книги / Общая термодинамика

Окончательно, как

и прежде в

(3-12),

DWi — pdV

(3-12')

(3-12) и (3-120 вполне

одинаковы по виду, но в (3-12) dV^>Q

и DWt > 0,

а

в (3-120

d V < 0

и £ > U ^ < 0 .

Таким образом,

[3-В] Элементарная работа равномерного

нормаль­

ного положительного давления системы равна произве­

дению

pdV.

Эта

работа

положительна при увеличении

объема

системы

( d V > 0 ) и отрицательна при уменьше­

нии объема (d V -< 0 ).

2°. Чтобы получить выражение элементарной работы внеш­

него давления, нужно иметь в

виду,

что

(фиг. 3-5)

d sH F ,

т.

е.

(F ,

ds)= n;

cos(F,

ds)= — 1 ;

dl\\F,

т.

e.

(F,

d l)= 0 ;

cos{F,

d l)= + 1 .

Считая внешнее давление положительным, когда оно на­

правлено внутрь системы, как на фиг.

3-5, и обозначив эле­

ментарную внешнюю

работу через DWe, находим:

при перемещении

поршня на ds

DWe- \ F ,

ds |cos (F,

d s)= — \Fds\ = -\ feds\ = -\ fdV \ ,

где,

как и в п. 3° dV — положительное

приращение

объема

системы. Так

как

в

нашем

случае / > 0

и |/|=/, имеем:

DWe-

— fd V ;

(3-13)

при перемещении поршня на dl

DWe- \ F ,

dl\ cos{F , d l)= +

\Fdl\ = + \fdV\-,

здесь

d V < i0; поэтому

\ d V \ - — dV,

и DWe= —fd V

(3-13')

Таким образом,

[3-Г]

Элементарная

работа равномерного нормального

положительного внешнего давления

DW e =

— fdV .

(3-14)

Эта работа положительна при уменьшении объема

системы

(dV <

0)

и

отрицательна

при увеличении ее

объема

(dV > 0 ) .

V ,

W ^

J D W ^

l pdV

(3-15)

Vi

Vl

и по (3-14)

V 2

O W = - - f fdV .

(3-16)

V\

Чтобы выполнить эти интегрирования, нужно знать зави­

симость между давлением

и объемом:

1 °. Выводя

выражение DW.zz.pdV (3-12),

мы

предполагали

систему

заключенной в цилиндр с подвижным поршнем.

В общем

случае

следует

представить

себе,

что система

заключена

в

оболочку

произвольной формы,

каждая точка

которой перемещается при изменении объема.

При этом

выражение

(3-12) для работы

применимо только

в том случае,

когда во всех

точках оболочки давление р одно

и то же.

Кроме

того,

для

вычисления

работы давления си­

когда

объем изменяется настолько медленно (в пределе беско­

нечно

медленно),

что давление, изменяясь,

оказывается

в каждый момент

времени одинаковым во всей

системе. Об

указанных здесь обстоятельствах нужно помнить

при вычис­

лении работы

давления системы.

Vx до V2 при постоянном

2°. Пусть

объем

изменяется от

давлении системы. В

этом случае (3-15) является

постоянным,

и поэтому

Wtl2 =

p f d V = p (V2 -

Vx) = pAV,

(3-17)

®i

а)

Предположим, например, что в системе жидкость—пар

произошло

изобарно-изотермическое превращение количе­

ства Дт жидкости в пар.

Тогда по

(2-25)

ДУ — (у "— у') Ат,

Wn2 = p(v" — у')Дт.

(3-18)

р — const;

п = const

и

pV\ =

nRTx,

pV2 = nRT2,

где Г)

и Т2— абсолютные температуры

газа в состояниях

1 и 2.

Теперь (3-17) напишется так:

w ni = P(V2 -

Vx) =

nR (T2 - Тх) = nR lt,

(3-19)

где

Д* = Т2— Г] =

t2 — t\ — приращение

температуры,

вы­

званное изобарным

изменением объема при п — const.

или

Р\У\ =

P2^ 2.

У2 : У\ =

Р\ ■Рч-

Кроме того, nRT =

P\VX= p2V2.

Поэтому вместо (3-21) можно

написать:

Wn! = n R T ln b ;

(3-22)

r m =

p ,K 1l n ^ = p , V '1ln a

(3-23)

Wm = nRT I n S .

(3-24)

p V K= В = const,

(3-25)

p = B V ~ \

(3-25')

Тогда p d V - B V - xd V = d

.

Поэтому согласно (3-15)

W

—

_ * 1*1

(3-26)

<12

— 1

На основании (3-25)

B V l y' =

pV

Следовательно,

W

/12

— Р2У2— Р\У\

(3-26')

W

1 — А

W

— PiУ\ Р2^2

W/12

~

X— 1

Если система — идеальный

газ, то

p lVl = nRTli

p2V2 = tiRT2.

W,<12

tiR

( T i - T 2) = -

riRAt

(3-27)

X— 1

X— 1 ’

где

ы = т2- т х.

резком

оси абсцисс между этими ординатами, изображает

работу

We]2 внешнего

давления. Но Wel2^>0 при уменьше­

нии объема и UT,1 2 < 0 ,

когда объем увеличивается.

Л”

близкой к температуре кипения при атмо­

сферном давлении, и пусть ее давление изо­

---------- f

бражается на диаграмме фиг. 3-8 точкой А'.

Если

перевести эту систему

из

состояния

А' в

состояние В' по изотерме (которая

*______ 8'

одновременно

является изобарой),

то

ра­

бота

будет значительной. Если

в

изохор-

Р

ном

процессе

А'А охладить

систему

до

но нулю.

В процессе АВ масса пара

увели­

Фиг.

3-8.

чится на

весьма малую величину, и работа

Р/1Ув~~^а) практически равна нулю. В изо-

хорном процессе

ВВ' путем .нагревания

давление снова

может

быть доведено до прежнего значения.

При переводе

из состояния 1 в состояние 2 по линии 1А'В'2

или 1А"В"2 (где

1А', В'2, 1А" и В"2— изохоры, а А'В' и А"В" —

изобары)

работа

давления

системы

соответственно

равна

от объема V) к объему V2 осуществляется

по

линии

/ар2

посредством двух изохор 7 а, р2

и изобары

af,

то

работа

дав­

ления системы

в зависимости

от

выбора

изобары ар может

принять любое

абсолютное значение:

W l l a } 2 ^ 0 > еСЛИ

V 2 > V

l ‘>

^ i l a ? 2 < 0 > еСЛИ

V 2 < V

l -

состояния

в другое,

справедлива

и в

отношении внешнего

давления: Wen также зависит от

процесса 12.

3°. В последующем нам

понадобится

графическое

опреде­

ление работы, когда после ряда

процессов система

возвра­

щается в начальное

состояние.

Такая последовательность процессов очевидно изобразится

на диаграмме p — V замкнутой линией (фиг. 3-9).

Выберем на этой

кривой

точки 1 и 2 — наиболее

близкую

и наиболее удаленную от оси Ор.

Проведем крайние ординаты А1 и В2. Пусть сначала объем

возрастает

по линии 1а2, а

затем

уменьшается по линии 2Ы .

=

площ. В 2Ы А В < 0 .

Вся работа

Wna2bl =

Wna2 +

W i2b\ =

площ- А1о2ВА-\-площ. В2ЫАВ =

=

площ. 1а2Ы.

(Нужно иметь в виду, что площ. В2ЫАВ<^0.)

Таким образом,

в

нашем случае

Wiiam = площ. 1а2Ы > 0.

(3-28)

Если объем увеличивался

бы по линии 1Ь2,

а уменьшался

бы по линии 2а1, то

мы бы получили:

Wnb2al — площ. 1Ь2а1 < 0 .

(3-29)

В (3-29) площ. 1Ь2а1 считается отрицательной, так как

положительная работа

Wim = площ. А1Ь2ВА

меньше абсолютного

значения

отрицательной

работы

Wi2aX=

= площ. В2а1АВ,

и

их

сумма Wj[b2aX

будет

отрицательной.

Очень легко облечь полученный нами

р

результат

в форму'общего правила,если

р

ч

обратить

внимание

на то, что 1а2Ы и

2

1Ь2а1 — одна и та же замкнутая кривая;

/ (/

} у

площадь,

охватываемая

ею,

считается

положительной, когда кривая обходится

^------- */ ь

по часовой стрелке, и отрицательной,

А

В V

когда она обходится против часовой

Фиг. 3-9.

стрелки.

[3-Д]. В случаях, когда процесс изо­

бражается

на диаграмме

р — V замкнутой линией, работа дав­

ления системы равна площади, ограниченной этой линией.

Эта работа положительна,

если линия обходится

по часо­

вой стрелке, и отрицательна при обходе

против

часовой

стрелки.

размерности давления и члена

а

одинаковы, определить размерность

при изотермическом изменении объема от v x до v2.

Сравнить эту работу с работой давления идеального

газа при постоян­

ной температуре

и тех

же v t и v2.

3-6. Считая смесь газов СО, О2 и СО2 идеальным газом, определить

работу давления этой смеси при изобарно-изотермическом разложении

на

СО и О2:

а) п граммолей С 02;

б) 132 г С 02.

3-7. 1 кг насыщенной воды изотермически превращается в газ, давление

которого рг. Вычислить

работу давления системы в этом

процессе, считая,

что t = 140° С,

р

t где р — давление системы вода—пар при /=140° С;

p2 = —

использовать таблицы для системы вода — пар и рассматривать водяной

пар

как идеальный газ.

того, соприкасаются друг

с другом эти куски или находятся

на некотором расстоянии,

они окажутся одинаково теплыми.