книги / Микроструктуры интегральной электроники

сти

от изменения высоты барьера для потоков дырок, идущих

из

полупроводника и металла, а такж е из-за рекомбинации в по­

сРq>/dx2 = \ —n{x — l)K + {p0 +

àp) exp (q> (х) TJ T ),

(2.28)

где n(x—/) — 1 при

h(x —l) — 0 при

х и

/ нормиро­

ваны на k, а ф нормирована на кТ;

АР = vp р0 [exp (UTJT) — 1] (vp + 49р Lp)~l

(2.29)

при

£ / < ф0;

АP = vp р0 ехр (ф0 T JT ) (1 - exp ( -

T JT ) (vp exp J (Фо-

- U ) T jT + i ^ . ] ~ l

(2.30)

Ьр J

при

Фо. Здесь

Д р < 1, Lp=

(0Р—тР) 1/2 — длина диффузии ды­

рок;

0Р — коэффициент

диффузии;

%— время

жизни

дырок.

Уравнение Пуассона решается с граничными условиями: я=-0, ф(0) =фо—£/,

ç (D) “ 0, dq>!dx\ (x~D) ■=0, причем потенциал ф и электрическая индук­

ция

сшиваются в точке

Первый интеграл для уравнения

можно точно

рассчитать, используя формулы dq>ldx~F(y), F(ф) —±{

?

2р^ф)1/2 (р —плот-

ность объемного заряда в ОПЗ):

о

Fо (ф) -

У 2 [ф+

р (ф) — /» (0)]1/2

при

0 < ф < ф (9 ,

* > /;

F t W - y n K y M - W

— l) ф -{-р(ф)-р (0)]1/2

при фтаХ^ Ф > ф (/),

*тах

А

Fi (ф) =

+ V 2 [/СФ (9 -

(/С - 1) ф+ р (ф) - р (О)!1' 2

при (0 )< ф < фтах»

0 ^ х ^

#тах •

Из условия Fi (фтах) =0, КОГДЯ Х~Хтвдх'

Фтах -

[/Сф(/) +

(Р«+ Д Р) (еФта* Гв/Г— l)l (К -

I)” 1 •

(2.31)

Вид

зависимости ф|

от U определим, рассчитав

второй интеграл уравнения

Пуассона:

fl

dm

W

dtp

ïtnax

d ф

(2.32)

!i , 0,

?1(ф)

j,

м ф )

°

œ / + |

^о(ф)

ft* [Яф, - (/С—1)ф(0) + р(ф(0)) —р(0)]4/2[/С—1 —р(ф(0))]-4 +

21/2[ф1 +

4.р(фг)_р(0)]*Р[К—1—р(фг)!^1* При расчете D

вынесены

из-под

знака ин­

теграла Fo(ç) при ф=ф* и р(ф{)Го/Г—1:

D « 2 -1 [Fo (Ф (0)) - Fо Ш (р (Ф1) Т0/Т + I)-1

+ F0 (фг)1 +

1>

(2-33)

71

Ф1 = Кфо ~U ) + 2 -1К(1 + Р)2)>/2_21/2 (/ +

р)]а>

(2.34)

где

Р= [2(cpîdhp(фО)]ХР{К—1 —р(<pi)—1—(2фг)г/2(/С—I)"1. В

результате

мож­

но рассчитать с учетом заряда свободных дырок зависимости от U фгаах и D

по (2.31) и (2.33).

Теоретические модели токопереноса.

Надбарьерный ток. Вы­

ражение для 'надбарьернош тока

‘б = (Ып Ло/4) ехр ( -

ymaJkT ) [1 - exp ( -

eU/kT)].

(2.35)

Из

(2.8),

(2.9), (2.21)

и (2.35) видно,

что ВАХ

для надбар вер­

ного тока

с

учетом

глубоких уровней

будет иметь более

слож ­

ный

азид,

чем

(2.8),

так

как <pmax=i/(xi,

х2, хр). Проанализируем

наклон ВАХ a = d (ln i)fd U :

для

прямой ветви

ВАХ

а = (—е!

kT) (difra^/dU),

для обратной

а*б= (—е/kT) (I + dymax/d U ).

При обратных напряжениях

UP< .U < .U PP

происходит

запол­

нение мелких акцепторных уровней, но для

xmax= 0, <ртах—*Ро—

—e ü согласно

(2.35)

i6= o o n st, а а*б=0. При

из1менении напря­

жения от U — Upp

до

U —Uu

параметр х2 уменьшается

с изме­

нением U так же, как и толщина ОПЗ

x'2U — D’,

(2.36)

где

D = (е/kT) 11 [(1 -

щ) D + щ *2] - 1 .

(2.37)

Знак ' означает производную величин D, х по U. Поэтому при

Upp<i Uи

« ; = (е/kT) xmax [(1 —nt)D + щ ж2]—1 ,

(2.38)

«о = (е/kT) {1 - w

l ( l - n t)D +

nt x2] - ‘ }.

(2.39)

В выражениях

(2.37) — (2.39)

xmax, D и x2

определяются

из

(2.25), (2.26) при *1 = 0. При

Utt< U s ^ U t скорости

изменения

па­

раметров Х2, хи D с

изменением

напряжения

определяются

из

уравнений:

х; = — ГУ [(1 — nt) (D - Xl) 4- щ (xa - Xl) x jD ’] [(1 - nt) (D -

хг) +

+ nt (x2 — Xj) —nr (l — xO ]-1 ;

(2.40)

x ’2 = D ’ [ \ - n

p ( l - x 2) ( l - n t) - 1 (D - x ,) - * ] - 1

(2.41)

при х2^ Г ,

D '= — (elkT) l\ {(1 -

nt) D +

щ [(x2 x'2/D') - (x, x'jD ’)

] .

(2.42)

о

= е [ п ф ) р ( Р ) - п \} 1 ,

(2.50)

где, / =

J[А + В (х)]-1 dx,

О

А = тпр1 + тРПр,

P1 = ni exp\(l£i - £

i)/kT], -

)

пр =

fit exp {(St -

1i)!kT\,

}

(2.51)

В — т:пр (D) exp [<p (x)/kT] + Tp n0 exp [ — <p (x)/kT), J

nf и

— концентрация

электронов

и уровень

Ферми в

собст­

венном

полупроводнике.

Рассмотрим

случай малых уровней ин­

р (D) = р„ [Up exp (eUlkT) + 49P/ Q

[49P}LV+ ÏÏP] - '

(2.52)

при U^.(fo!e\

P (D) =*PolUp exp (<p0IkT) + 49pfLp) {49P/L + Up txp [<p0 — eU/kT]}~1

(2.53)

при U ^U o /e .

Учитывая зависимость

ф(ас), интегрирование

(2.59) проведем

в двух областях — слева

и справа

от

АсШах, вынося

из-под знака

интеграла среднее значение функции

(d q jd x )^ . В

результате по­

лучим

igr = e[n iip (D) — nj] {ACmaX [фтах — ф (0)]-’ +

+

(D — АСюах)/фтах) F (фтах) ~ Xmax [фтах ~ Ф (0)J 1 F [ф (0)] —

-

(D/xmas)/q>max F (0).

(2.54)

Здесь F((p) функция, зависящая от Eu <p*o, тп, Tp, U:

P (<p) = kT [Д2 — 4t„ tpP (D) n0r 1/2 ln| {2t„ p (D) exp (<p/kT) +

A —

-

[Ai _ 4t„ xpp (D) no],/2} {2TnP (D) exp (ф/ЙГ) + A +

+

И 2— 4тп t p p (P)]1/2}_1 I

(2.55)

при

A2 > 4r„ Tpp (D) л„;

P (ф) = 2kT [4т„ Tp p (D) «оГ1/2 arctg {[2тп p (D) exp (фIkT) -f Л] X

X[4tn xpp (D) n0— Л2)Г"1/2

(2.66)

при

A2 < 4t„ t p p (D) n0 -

74

дит переход от ВАХ вида (2.54),

(2.55)

к ВАХ вида (2.54)—(2.56). Величину

Ur определяют из уравнения

0,5 Ur/kT = In 0,5 (T„/Tp),/2 +

{El -

Et)/kT +

+ In {1 + (tp/t„) exp [2 (Et -

Ei)/kT\}.

(2.57)

Отметим, что при прямых напряжениях

U >Ur в выражении (2.54),

(2.55) оп­

[eUr + Фтах (K)]fkT = (y.Et)!kT + In (1 + (tj»/*n) exP l2 (Et ~

Et)/kT]};

(2.58)

0, ZeU'r/kT = [(ц — Et)/kT] — (фтах U*rlkT) + In 2 (тр/тп)'/2 .

(2.59)

a r « etkT при U < UT, UT:>'0,

(2.60)

* g --= (D’/D )- (ф ;ах/фтах)- (e/kT){In [Aa(TpTn n |)-i

- ( , eU/kT)}->

при Upp< U < U r,

(2.61)

а г = e/2kT

при U < U tt,

U > U t,

UT < U <

U'r <

U%

(2.62)

a r æ

(e/kT) (xmsjD )

при

U < U U,

U > U t,

UT<

U'r <

U"r <

U,

U > U T> U 'r > U ’.r

(2.63)

Если напряжение

изменяется

вобласти

U u < .U < .U t;

Ur^ .U и,

V '> U "r'> U 'r, то aT(U) будет возрастать

a T= e/kT (l+ d< vmaJdU ).

(2.64)

В

интервале

напряжений для

(2.64)

ф'тах определяется

из

урав­

нения

(2.43)

и а

увеличивается до

a —ejkT

при

U— Ut,

если

ф 'тах= 0 . При увеличении напряжения

до

U > U t,

если

£/z< ( / <

'<. U'z <

U"z,

то <xr— 0.

При

дальнейшем

увеличении

напряжения

до

Ud<i> -U >(çiü/e

при

условии

40PL_IP>

(/Рехр[ (ф0—eU )kT\,

когда согласно (2.53)

p ( D ) —const,

возможно

a r (U )< .0

и

a r = e/kT(xmaj D ~

1)

при

U ->U'r,

U > U ",

Udd> U

> y 0/e.

(2.65)

При

U > U dd

начинается

замедление

изменения

фтах(^)

со­

гласно (2.49) и из (2.64) следует, что ar-^ejkT. В

области

об-

фатных напряжений UP< .U < U PP, когда хтах— 0

а* = D'lD - etkT [In A2 (rn хр n?) - 1-

eU/kT]~1 ,

(2.66)

+ nt (x2 — хр) — пр (1 — ЛГР)]—1 ,

(2.67)

D’ = — e/kT (/2 + лгр'/гр хр) [(1 —n,)D + nt x2]~l .

(2.68)

При U > U p a*g определяется также из

формулы (2.66), в которой

D рассчитывается по (2.27) при хр = 0,

a D ' — по (2.37).

лены по ВАХ и этим зависимостям: <р0=0,25 эВ, (p*0=Os5 эВ, ^

= 5,7-1033 м~3,

АГ* = 2,8-1023

м~3, tfp=300-1023 м-3, ц=0,17 эВ,

£* =

1,07 эВ,

£ d = 0,05 эВ,

£*= 0,32 эВ,

/= 1,05’ Ю-8 м, D—13-10-8 м при

U=-0,

т*=2,5- 10“l°

с, 0Р =

= 140-10-20 м2.

Сравнение экспериментальной и теоретической зависимостей «(£/)

позво­

ляет утверждать, что возрастание a(U) на начальном

участке

до максималь­

зависимостей <ртах

и p(D) от напряжения. Значение а* с увеличением U из­

меняется несколько

быстрее,

чем это следует из теоретической модели, учиты­

вающей только генерационный ток (см. рис. 2.7).

ос* ос, В~’

Таким образом, эксперимен­

тально проверена физическая мо­

Рис.

2 8

Экспериментальная (----------

)

и теоретическая

(--------

) зависимоеги

а*,

а от

U для

структур Al-p+-n-Si

и

C = eS/AD1

(2.69)

и на основании формул

для

(см. §

2.4) проанализируем за­

висимость С~2 от Û, т.

е. D2i— f(U ). Теоретическая ВФХ

схема­

тически изображена на

рис.

2.9,а. При

больших прямых

напря­

tg a -

- e / k T \2 l2 (1 - л ,) - 1].

(2.70)

При

напряжениях Uti< .U < U t происходит ионизация

глубо­

tg a =

e /k T { 2 l2 [ l - л . - л , (х2 x 2/DD')’

+ (хх x[/D D ')]-1}

(2.71)

при

U tt^ U s^ U t;

tg a =

- e/kT [2 /2 ( 1 - nt - f Щ x2/D')->]

(2.72)

при

UpP< .U < £ / tt, где функции x'2/D и x 'JD ' определяются

по

(2.40) и

(2.41). При

U p < U < .U p p , когда происходят

ионизация

мелких акцепторов в р+-слое, изменение О 2 при увеличении U

снова замедляется и

tg a =

- e / k T {212 [ l - ( n t + nt x.JD) +

(np xpx'p /D )]-1},

(2.73)

С'г-10^п<Р i

о

* _

о0°

о

о

°К. I

г

I

°i°on

___j1__1.1

I1 I...

к

i p______

-1,г -o,8 -о,о

о

о,о

и,в

up

upp

utt

ut

<0

Рис. 0.9. Теоретическая (а)

и экспериментальная (б) зависимости С-2 от U

уров­

структур металл-р+-я-полупроводник (а) и Al-p+-ra-Si

(б) с глубокими

нями в полупроводнике

где хр определяется из

(2.27),

Х2, D 'из (2.26), а 'изменение x'p/D'

из (2.67). При напряжениях, когда хр <Сх2, xx~ D :

tg a æ - ( e l k T ) l j .

(2.74)

Значение tg a (2.74) в

2 раза

меньше значения tg p при U < U P и

Хр— 0 (рослой отсутствует).

структур <р'о, NVi /, Ер, Nd, Ed, Nu Et,

которые совпали с полученными но

ВАХ и «(£/) (§ 2.4).

величины Р

но поверхности:

fa(*. г/,...) = J / (д:,

у, ,..)Р(х, yt )dxdy.J J Р(дг,

у, ...)dxdy.„

Определение fH—I,

С при изменении

х, y—nQ, р0 и других пара­

AfIf при f <s>S, fi*°Si, f2e»S2

и т. д.

имеет вид Д///= (ESJS) [1—

X^SnFn]. Здесь /?п= а Л/а, где

ап и а

п

п

включают только те

параметры, по ко­

/н = / |[1 — ( 2

Sn/S)] [1

( 2 $п)

1 2

FnJ},

п

п

п

сп = с { [ 1 - ( 2

s n/s ) ] f i — (S S n ) " 1

п

п

п

где I и С характеризуют однородную структуру.

Д ля иадбарьерного тока

основных носителей заряда, когда не­

структуры, при рассмотрении влияния неоднородности

по

Nd, I,

Np на ВАХ структур получены следующие результаты

[5, 37, 38].

При неоднородности но Na, если <р0— срн0) то

F* •■=N* JN* ехР (Фгаах~

Фшах ш)/к Т'

(2-75)

Так как ф°тах но

(2.28) уменьшается с

ростом

Nd, то

Гп> 1

при

NdH^'Nd Я Гн<С1

при Ndn

Nci. ПОЭТОМУ S h /S < A ///< 0

При Ndn^>

> N ,i, а при A’dH< W d 0 < A ///< S „ /S ,

т. е. участки площади

струк­

тур с пониженной концентрацией Nd

в

полупроводнике

слабее

влияют на ВАХ структур

с р+«слоем, чем участки с

повышенной

концентрацией.

При неоднородности по толщине р+-слоя I и концентрации Nv

^==ехр(<р°ах- ф ° ахн)/£ Г

(2.76)

И из (2.28), следует, что

Ги< 1 при

la> l ,

NPS> N P

и Гн> 1

при

( if N p n < Z N р.

Моделирование характеристик структур

с

неоднородным

р+-

висимости a(U ) для

однородного и

неоднородного р -сл о я

при

различных

значениях

I, K — Nv!Nd,

постоянной высоте барьера

фо [37] для

изменяющейся концентрации Nd [38]. Структуру

смо­

( гтаж

\ ~ * Г *тах

^ ( 0 ^ ( / ) Л Ч -

*тах

i2 (l)N (l)d l

j

W(Z)dM

J

I

1т т

/

L 0

гт1п

(2.77)

где /тах — толщина Р+-СЛОЯ,

при

которой £>»/щах‘,

fmin— ТОЛЩИ-

на р'-слоя, зависящая от U,

при

которой

еще

есть

максимум

<jp°max (2.28);

in 1.2 — плотность тока

через элемент

площади

струк­

туры. Плшнссть тока

отнесена

к

evnNdl4, а

/

к

U =

(ег&Т'о/

•fneWd)1/*.

первый

член

в (2.77)

характеризует

вклад

Для такой модели

очень тонким р+-слоем, для которых

и выражение для i со­

ответствует току через структуру МП без

р+*слоя (1.15). Поэто-

об,В '

Dg<cl (кривые

/, 4, 6 при /(=10 и

I—2; 0,6; 0,5 соответственно), а также

неоднородным

р+-слоем

при £>*>)

(кривые 2, 3, 5 при /(=10,

I—2, 7=0,6;