым; мы приходим, таким образом, к необходимости рассматривать процесс накопления повреждений. Основным по­

нятием в новом методе становится более конкретное понятие меры повреждения, за которую в зависимости от типа и харак­ тера работы конструкции могут быть приняты: величина харак­ терной остаточной деформации, размеры трещины, уменьшение рабочего сечения вследствие износа и т. п.

Некоторые элементы анализа повреждаемости содержатся в методе предельных состояний. Это находит отражение, напри­ мер, в предоставляемой свободе для трактовки понятия «пре* дельное состояние», которое можно истолковать (хотя это обыч­ но не делается) как достижение к концу срока службы предела ной величины меры повреждения. Как уже подчеркивалось, было бы неправильным смотреть на статистические методы ана­ лиза предельных состояний как на массовое расчетное средство: они были и останутся в первую очередь средством исследования. Сказанное относится также к излагаемому здесь методу, кото­ рый использует более сложный математический аппарат и более сложные понятия. Однако в ряде задач (например, в задаче о накоплении усталостных повреждений при напряжениях, пред­ ставляющих собой стационарный случайный процесс) результа­ ты могут быть доведены до простых расчетных формул.

Накопление остаточных деформаций упруго-пластической си­ стемы под действием случайных сил рассматривалось, по-види­ мому, впервые в первом издании настоящей книги. Накоплению усталостных повреждений посвящена более обширная литера­ тура [12, 99, 152, 179]. Развитие этого вопроса дано в работах [22, 25, 26, 27, 34], на базе которых написаны в основном пп. 69— 75 настоящей главы. Отдельные результаты данной главы пуб­ ликуются впервые.

Рассматривая вопрос о надежности конструкций при случай­ ных перегрузках, необходимо выделить следующие три класса задач. К первому классу относятся задачи расчета конструкций, находящихся под действием кратковременных нестационарных нагрузок с весьма высоким уровнем напряженности.

Таковы, например, сейсмические и взрывные нагрузки, пред­ ставляющие собой нестационарный случайный процесс. Здесь вопрос о накоплении повреждений, естественно, не возникает; задача состоит в отыскании вероятности хотя бы однократного достижения опасных состояний при реализации такого случай­ ного процесса. Пример такого процесса показан на рис. 85, где через s(t) обозначен обобщенный параметр внешней нагрузки, а через R — обобщенные характеристики несущей способности (ха­ рактеристика Ra соответствует полному разрушению, R„— по­ явлению первых макроскопических остаточных деформаций, R j — характеристика, которая в терминах напряжений соответ­ ствует пределу выносливости).