книги / Статистические методы в строительной механике

ветровой и снеговой нагрузок [115]. В первом случае увеличение интервала времени от 10 до 40 лет и числа наблюдений от 1950 до 42 500 не привели к заметному изменению распределения. Во втором случае имеет место более существенная зависимость распределения от срока наблюдения: в частности, вероятность достижения больших значений заметно возрастает (см. рис. 16).

Дело в том, что снеговая нагрузка обладает естественным периодом изменчивости, равным одному году, и для того чтобы судить о ее распределении, нужно накапливать информацию за многие годы. В отличие от снеговой нагрузки ветровая нагрузка подвержена более частым изменениям во времени. Естественно

поэтому, что фиксируя ее изменения в течение нескольких лет, можно получить достаточно полную информацию о ее свойствах. Последующие годы наблюдений уже не вносят существенно но­ вого в найденное распределение.

То обстоятельство, что распределения для нагрузок зависят от продолжительности наблюдения, является, по существу, от­ ражением фундаментального, но не всегда четко осознаваемого факта, что в отличие от механических характеристик прочности многие нагрузки являются не просто случайными величинами, а случайными функциями времени или, как говорят, представля­ ют собой случайный процесс. Понимание этого факта совершен­ но необходимо для правильного получения и использования эм­ пирических распределений и для решения проблемы учета фак­ торов долговечности и сочетания нагрузок. В связи с важностью этого вопроса мы вынуждены остановиться на нем подробнее.

Конструкция, рассчитываемая на однократное нагружение в течение всего срока службы, — ситуация, весьма далекая от дей­ ствительности. За время эксплуатации конструкция испытыва­ ет многократные нагружения и разгрузки, различные перегруз­ ки, вызванные неблагоприятными стечениями обстоятельств, и т. п. Эта изменчивость во времени оказывается существенной не

только для быстрых процессов, связанных с динамическим на­ гружением, но и для обычных весьма медленных процессов ста­ тического нагружения.

Поскольку значения случайной функции в два различных момента времени не являются независимыми, то возникает не­ обходимость в описании корреляционных связей случайного про­ цесса. Корреляционные связи имеют место, вообще говоря, так­ же между различными видами нагрузок. Поэтому правильное решение вопроса о сочетаниях нагрузок возможно лишь в рам­ ках теории случайных процессов (см. пятую и шестую главы на­

ми способами. Можно, например, разбить все время наблюдения на достаточно малые интервалы At и фиксировать значения на­ грузки в эти интервалы. По полученным эмпирическим частотам легко найти плотность распределения p(q) (рис. 17). Можно пойти и по другому пути: фиксируя в течение достаточно долго­ го времени относительные максимумы нагрузки Q1.Q2.-- Qm* найти соответствующую плотность вероятности максимальных значе­ ний p(Q), показанную на том же рис. 17. Если наблюдения ве­ дутся достаточно долгое время, т. е. если реализация стацио­ нарного случайного процесса является вполне представитель­ ной, то плотности вероятности p(q) и p(Q) не должны практи­ чески изменяться при дальнейшем увели» ении времени наблю­ дения.

Допустим теперь, чго мы разбили все время наблюдения на равные достаточно ’ длинные интервалы Т\ = Т2= ... = Тт—Т и фиксируем абсолютные максимумы нагрузки Qi, Q2,--Qm* По­ строенная по найденным частотам плотность вероятности p(Q |Г ) уже существенно зависит от времени наблюдения. Эта плотность

вероятности дает распределение абсолютных максимумов на­ грузки для интервала наблюдения, равного Т. Другими слова­ ми, интеграл

? p(Q\T)dQ = P(q>(l\T) Q

равен вероятности обнаружить за время Т хотя бы один раз пре­ вышение нагрузкой q{t) уровня Q.

Очевидно, что в формулы для вычисления вероятности разру­ шения должны входить плотности вероятности абсолютных мак­ симумов нагрузки за время, равное сроку службы сооружения или конструкции. Это обстоятельство до сих пор в полной мере не учитывалось ни при сборе статистических сведений, ни при их использовании для расчетов. В частности, кривые распределе­ ния, приведенные на рис. 15 и 16, скорее принадлежат к типу кри­ вых p(q) и p(Q) нежели к типу кривых p(Q\T).

В шестой главе будет показано, каким образом, располагая плотностью вероятности p(q) и некоторыми другими сведениями о процессе, найти p(Q) и р((2|Г). Чтобы оценить эту плотность вероятности опытным путем, необходимы длительные наблюде­ ния. Продолжительность наблюдений можно сократить, если разбить время Т на меньшие интервалы АТ, каждый из которых достаточно велик, чтобы корреляция максимумов для двух'со­ седних интервалов была пренебрежимо малой. Например, для снеговой нагрузки таким естественным интервалом является год. Тогда абсолютные максимумы для каждого интервала АТ можно приближенно рассматривать как случайные величины в последовательности независимых испытаний. Зная плотность

Этот способ обсуждался в ряде работ 188, 93, 115].

Следует заметить, что с точки зрения расчета на прочность (кроме вопросов усталостной прочности) интерес представляют лишь редкие перегрузки. При этом возникает трудность, анало­ гичная упоминавшейся выше трудности с распределениями для прочностных характеристик. Чтобы судить с достаточной уве­ ренностью о маловероятных перегрузках, необходимо весьма большое количество опытных точек. Для экстраполяции кривой распределения нагрузок в область больших значений мы, по-ви- димому, располагаем еще меньшими сведениями, чем для меха­ нической прочности материалов.

21. Гарантия неразрушимости по H. С. Стрелецкому

Вычисление вероятностей разрушения по формулам типа (2.7), (2.13) и (2.15) весьма трудоемко и связано с большими погрешностями. К тому же исходные кривые распределения об­

ладают достаточной точностью лишь в области наиболее веро­ ятных значений параметров, а применять их приходится для на­ хождения весьма малых вероятностей разрушения. Ввиду этого точное определение вероятностей разрушения целесообразно за­ менить достаточно грубой оценкой. Учитывая это обстоятельст­ во, H. С. Стрелецкий [115] дал весьма простой способ для такой

оценки.

Возвратимся к основному условию (2.1). Пусть p(S) и p{R)— кривые распределения для нагрузки 5 и несущей способности R (рис. 18). Обрывая эти кривые в некоторой точкеS0=R0и вводя обозначения для малых

того, что одновременно S^>SQи R<Ro; при этом из рассмотрения, исключаются случайные события S > R при R > R0 или при 5 < S 0) которые также соответствуют разрушению.

Можно дать двустороннюю оценку для вероятности Р (—) [79]. Составим произведение (1—шО (1—шг). Очевидно, оно соот­

чай не исчерпывает, однако, всех возможностей сохранения проч­ ности (например, возможности S< R при R<Ro)- Поэтому

Эта двусторонняя оценка остается справедливой при любом вы­ боре значений S0=RQ. H. С. Стрелецкий [115] воспользовался оценкой (2.18), вполне отдавая отчет о ее приближенности. Он ввел величину

В. В. Кураева, он вычислил величину гарантии неразрушимости,

Различные выводы, которые можно сделать из рассмотрения формул (2.25) и (2.26), содержатся в работах 187—95].

Формула (2.23) обобщается на случай любого числа пара­ метров qu q2,—qn ПРИ условии, что функция xY(qh <72,...<7Й) ли­ нейна, а параметры имеют нормальное распределение. Для ха­ рактеристики безопасности т получаем формулу

П

(2.27)

Формулы (2.25) и (2.27) можно использовать для анализа вероятностей, скрытых в нормах проектирования. В качестве примера возьмем сталь марки Ст.З со средним пределом теку­

чести/^ — 26,53 кн/см2, стандартом а*г =2,84 кн/см2 и коэффи­

фициент изменчивости ес»S—0.100. Тогда при напряжении, равном 5 = 1 6 кн/см2, и, следовательно, при х = 1,67 характеристика бе­ зопасности оказывается равной

1,67— 1,00

'/0,1062-1,67а+ 0,12

что соответствует вероятности Р (—) = 0,00045 [93].

23. Вероятность разрушения стержневых систем

Вероятность разрушения стержневой системы зависит при прочих равных условиях от числа стержней, от степени статиче­ ской неопределимости и структуры самой системы. Допустим, что система статически определима и содержит п стержней, вы­ ход из строя каждого из которых означает предельное состояние системы. Тогда прочность системы определяется минимальным значением прочности одного из п стержней и, следовательно, вероятность разрушения системы оказывается больше, чем у от­

дельно взятого стержня.

Допустим для упрощения, что напряжения в стержнях детер­ минированы и равны Sb 52, ... 5„.. Если функцию распределе­ ния опасного напряжения (например, предела текучести /?т) обоз­

а вероятность того, что не будет достигнуто предельное состоя­ ние для всей системы в целом, равна'произведению частных ве­ роятностей. Отсюда вероятность разрушения [93, 115]

При одинаковых напряжениях во всех стержнях мы приходим к типичному распределению для крайних значений (п. 12)

тически неопределимых систем представляет большие трудности, чем это может представиться на первый взгляд. Проще всего за­ дача решается для систем, составленных из упруго-хрупких эле­ ментов, которые полностью выключаются из работы после до­ стижения некоторого опасного напряжения R.

24. Строительная механика и теория надежности

Во введении мы уже указывали на тесную связь статистиче­ ских методов в строительной механике с теорией надежности. Здесь остановимся на этом вопросе более подробно.

Как самостоятельная научная дисциплина теория надежно­ сти сформировалась лишь в начале 50-х годов XX века под влиянием бурного развития радиоэлектроники, вычислитель­ ной механики и ракетной техники. Современные радиоэлектрон­ ные устройства и электронные цифровые машины состоят из весьма большого количества деталей. Если выход из строя Готказ) одной детали влечет за собой отказ устройства в целом, то, очевидно, возможность безотказной эксплуатации будет бы­ стро уменьшаться с усложнением устройства. В связи с этим возникают задачи о предсказании надежности проектируемых устройств, о разработке мер повышения надежности, об обосно­ вании методов испытания на надежность и т. п. Все эти вопросы являются предметом теории надежности. В настоящее время на­ дежность оборудования является одной из центральных задач в радиоэлектронике. По. проблеме надежности ведутся широкие теоретические и опытные исследования, ежегодно публикуются

Б. С. Сотскову и др. Вместе с тем вопросы надежности и долго­ вечности все острее ставятся в машиностроении, энергетике и других областях техники. Надежность изделий и систем стано­ вится крупнейшей народнохозяйственной проблемой, «проблемой номер один», как ее охарактеризовал А. И. Берг.

Механическая прочность и жесткость конструкций являются одним из аспектов надежности. Различные разделы строитель­ ной механики дают инженеру средства для отыскания напряже­ ний и деформаций, возникающих в конструкциях при различных внешних воздействиях. Но инженерный расчет на этом не оста­ навливается. Результатом инженерного расчета должно быть решение вопроса о том, сможет ли конструкция достаточно на­ дежно служить в течение всего установленного срока эксплуа­ тации. Знание напряжений и деформаций необходимо в конеч­ ном счете лишь для того, чтобы вынести суждение о надежности и долговечности конструкции. Таким образом, на заключитель­ ных этапах инженерного расчета строительная механика неиз­ бежно приходит в соприкосновение с теорией надежности.

Под надежностью понимают способность механической, элек­ трической и тому подобной системы выполнять заданные ей функции в заданных условиях эксплуатации. Прекращение вы­ полнения хотя бы одной из этих функций называется в теории надежности отказом.

В основе теории надежности лежат теоретико-вероятностные соображения. Принимается во внимание тот бесспорный факт, что как внешние условия эксплуатации, так и внутренние пара­ метры системы носят, вообще говоря, случайный характер. По­ этому отказ трактуется как случайное событие, а надежность — как вероятностная характеристика системы. Наиболее удобной мерой надежности является вероятность безотказной работы си­ стемы— вероятность того, что в течение установленного проме­ жутка времени при заданных условиях эксплуатации не прои­

зойдет ни одного отказа. Эту вероятность называют просто на­ дежностью системы. Очевидно, что в случае, когда отказ яв­

ляется следствием нарушения условия (2.1), надежность совпа­ дает с вероятностью Р( + ). В дальнейшем будем надежность обозначать просто через Р.

Понятие нйдежности тесно связано с понятием долговечно­ сти. Долговечностью Т называется время работы системы от на­ чала эксплуатации до выхода из строя. Выше мы говорили 6 на­ дежности системы для заданного промежутка времени эксплуа­ тации. Таким образом, надежность Р есть функция времени t. Связь между надежностью Р и плотностью распределения для долговечностей р{Т) дается формулой

К типичным задачам теории надежности относятся следую­ щие: определение надежности системы по известным надежно­ стям ее элементов; отыскание принципов синтеза систем, обла­ дающих заданной надежностью; разработка методов повышения надежности, долговечности и ремонтопригодности систем; опре­ деление экономически обоснованных значений надежности и

долговечности и гарантийных сроков; обоснование методов ин­ дикации отказов, методов контроля качества и методов испыта­ ний, обеспечивающих заданный уровень надежности, и т. д.

Переходя к механическим аспектам теории надежности, пе­ речислим прежде всего виды отказов, имеющих механическое происхождение. Эти отказы могут быть разбиты на две группы.

Рис. 19

Во-первых, это отказы, носящие характер случайного выброса: хрупкое разрушение, превышение предела упругости в какой-ли­ бо точке конструкции, для которой остаточные деформации не­ допустимы, и, наконец, возникновение слишком больших упру­ гих деформаций. Во-вторых, это отказы, возникающие в резуль­ тате постепенного необратимого накопления повреждений в кон­ струкции: накопление пластических деформаций или деформа­ ций ползучести, накопление усталостных повреждений, ведущее к развитию усталостной трещины, и, наконец, механический

износ.

Структурная схема механических аспектов теории надежно­ сти изображена на рис. 19. Решение проблемы надежности пред­