книги / Статистические методы в строительной механике
..pdfДопустим, что в теле имеет место произвольное напряженное состояние с главными напряжениями s{^>s^-s2. Предположим, далее, что для данного материала справедлива либо гипотеза прочности Мора, либо гипотеза наибольших относительных уд линений. Другими словами, будем считать, что прочность в каж дой точке зависит от приведенного напряжения s, вычисляемого по одной из следующих формул:
S — Si |
|А(s2 ~~ |
s = Si tnSg. |
Здесь, как обычно, р. — коэффициент Пуассона, т — известная |
||
'константа в гипотезе |
прочности |
Мора. Если напряженное со |
стояние является неоднородным, то будем считать, что оно за
дано с точностью до множителя 5, имеющего размерность |
на |
пряжения. Тогда приведенное напряжение |
|
s = Sf (х, у, г), |
(3.1) |
где f(x,у,z) — некоторая безразмерная функция координат точ |
|
ки. Под пределом хрупкой прочности тела объемом V мы будем |
|
понимать в дальнейшем разрушающую величину напряжения s |
|
(в случае однородного напряженного состояния) или напряже ния S (в случае неоднородного состояния’!. Эту величину мы
будем, как обычно, обозначать через R.
Рассмотрим вначале тело, во всех точках которого имеет место однородное напряженное состояние с приведенным на пряжением s. Пусть п — среднее число дефектов в единице объ ема, F(s) — функция распределения дефектов, равная вероят ности обнаружить дефектный элемент, местный предел прочно сти которого меньше, чем s. Учитывая, что в теле имеется nV дефектов и полагая, что разрушение произойдет, если напряже ние s окажется больше, чем минимальный предел прочности в
совокупности nV дефектов, получим |
функцию распределения |
||
пределов прочности тела Fу {R) |
|
|
|
Fv( R ) = \ - [ l - F L(R)]nV |
(3.2) |
||
Из формулы (3.2) |
видно, что пределы прочности |
тела рас |
|
пределены по тому же |
закону, что |
и минимальные |
значения |
в совокупности пк случайных величин, каждая из которых под чиняется распределению F (s). Поскольку число nV весьма ве
лико, то вместо формулы |
(3.2) может |
быть |
применено более |
|
простое асимптотическое |
представление |
(1.53). |
На |
основании |
формулы (1.53) можно записать при больших nV |
|
|||
Fу (R) ~ 1 |
— exp {— cnV (R— s0)“J. |
(3.3) |
||
Здесь So — минимальное значение прочности дефектного эле мента (в предельном случае s0 -> 0). Изменение постоянных си а позволяет в широких пределах описать характер приближения функции F(s) к нулю при s ->s0. Таким ^образом, условиям тео*
ремы удовлетворяет весьма широкий класс функций F(s). Ввиду того что nV — весьма большое число, формулу (3.3) можно счи тать точной и при конечных nV, особенно при не слишком боль ших R. Существенно, что конкретный вид функции распределе
ния дефектов F (s) |
не играет здесь роли. |
При s0= 0 |
функция |
|||||
(3.3) |
совпадает с распределением, введенным впервые Вейбул- |
|||||||
лом из чисто эвристических соображений *. |
|
|
|
|||||
В дальнейшем |
введем |
«эталонный объем» V0 (например, |
||||||
объем |
стандартного образца) и некоторую константу sc, |
имею |
||||||
щую размерность напряжений. Произведя в формуле |
(3.3) за |
|||||||
мену |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СП---------- |
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fv(R)= 1— exp | ~ |
— |
|
|
(3.4) |
|||
Соответствующая плотность вероятности |
|
|
|
|||||
|
а |
L |
( F - |
S0 у |
- к |
m |
i |
<-> |
|
Pv(R) = Sc |
^0 |
\ sc |
I |
||||
в зависимости от величины показателя а принимает различный вид (см. рис. 7). Вообще, а — любое действительное положи тельное число.
Рассмотрим теперь случай неоднородного напряженного со стояния. Разобьем объем V на макрообъемы AV, достаточно малые для того, чтобы напряженное состояние в каждом из них можно было считать почти однородным, но достаточно большие для того, чтобы для каждого такого объема можно было при менить формулу (3.4). За исключением, может быть, небольших образцов бетона с грубой структурой, это можно сделать всегда. Замечая, что вероятность сохранения прочности тела объемом V равна произведению вероятностей сохранения проч ности каждого объема AVk, и производя несложные преобразо вания, получим для вероятности разрушения объема V формулу
Ру( - ) - 1- «Р [ - у 2 |
AV* (J * T f4 1 • |
<3-6) |
0 |
с |
|
Но сумму в формуле (3.6) можно далее заменить интегралом; от сюда
1 Вейбулл ввел это распределение, ino-ввдимому, юз соображений удоб ства, и это обстоятельство рассматривалось рядом^ авторов [62, 981 как уяз.вимое место его теории. Связь с асимптотическим представлением для распределения минимальных значений и, следовательно, фундаментальная роль распределения Вейбулла для теории хрупкой прочности были установ лены позднее.
Р ( _ ) = , _ е х р [ - Л |
(3.7) |
s>s. |
|
Знак под интегралом показывает, что интегрирование |
должно |
вестись только по той части объема V, где напряжение s оказы вается больше, чем минимальная прочность первичного элемен
та So- |
задано |
Допустим, что распределение напряжений s(x, у, z) |
|
с точностью до максимального номинального напряжения S, |
|
т. е. что имеет место соотношение (3.1). Подставляя |
формулу |
(3.1) в формулу |
(3.7), получим распределение вероятностей для |
||
номинального предела прочности R |
|
|
|
FV(R) = |
1 — exp j ____ L . J R î (*. |
y , Z ) — Sfl |
(3.8) |
|
(x,y,г)> |
C |
|
29. Масштабный фактор при хрупком разрушении
Установим связь между математическим ожиданием предела прочности тела и его объемом. При однородном растяжении математическое ожидание предела прочности
R = J Rpv(R)dR = s0 + |
J |
[1 - F |
v(R)\dR. |
(3.9) |
|||
Sg |
|
Sо |
|
|
|
|
|
Подставляя сюда функцию распределения |
(3.4) |
и |
переходя к |
||||
новой переменной |
|
|
|
|
|
|
|
(Х Г |
^ |
|
= |
, |
|
|
(ЗЛ0> |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
~R= So + |
sc |
j |
e~^ du. |
|
|
||
Интеграл в правой части |
|
0 |
через |
гамма-функцию |
|||
выражается |
|||||||
Г (х). Отсюда окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
« = s. + |
S. ( 7 )'" |
Г(1 + |
1/,). |
|
(3.11) |
||
При V-^-œ средняя прочность стремится к минимальной проч ности So*, другой предельный случай (У-»0) рассматриваться не должен, так как при достаточно малых объемах теряют смысл предпосылки, положенные в основу теории.
В случае неоднородного напряженного состояния аналогич но получим
00
R = s. + j exp [ - ^ ] <«. |
(3.12) |
где для сокращения обозначено |
|
|
g (R) = f |~ V {x-' J ’ .zI = |
3 j a dV. |
(3.13) |
Rf (*. O. z) >s. |
|
|
Заметим, что при So=0 формула (3.12) может быть |
упро |
|
щена. Учитывая, что в этом случае интеграл |
|
|
J (/ (*, У. г)Г dV - |
V, |
(3.14) |
V |
|
|
не зависит от R и может быть истолкован как некоторый |
«при |
|
веденный» объем V*, получим |
|
|
* = Ч п Г Г(1+1/а>-
При этом отношение средних пределов прочности при однород
ном растяжении R и неоднородном напряженном |
состоянии Ri |
||
определяется по формуле |
|
|
|
|=(£Г |
|
|
|
Формула (3.11) при s0= 0 и формула (3.15) были |
получены |
||
еще Вейбуллом [207]. К формулам аналогичного |
типа |
(при не |
|
сколько отличной аргументации) приходят авторы |
некоторых |
||
других работ по хрупкой прочности 161—64, 98, |
1261; |
полная |
|
формула (3.12), по-видимому, дается впервые.
Используя формулы (3.14) и (3.15), нетрудно найти ожидае мое соотношение между пределами прочности при однородном растяжении и при других видах деформации. Не останавливаясь на выкладках, укажем, что для чистого изгиба призматического образца
Яи=Т?(2а + 2),/2 |
(3.16) |
a для кручения цилиндрического образца
Эти результаты основаны на предположении, что приведенное напряжение s равно наибольшему главному напряжению $ь а минимальная прочность $ о = 0 . Некоторые другие случаи нагру жения рассмотрены в работе Л. Г. Седракяна 1981.
30. Изменчивость прочности при хрупком разрушении
Помимо зависимости прочности от объема хрупкие мате риалы обнаруживают еще одну особенность разрушения, ко торая имеет важное практическое значение. Имеется в виду изменчивость прочности тел одинакового объема, которая у этих материалов проявляется в значительно большей степени, чем у
материалов пластичных. Мерой изменчивости может служить отношение стандарта предела прочности. к математическому ожиданию (коэффициент изменчивости Дод). Если для сталей
строительных марок коэффициент изменчивости |
составляет ве |
||||
личину порядка 5%, то для бетонов он достигает |
15—20%, а |
||||
для бетона построечного |
изготовления — даже |
больших |
зна |
||
чений. |
|
|
|
же, |
«ак |
Изменчивость прочности хрупких материалов так |
|||||
и масштабный фактор, |
является следствием |
статистического |
|||
распределения дефектов д может быть объяснена |
при |
помощи |
|||
статистической теории хрупкого разрушения. То, что эта измен чивость вызвана не только структурными, но и технологически ми причинами, не играет существенной роли. Факторы техноло гического характера, увеличивающие разброс пределов прочно сти у образДо© одинакового объема, вместе с тем являются при чинами, снижающими средний предел прочности у образцов большего объема. Как уже указывалось, при построении ста тистической теории происхождение дефектов не играет роли; существенно лишь, что эти дефекты подчиняются некоторому распределению вероятностей. Поэтому в рамках статистической теории можно описать как внутрипробную изменчивость образ цов, так и изменчивость более укрупненных партий.
Как всякая другая теория, статистическая теория хрупкого разрушения основана на некоторой схематизации явления и не учитывает некоторые факторы, влияние которых в реальных ус ловиях является достаточно ощутимым. Вместе с тем ее приме нение позволяет теоретически подойти к вопросу, который до сих.пор исследовался лишь чисто эмпирическим путем.
Исследуем теперь разброс пределов прочности при хрупком разрушении 1291 Остановившись вначале на однородном .напря женном состоянии, вычислим средний квадрат предела проч
ности
00
^ & p v(R)dR.
Подставляя сюда выражение (3.5) и вюодя переменную (ЗЛО), получим
и е~и* du +
О
Но |
СП |
|
о
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
# = 4 + 2 * |
5 |
, |
Г<1 + 1/«):+ 4 |
(й -)2'" Г(1 + 2/»). |
(3.17) |
|||
Используя (3.17), приходим |
к |
следующим формулам |
для |
|||||
среднего квадратического уклонения |
|
(стандарта) |
и коэффи |
|||||
циента изменчивости |
: |
|
|
|
|
|
||
•« = * |
( у ) ',‘ 1/ Г (1 + .2/< х)-#(1 + |
1/а), |
(3.18) |
|||||
|
|
s , (■^L)l/" V i ' ( i + 2 M - i * a + 1 / « ) |
|
|||||
|
|
|
у v0 \ i/« |
|
• |
(3.19) |
||
|
|
|
+ sc у у J |
|
Г (1 + 1/й) |
|
|
|
Если напряженное состояние неоднородно, то средний квад |
||||||||
рат R2должен вычисляться по формуле |
|
|
||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
= |
~ |
j > g' (R) exp |
[ - - ^ ] dR, |
(3.20) |
|||
|
|
|
so |
|
|
|
|
|
где g (R) вводится согласно формуле (3.13). |
|
$о=0, |
||||||
Рассмотрим |
полученные формулы |
подробнее. Пусть |
||||||
тогда формула (3.19) принимает вид |
|
|
|
|
||||
|
» я = т ( » ) = |
| / ^ ! + ^ > . - 1 . |
|
(3.21) |
||||
Таким образом, при $о=0 коэффициент изменчивости для одно родного напряженного состояния не зависит от объема образца и определяется целиком величиной показателя а.
Если а достаточно велико, то формула (3.21) оказывается крайне неудобной для вычислений. Воспользуемся известным разложением гамма-функции в степенной ряд1
Г (1 + г ) = 2 < * А
|
А=0 |
|
Здесь |
П |
|
1 |
||
2 ( - D,+1 S/+JCn-j\ |
||
Со— 1 »£«+1 —П + 1 |
||
|
1=0 |
|
Si — С, |
|
1 См, например, И. М. Р ы ж и к и И. С. Г р а д ш т е й н . Таблицы ин тегралов, сумм, рядов .и произведений. Гостехиздат, 1951.
а С — известная постоянная Эйлера. Подставляя эти выраже ния в формулу (3.21), найдем
?(«) = |
= + О |
(3.22) |
|
о-У 6J |
|
График для функции ф(а) приведен на рис. 21. |
||
При SoфО коэффициент изменчивости |
(3.19) оказывается за |
|
висящим от объема V: чем больше объем V, тем меньше коэф фициент изменчивости предела прочности.
Wi'<*)
Рассмотрим теперь общую формулу (3.20). Если |
то |
|
можно приближенно записать |
|
|
|
= Л (М '* Г (1 + 2 /« ), |
(3.23) |
где V*— приведенный объем (3.14). В результате получим для |
||
коэффициента щ |
известную уже формулу (3.21). Таким обра |
|
зом, если |
т.о в первом приближении .коэффициент |
измен |
чивости предела прочности не зависит ни от объема образца, ни от распределения напряжений в нем.
Следует отметить, что при So¥=0 погрешность формулы (3.23) для неоднородного напряженного .состояния всегда будет больше, чем (при прочих равных условиях) для однородного состояния. В случае неоднородного напряженного состояния до полнительным источником погрешности является распростра нение интегрирования в формуле (3.13) навесь объем V. Чем неравномернее распределение напряжений, тем ошибка фор мулы (3.21) будет больше.
Рассмотрим случай -чистого изгиба -призматического образца. В этом случае
A
|
L |
2 |
|
*(*) = |
(3.24) |
||
V0sЛ |
|||
|
|||
|
C |
|
2/?
где R — краевые напряжения, h — толщина, L — длина раоочей части образца. Интегрирование ведется лишь по той части растя нутой зоны, где 5>«о (рис. 22). Вводя параметры
и = |
(V _ \v* R - S 0 |
«о |
( ± W“ Jo. |
(3.25) |
|
Wo/ % |
|
Wo I sc |
|
R
S9
запишем формулу (3.24) в виде |
|
|
|
|
||
|
, . |
|
ua+1 |
|
|
|
|
8{u)~ ' w + m f i r F s r ‘ |
|
||||
Отсюда но формулам (3.12) и (3.20) |
|
|
|
|||
R = s„ + |
sc ^ |
j /e g l (<xt Uo)t |
|
|||
/?» = Î0 4 - 2 5 0 |
! |
g x ( a , |
u 0) 4 - |
s i |
y * |
g i ( a , M0) . |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
gi(«. “o)~ JexP [— ____ |
«“+1 |
|
1 du, |
|||
|
0 |
|
2(« -f 1)(«о + и) |
J |
||
|
00 |
|
|
|
|
|
g%(«. «o) = |
|
. ___ |
ив+1 |
Ип |
||
2 f «exp [— |
|
|
|
|||
|
|
|
2(« + l)(u0 + u) 1du. |
|||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
ft(®. |
0) — 2 1/e (a + |
1)V“ r ( l |
4. l/a), |
|||
g,(a, 0 ) = 2 « ' ( « + l ) V . r(1+2/a)
Графики функций g,(a.«o) и£.(«,«„) для случаев a = 4 , 6, 8 и 10 даны на рис. 23 и 24.
Рассмотрим числовой пример. Пусть а=6, «0=0,25. Тогда по графикам (рис. 23, 24) найдем, что = 1,45, g2=2,20 и, следова тельно, о>я=0,18. Расчет по формуле (3.21) в этом случае дает WR =0,24. Таким образом, с учетом коэффициент изменчиво сти становится меньше. Сводный график, показывающий пове дение WR, представлен на рис. 25.
Для экспериментальной проверки полученных результатов данные, имеющиеся в литературе, оказываются недостаточны ми. В тех известных нам работах, где имеются сведения о роли «масштабного фактора», нет сведений об изменчивости преде лов прочности при постоянном объеме, и наоборот. Известное нам исключение составляет работа [127], в которой результаты
испытания фосфористой стали на растяжение и изгиб в области хладноломкости применяются для проверки теории Вейбулла. В этой работе попутно приведены графики распределения преде лов прочности (рис. 26—27), которые мы здесь и используем.
На каждый вид деформации испытывалось по три серии об разцов (от 16 до_35 в_каждой серии). Вычислялись средние пре
делы прочности Ri и /?2 в двух сериях. Затем из условия
Рис. 26 Рис. 27
находился показатель а; шасле чего вычисленное значение
сравнивалось с экспериментальным значением. Результаты при ведены в табл. 2. Показатель а оказался равным 23,5 при рас тяжении и 25,4 при изгибе, что также указывает на удовлетво рительное подтверждение теории. Отношение пределов проч ности при растяжении и изгибе (в пересчете на одинаковый объем) также удовлетворительно 'подчиняется зависимости
(3.16). |
|
нами по |
трафикам |
|
В ту же таблицу внесены полученные |
||||
(см. «рис. 26—27) приближенные оценки |
для коэффициента |
из |
||
менчивости и теоретические |
значения, найденные |
по формуле |
||
(3.22). Совпадение следует |
считать удовлетворительным. |
Не |
||
сколько больший эмпирический разброс объясняется, очевидно, влиянием дополнительных факторов, не учитываемых теорией (поверхностные дефекты, случайные изменения условий опыта и т. д.).