книги / Статистические методы в строительной механике

Если случайные величины Xi, Хц..Хп некоррелированы, то для дисперсий случайных величин Уь Ÿ2...Ym получаем фор­ мулу

Формулы (1.47), (1.48) и (1.49) широко используются в раз­ нообразных практических приложениях.

12. Распределение крайних значений случайных величин

Допустим, что производится п измерений случайной величи­ ны X, имеющей функцию распределения F (х) и плотность веро­ ятности р(х). Результаты измерений дают последовательность чисел хп1« хп2 < ... « хпп. Необходимо найти функцию распре­ деления Fnn(x) и плотность вероятности

для максимальных значений случайной величины хпп в сово­ купности п измерений. Функция распределения Fnn(x) есть не что иное, как вероятность обнаружить в каждом из п измерений неравенство Х<х. Если примять схему независимых испытаний, то задача решается чрезвычайно просто. Вероятность обнару­ жить неравенство Х^<. х в результате одного измерения равна, очевидно, F(x). Отсюда по теореме умножения вероятностей

Х>х в результате каждого из п измерений. Замечая, что по тео­ реме умножения вероятностей

Р„( Х> х ) = [P(X > х)\* = [1 - F (*)]■,

найдем

Fnl( x ) = \ - [ l - F ( x ) ] » .

Эта формула аналогична формуле (1.6). Дифференцируя функ­ цию распределения, получим

График для плотностей вероятности (1.51) и (1.52) представлен на рис. 5. С увеличением числа испытаний наиболее вероятные значения максимумов случайной величины смещаются, естествен­ но, вправо, а наиболее вероятные значения минимумов — влево. При этом все распределения становятся более компактными.

Задача о распределении крайних значений представляет весьма большой интерес для вопросов прочности. Объясняется это тем, что с точки зрения расчетов на прочность нас больше всего интересуют максимальные значения нагрузок и мини­

мальные значения сопротивлений материала или конструктив­ ных элементов.

Если число п велико, то использование формул (1.51) и (1.52) крайне затруднено. Между, тем этот случай как раз типи­ чен для приложений. Например, прочность образца из хрупко­ го материала характеризуется прочностью наиболее дефектного первичного объема, а число этих первичных объемов в образце весьма велико. Поэтому большой интерес представляет изуче­ ние асимптотических свойств распределений при п-*оо, посколь­ ку их можно использовать для приближенной оценки при конеч­ ных, но достаточно больших п. При довольно широких предпо­ ложениях могут быть доказаны две теоремы, формулировку одной из которых, относящуюся к распределению минимальных

Здесь а и о — математическое ожидание и стандарт для исход­ ного распределения (1.17). Что касается самого распределения, то оно асимптотически описывается «двойным экспоненциаль­ ным законом». Например,

Ftll.(x) ^ 1 — exp [— exp

13. Распределение Пирсона

Среди других теоретических распределений остановимся на распределении Пирсона, которое нам понадобится в дальней­ шем. Английским статистиком К. Пирсоном было предложено

12 типов распределений, среди которых наибольшее значение приобрел, пожалуй, третий тип, или %2-распределение Пирсона;

Эта функция протабулирована [43, 101].

Значение х2-распределения Пирсона для приложений опре­ деляется несколькими причинами. Укажем, что распределение

оказывается весьма удобным для описания случайных величин, которые могут принимать лишь положительные значения. При п= 1 оно превращается в распределение, ординаты которого рав­

Это распределение имеет важное приложение в математиче­ ской статистике. Можно показать, что ему подчиняется случай­

X, которая имеет нормальное распределение. На этом основан критерий согласия Пирсона, позволяющий судить о согласован­ ности опытных данных и теоретической кривой распределения (см. ниже п. 15).

Кроме того, как обнаружится в дальнейшем, к интегралам, выражаемым через функцию Р(х2,п), приводят некоторые весь­ ма интересные задачи по исследованию прочности при случай­ ных нагрузках.

14.Предмет математической статистики. Эмпирические распределения и их важнейшие характеристики

Предметом математической статистики является разработка методов анализа данных, получаемых в результате массовых наблюдений, а также методов планирования самих наблюдений. В отличие от теории вероятностей, которая оперирует с харак­ теристиками теоретического распределения случайных величин, математическая статистика занимается правилами получения,

Частота

Рис. 9

обработки и истолкования характеристик эмпирического распре­ деления. Основная задача статистики состоит в следующем: по известному распределению эмпирических частот найти соответ­ ствующее ему теоретическое распределение вероятностей. В об­ щем виде эта задача весьма трудна. Однако во многих случаях вид функции распределения можно предсказать, исходя из об­ щетеоретических соображений. Тогда задача сводится к при­ ближенному отысканию неизвестных параметров распределения и к оценке надежности найденных значений. Так, если заранее можно сказать, что исследуемое распределение случайной ве­ личины является нормальным, то задача состоит в отыскании математического ожидания и дисперсии, точнее, в установлении доверительных границ, в которых эти параметры лежат с напе­ ред заданной вероятностью.'

'Допустим, что в результате п измерений случайной величины X получена последовательность значений (вариационный ряд)

Хи Х2,...хп. Первичная обработка вариационного ряда состоит в группировке найденных значений по достаточно малым интер­ валам, вычислении средних относительных частот для каждого интервала и графическом представлении результатов в виде ги­ стограммы (рис. 9), полигона (рис. 10) или кумулятивной кри­ вой (рис. 11). Очевидно, что гистограмма и полигон соответству­ ют кривой теоретической плотности вероятности, а кумулятив­

ского распределения.

Заметим, что формула (1.63) дает для дисперсии смещенную оценку. Это значит, что при конечных п математическое ожида­

Разница между смещенной и несмещенной оценками становит­ ся ощутимой лишь при малом числе измерений.

Отношение

называется коэффициентом изменчивости; его теоретическим аналогом является, очевидно, величина

зя

Кроме того, для описания эмпирических распределений при­ меняются и другие безразмерные параметры, в частности, коэф­ фициенты асимметрии и эксцесса, выражаемые через .централь­ ные моменты третьей и четвертой степеней.

Допустим, что по результатам п опытов найдены эмпириче­

математическое ожидание а и стандарт а лежат в некотором ин­

тервале, включающем X и 5 соответственно? Обратно, какова ширина «доверительного» интервала, внутри которого могут с заданной вероятностью находиться математическое ожидание и стандарт? Если искомое распределение нормальное, то ответ на эти вопросы дается при помощи формул:

Здесь Sk(t) — табулированная функция распределения Стью- дента-для k степеней свободы

а функция ха‘Распределеиия Пирсона P(t2,k) была введена ра­

нее (п. 13).

15. Оценка близости эмпирического и теоретического распределений

Сопоставление эмпирического и теоретического распределе­ ний представляет собой более трудную задачу, чем это может показаться на первый взгляд. Факт близости двух кривых сам

по себе является недостаточным для того, чтобы делать вывод об удачном представлении эмпирического распределения. По скольку параметры теоретического распределения заранее неиз­ вестны, то приходится принимать, что они совпадают с соответ­ ствующими эмпирическими величинами. Между тем последние являются случайными величинами, обладающими разбросом, тем большим, чем меньше число измерений п. Теоретическая кривая распределения, построенная по одному вариационному ряду и хорошо совпадающая с эмпирической кривой для этого ряда, может существенно отличаться от эмпирических кривых, построенных по другим вариационным рядам той же случайной величины.

Имеется несколько способов оценки близости двух распреде­

Если эта вероятность мала (например, меньше 0,1), то это зна­ чит, что имеет место маловероятное отклонение, уже не объяс­ нимое случайностью измеренных значений. Расхождение меж­

ду ^(х) и F{x) в этом.случае следует считать существенным. Если же вероятность, вычисляемая по формуле (1.681, окажет­ ся достаточно большой, то расхождение можно признать объ­ яснимым случайным характером измеряемой величины. При этом при относительно небольших числах п допустимы большие отклонения. Напротив, при больших числах п уже сравнительно небольшие отклонения могут указывать на отсутствие согласо­ вания между эмпирическим распределением и выбранной ста­ тистической гипотезой.

Другой способ использования критерия А. Н. Колмогорова

«

состоит в том, что по найденной кумулятивной кривой F(x) строятся доверительные границы, в пределах которых с задан­ ной достоверностью лежит искомая теоретическая кривая рас­ пределения. На рис. 12 показана 99%-ная доверительная об­