книги / Статистические методы в строительной механике

И =0,30) имеет геометрические параметры fli = 02=400 мм, Rx —

но найдем по формуле (5.65) при Hi= l:

—^ (JA.)h = 0,84-10~2 сек = 0,053 гц'1.

dQ 4 к \ D }

Итак, одна собственная частота приходится примерно на 19 гц, а в диапазоне между 400 и 10 000 гц лежит более трехсот соб­ ственных частот.

Учитывая большое число возбуждаемых форм колебаний, можно ввести ряд упрощений в исследовании случайных коле­ баний упругих систем. Во-первых, в разложениях (5.33) вместо форм колебаний можно использовать их асимптотические пред­ ставления и использовать асимптотические представления для обобщенных сил [30]. Во-вторых, в уравнения (5.34) и дальней­ шие расчеты можно ввести асимптотические представления для

мам колебаний можно заменить интегрированием по простран­

медленнее меняются параметры задачи, рассматриваемые как функции волновых чисел.

56. Некоторые ' применения интегрального метода

Наибольший интерес представляют оценки для среднего квадрата напряжений. Пусть напряжение s(t) в какой-либо точке выражается через обобщенные координаты /у (/) следую­ щим образом:

П

s(o = 2 Cjfj(t).

/■=1

Здесь_ Cj—некоторые постоянные. Тогда для среднего квад­ рата s* получаем формулу типа (5.39)

можно пренебречь. Используя формулы (5.51) и (5.66), полу­ чим

я с) фQjQj (“у)

4 Ру оj

Все величины, входящие под знак суммы, зависят лишь от номера формы колебаний j. С другой стороны, форма колеба­ ний характеризуется парой волновых чисел kx и ft2. Следова­ тельно, можно записать

где Фо (k\, k2) — диагональные элементы матрицы спектраль­ ной плотности обобщенных сил, рассматриваемые как функции волновых чисел. Если суммируемые члены являются медленно

жет быть оценена так же, как оценивается погрешность сумматорных формул. На подробностях здесь не останавливаемся.

Рассмотрим следующий пример. Пусть давление q ( x u х2, t) дельта-коррелировано в пространстве. Тогда спектр пространст­ венных корреляций нагрузки имеет вид

Здесь Чг((о)— функция, характеризующая временную корреля­ цию нагрузки. Для прямоугольной в плане опертой по контуру пластины постоянной толщины формы колебаний имеют вид

(един индекс j заменен парой индексов га, и т 2) . Отсюда

< -69>

если ra, = p.i, m2= p 2; в остальных случаях правая часть равна

нулю.

Если давление q(t) полностью коррелировано в пространст­ ве и зависит лишь от времени, то

муле сходятся.

Коэффициент демпфирования Р(<о) может быть произволь­ ной функцией частоты. Однако в дальнейшем мы несколько конкретизируем вид этой функции применительно к пластинам. Возьмем уравнение колебаний пластины

Первый член учитывает «внешнее трение» с коэффициентом е, второй член — трение, не зависящее от частоты, с относитель­

«вязкого» трения). Нетрудно убедиться в том, что оператору L соответствует следующее значение коэффициента демпфирова­ ния р„ в уравнениях (5.43):

(5.70)

Вычислим оценку для среднего квадрата нормальных на­ пряжений, возникающих в центре пластины. Замечая, что

(5.71)

найдем коэффициенты cjt трактуемые как функции волновых чисел k\=m\jtla\ и k2=m2nja2, При нечетных т\ и т2

востальных случаях c{ku k2) =0. Следовательно, суммирование

вформуле (5.67) производится лишь по нечетным ni\ и т2> а

площадь «квантовой» ячейки в формуле (5.68) будет Дй( &k2 = =4 я2/й1 а2. Подставляя в формулу (5.68) выражения (5.59), (5.69), (5.71), (5.72), получим

Как и при вычислении плотности частот, целесообразно пе­ рейти к полярным координатам. Вычислив интеграл по углу О, приходим к формуле

где г выражается через частоту со следующим образом:

Заметим, что формула (5.73) остается справедливой при любых опорных закреплениях для точек, лежащих достаточно далеко от контура. Необходимо лишь выполнение условия, что пластина достаточно велика, чтобы фазы «внутреннего» решения А и ^

<р/(*1, х2) ^ sin kx (хг— Jcl) sin k2 (xz- x°2)

можно «было считать равномерно распределенными в квадрате ço .сторонами -2n/ku 2n/k2. В самом деле, средний по фазам

квадрат выражения

личных факторов на величину з*. Допустим, что нагрузка име­ ет постоянную спектральную плотность 4f в диапазоне частот о»,,^ 0)в- Вместо коэффициента демпфирования 0(г) введем в формулу (5.73) относительное рассеяние энергии за цикл Ф(г) =2лР(г). Вычислим интеграл

Выражая переменную г через частоту ш, найдем

(5.76)

в) Рассмотрим случай «вязкого» трения:

ф(г) = 2 nrj ш(г) = 2 те к] —J г2

После преобразований найдем, что

(5.77)

где фи=2т!}шн.

На рис. 74 показаны графики зависимости величины ех12 от отношения шв/ши ПРИ различных типах сил трения, постро­ енные по формулам (5.75), (5.76) и (5.77). Для удобства сопо­ ставления принято, что на нижней границе диапазона частот относительное рассеяние энергии ф„ во всех трех случаях оди­ наково. Следует отметить, что в случае «вязкого» трения при неограниченном увеличении диапазона частот средний квадрат напряжений стремится к конечному значению.

Рис. 74

Аналогично могут быть рассмотрены другие случаи. Пусть, например, функция 'К(ш) = 0 при ш <ш и, а при эта функция изменяется по закону

Интеграл (5.74) принимает вид

влияние разных факторов на величину среднего квадрата на­ пряжений: ширины и вида временного спектра внешних сил, характера демпфирующих сил и т. д. [33]. Здесь ограничимся тем, что оценим влияние заделки контура на средний квадрат напряжений.

Если вдали от контура при достаточно больших волновых числах пластина колеблется «почти так же», как опертая, то у

контура могут быть значительные краевые эффекты. В качест­ ве примера подсчитаем напряжения волизи заделанного края достаточно большой пластины (рис. 76). Для форм колебаний у заделанного края Х|=0 возьмем выражение (5.60), которое, однако, необходимо перенормировать таким образом, чтобы при

Рассмотрим линию, вдоль которой sin k2{x2-^x\) = '*' Ф°Р* муле (5.70) найдем коэффициент влияния для напряжений в за­ делке (*1= 0)

Далее заметим, что по координате xt размер «квантовой» ячейки составляет Akt= n{ах (т. е. все формы колебаний вносят вклад в суммарное напряжение).* В то же время по координате х2 размер ячейки примем равным Ak2 = 2я/а2, что соответствует равномерному распределению фазы в интервале 0<^<;27c/a2‘

Подставляя выражения (5.59), (5.69), (5.74), (5.80) в формулу (5.68), получим

переход к полярным координатам. После интегрирования по уг­ лу 6 формула принимает вид

Формула (5.81 ) имеет такую же структуру, что и формула (5.73). Отношение средних квадратов напряжений в заделке и во внутренней области составляет

3 + 2(1 + 3(1*

Например, при р,=0,3 это отношение равно примерно 4,14. Сле­ довательно, средние квадратические напряжения в заделке более чем вдвое превышают напряжения во внутренней области (а так­ же и средние квадратические напряжения соответствующей опертой пластины). Отсюда видна важность учета влияния краевых эффектов при исследовании колебаний конструкций под действием случайных сил.

Аналогично могут быть получены оценки для спектральной плотности характеристик напряженно-деформированного состоя­ ния. Рассмотрим, например, спектральную плотность напряже­

Не останавливаясь на подробностях, заметим, что оценка (5.83) дает сглаженную относительно индивидуальных пиков спектральную плотность. Точность оценки будет тем выше, чем большее число собственных частот лежит в интервале, равном

полосе пропускания для каждой индивидуальной частоты. Оче­

видно, оценка (5.83) является более грубой, чем оценка для s*. Вернемся к рассмотренному выше примеру. Используь фор­

мулы (5.73), легко найдем

трения: а) «внешнего» трения; б) трения, не зависящего от ча­ стоты, и в) «вязкого» трения. Спектральная плотность нагрузки

случаях.

Укажем в заключение на некоторые возможные приложения полученных выше результатов:

I ) создание упрощенных методов определения ресурса и ха-

рактеристик надежности инженерных конструкций, находящих­ ся под действием случайных сил с широким спектром;

2)качественное исследование влияния различных парамет­ ров конструкции и нагрузки на статистические характеристики выходных параметров;

3)решение различных задач, связанных с истолкованием и обработкой опытных результатов: определение спектра давлений по измеренному спектру напряжений, определение характери­ стик демпфирования по измеренным спектральным плотностям входных и выходных параметров и т. д.

Интегральные оценки могут быть уточнены путем добавления интегралов по границе области в пространстве волновых чисел. Априорная погрёшность оценок при необходимости может быть установлена при помощи известных оценок погрешности формул численного интегрирования. Но даже в тех случаях, когда эта погрешность не мала, применение изложенных выше методов остается оправданным, если учесть всегда имеющиеся неопре­ деленности осуществления краевых условий в реальных конструк­ циях, погрешности в определении входных параметров и ограни­ ченную разрешающую способность спектральных анализаторов.

57. Корреляционные методы исследования распределенных систем

Одной из актуальных задач является разработка методов статистической динамики, которые не требуют сведения к систе­ мам со счетным (практически — с конечным) числом степеней свободы. Наметим идею одного из таких методов. Рассмотрим систему, поведение которой описывается уравнением

где «вход» q(x, у, z, t) характеризует, например, нагрузку, дейст­ вующую на тело, а «выход» ге>(х, */» 2, t) характеризует переме­ щения точек тела. Допустим, что оператор L является линейным оператором по переменным х, у и z и линейным дифференциаль­ ным оператором по времени t; при этом время t явно в выраже­ ние для оператора не входит. Предположим, что оператор L пе­ реводит любую функцию q с ограниченным квадратом в функ­ цию ш, квадрат которой также ограничен. Больше никаких огра­ ничений на оператор не накладывается. Пусть далее нагрузка q является эргодической стационарной случайной функцией с огра­ ниченным средним квадратом от координат х, у, z. Введем вре­ менное преобразование Фурье от пространственной корреляцион­ ной функции нагрузки — спектр пространственной корреляции

(*i, Уъ *i> *2, У», 2г; ш) =

>