книги / Статистические методы в строительной механике

Если D s’ (D, S) не зависит явно от S, то мы, очевидно, возвра­ щаемся к формуле (6.54).

71. Теория двух стадий усталостного разрушения

Несмотря на простоту исходных гипотез и основных урав­ нений, практическое применение обобщенной теории накопле­ ния усталостных повреждений затруднительно. Это объясняется необходимостью двухкратного вычисления квадратур в фор­ муле (6.74), причем одна из них должна вычисляться в функ­ ции от параметра D.

Можно выдвинуть другую теорию, приводящую к более удобным расчетным формулам. Хорошо известно, что процесс усталостного разрушения можно представить в виде двух ста­ дий, первая из которых является подготовительной. После того как условия для возникновения усталостной трещины подготов­ лены, наступает вторая стадия, в течение которой происходят развитие и углубление трещины. Вследствие этого имеет смысл описывать процесс накопления повреждений лри помощи двух функций. Одну из них, обозначаемую в дальнейшем через G, можно трактовать как меру разрыхления зерен или как меру подготовки металла к образованию усталостной трещины. Она равна нулю для начального (неупрочненного) состояния метал­ ла и становится равной единице, когда подготовительная стадия закончена. Вторая характеристика, которая по-прежнему обо­ значается через D, является мерой развития усталостной трещины. Равная нулю при G< 4 , она обращается в единицу в момент полного разрушения (рис. 103). Таким образом, вместо уравнения (6.28) получаем два уравнения:

1 Имеются основания подразделить подготовительную стадию в свою очередь на две стадии: стадию упрочнения и стадию разрыхления. Описание процесса усталостного разрушения при помощи трех функций будет, оче­ видно, еще более полным. Вообще теория легко обобщается на любое ко­ нечное число стадий*

Здесь No(S)— число циклов, необходимое для зарождения усталостной трещины, N(.S)— по-прежнему предельное число циклов. В отличие от теории суммирования повреждений здесь предполагается, что автомодельность имеет место лишь для каждой стадии в отдельности (рис. 104).

's," s

Используя высказанные гипотезы, придем к уравнениям ти­ па (6.75) :

Проинтегрируем первое из них от нуля доМ,, (Nn„—число циклов, необходимое для зарождения трещины при сложном режиме нагружения), а второе — в пределах от N„0 до Ntt. Тогда по­ лучим:

ло

Из первого условия найдем N n„ после чего из второго — предель­ ное число циклов Nп .

Применим условия (6.77) « одноступенчатому режиму. Если Hi<W0(Si), т. е. если в течение первого этапа нагружения ин­ кубационная стадия еще не закончилась, то вместо формул (6.77) получим

перелома на диаграмме суммарной долговечности принципиаль­ но вполне обосновано, поскольку характер изменения долговеч­ ности должен зависеть от того, начинается ли развитие трещины при начальном или контрольном напряжении. Из-за неустрани­ мого влияния случайных факторов и статистического разброса свойств образцов на опыте эти угловые точки, конечно, не обна­ ружатся, хотя на диаграммах долговечности и следует ожидать -местных изменений кривизны.

Если надлежащим образом выбрать параметры, то обе пред­

лучше описывает реальный процесс. Правильнее было бы ска­ зать, что обе они являются лишь приближенным феноменоло­ гическим описанием весьма сложного процесса накопления усталостных повреждений, учитывающим в отличие от теории суммирования влияние истории нагружения. Заметим, что в рамках этих теорий можно описать также и явление «аномаль­ ного» упрочнения (сравните штриховые кривые на рис. 99 и 103).

Выведем формулу для ожидаемого срока службы, отправ­ ляясь от условий (6.77). Подставляя в первое из них вместо dn

При N0-+0, что соответствует переходу к теории суммирования, мы возвращаемся к формуле (6.54).

72.Применение теории двух стадий усталостного разрушения. Сопоставление с теорией суммирования повреждений

Поскольку, как уже указывалось, обобщенная теория сум­ мирования й теория двух стадий усталостного разрушения дают примерно одни и те же результаты, мы воспользуемся второй из них, как приводящей к более удобной для вычислений фор­ муле (6.78). Рассмотрим стационарный случайный процесс с гауссовским распределением для мгновенных напряжений s(0 - Среднее число превышений уровня 5 для этого процесса опре­ деляется по формуле (6.7). Для кривой усталости N=N(S) примем аппроксимацию (6.55) и, кроме того, положим, что:

При этом Z(m2, x0) = 'F(2) P(xl, m2-f 2),

ставляет, таким образом, 14,2%. Аналогичные результаты по­

толкование. Обычно мы имеем такое положение, что среди цик­ лов с напряжениями, превышающими предел выносливости, циклы с большими напряжениями менее вероятны. Поэтому, рассматривая случайный процесс в целом, мы приходим к вы­ воду, что он представляет собой режим переменных напряжений с умеренным средним уровнем и с редкими перегрузками. При таких режимах, как мы уже указывали, наблюдается не­ которое снижение долговечности по сравнению с той, которая предсказывается теорией суммирования повреждений.

Формула (6.80) неудобна для вычислений, поскольку ее использование связано с вычислением трудоемких квадратур.

Было бы желательным получить простую оценку для долговеч­ ности снизу. Используя преобразование

В Д 4

чинами, а долговечность оказывается чувствительной к их ма­ лым изменениям (это особенно относится к пределу выносли­ вости Rf), то во многих случаях расхождения в 10—20% сле­ дует признать несущественными. Тогда может быть использо­ вана оценка для долговечности, которая дается теорией сумми­ рования повреждений.

73. Оценка долговечности при квазистационарных случайных режимах напряжений

Рассмотрим вопрос об оценке долговечности конструкций при переменных напряжениях, представляющих собой случай­ ный процесс, близкий к узкополосному стационарному процессу. Обычно режим работы конструкции является нестационарным; однако характеристики этого режима меняются достаточно мед­ ленно по сравнению со случайными изменениями нагрузок и на­ пряжений.

Например, средняя скорость ветра и среднее давление ветра на поверхность меняются медленно по сравнению с пульсационными составляющими ветра и давления. Можно привести

и другие примеры, из которых видно, что режимы напряжений,

процессу служит малость изменения его вероятностных харак­

Процесс, удовлетворяющий этим условиям, будем называть квазистационарным. Вероятностные характеристики этого про­ цесса являются медленно меняющимися функциями по сравне­ нию с изменением самой функций. Это позволяет в пределах интервалов времени At, сопоставимых с т, приближенно рас­ сматривать процесс как стационарный, а время t, входящее в качестве аргумента в вероятностные характеристики процесса, рассматривать как параметр.

Если исключить режимы с очень высоким уровнем напря­ жений, когда разрушение наступает после небольшого числа циклов, то можно считать, что изменение меры повреждения за время At также является малым. Таким образом, при квазистационарных режимах случайных напряжений имеют место три процесса: быстрое изменение напряжений, медленное изменение вероятностных характеристик .режима напряжений и медлен­ ный рост усталостных повреждений. Два последних процесса должны быть рассмотрены совместно.

Воспользуемся теорией двух стадий усталостного разруше­ ния (результаты, вытекающие из теории суммирования, будут получены как частный случай). Вычислим приращение функ­ ций G и D за интервал времени At. Поскольку изменение функ­ ций G и D за этот интервал мало, то мы заменим их внутри ин­

тервала некоторыми средними значениями G и D. Пусть в те­ чение времени At имеется Дпх циклов с напряжением S|, Дп2 циклов с напряжением S2 и т. д. На основании (6.75) можно приближенно записать:

A G ^ f 0(G,D, Sj)Atij,

J

приближенно конечные разности соответствующими дифферен­ циалами, получим:

Простейшее предположение о виде функций / и /о приводит к выражениям:

N ( S ) - N 0{S)

Рассмотрим гауссовский случайный процесс, близкий к ста­ ционарному. Пусть Те (t) и os (t) — эффективный период и стан­ дарт напряжения, которые согласно предположению являются функциями времени, медленно меняющимися по сравнению с s(t). Подстановка выражений (6.55), (6.79) и (6.84) в урав­ нения (6.83) дает

Для стационарного случайного процесса Те и х0 постоянны; от­ сюда легко получается формула (6.57).

Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть R f = 20 кн/см.2, ЛЛ1= IО6, mi =8, #2=0,8 • 106, /«2=9. Предположим, что эффек­ тивный период постоянен и равен 0,01 сек, а процесс s(t) со­ стоит из двух реализаций узкополосного стационарного случай­ ного процесса со средними квадратическими напряжениями = = 10 кн/см2 и « ,= 5 кн/см2 (рис. 109). Строго говоря, в окрест­