Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Общая термодинамика

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

29.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 703 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Это обстоятельство имеет очень важное значение и может

быть

выражено

следующим образом.

Пусть

dpt и dp V

озна

чают

элементарные

изменения

температуры

и объема при

р = const

и т = const,

причем постоянство

давления отмечено

индексом

р,

постоянство массы не отмечено никаким индексом,

так как обычно

будем

считать массу всей системы постоянной.

Будем

помнить, что

частную

производную

обычно пи-

ар {

шут

так:

.И так,

в болыыинстве'случаев dpV > О

при d„t >

0 и d

V <

0 при d t < 0 ;

поэтому

> 0 ;

(Ы )

y \ d t j,

}

если

dpV<C. 0

при

dpt > Q ,

то

< 0 ;

наконец,

если

dpV — 0

при dpt ф 0 ,

то

— 0-

Таким образом, для значительного большинства однородных

систем

(

)

0 и только

иногда

) < 0

или

I ^-1

= 0 .

Так,

например, при

р =

const

и увеличении

температуры

от 0

до

4° С

объем

воды

уменьшается,

при

увеличении

температуры

от 4 °С — увеличивается. Поэтому в случае

воды

при р — const

имеем:

° “

4° С

4 0 С ( ^ ) /, =

0: 4°С. и в ы ш

е ( ^ > 0 .

Следовательно,

при

£ = 4°С

достигает

минимума

(фиг. 1-2).

2°. Другим фундаментальным фактом, тоже проверенным многочисленными наблюдениями, является следующий.

При постоянных температуре и массе повышение внешнего давления на однородную или неоднородную систему всегда вызывает уменьшение ее объема (и, наоборот, при t = const и уменьшении внешнего давления объем системы увеличи вается).

Таким образом, если условиться через dtp и dtV обозна чать элементарные изменения давления и объема при t — const

и т — const, то
dtV < 0	при d ,p > 0
й
dtV > 0	при dtp<^О,

т. е. всегда

или, пользуясь обычным обозначением частной производной,

	( ! - ) , < °-						0 -2)
Здесь следует отметить, что это соотношение имеет место
всегда, в то время	как при р — const		и т — const			изменения
объема и температуры имеют один- и			тот	же	знак	не всегда„
а только в большинстве случаев.
Вывод положения (1-2) дан в		§ 5-9,3°.
1-4. КОЭФФИЦИЕНТЫ	ОБЪЕМНОГО	РАСШИРЕНИЯ,			СЖИМАЕМОСТИ!
И ТЕРМИЧЕСКОЙ УПРУГОСТИ
1°. Итак, повышение температуры			при	постоянном			давле
нии и повышение внешнего давления			при	постоянной			темпе
ратуре влияют на	объем -однородной системы					совершенно,

различно.

Заменим бесконечно малые приращения dV, dt и dp конеч

ными AV, Дt и Ар. Тогда согласно (1-1)				и (1-2)	при	р =	const:
и А{ >	0 в большинстве случаев		имеем: ДИ^>0; при t.=				const;
и Др >	0 всегда	имеем: Д 1/<0.		приращения AV, то-
Что	касается	абсолютного	значения
оно зависит:
1) от величины приращения			температуры		или	давления;

2)от начального объема однородной системы;

3)от природы этой системы.

Влияние начального объема V\ однородной системы на при
ращение ДУ объема легко установить.
Разобьем систему, начальный		объем которой Vu на k ча-
стеи, имеющих равные	-	V ,	.
	объемы
Пусть объем всей	системы		получил приращение Д У ^
= Р 2 - У , .

Ввиду однородности системы и равенства начальных объе


мов частей	приращения объемов		этих частей		то	же	должны
быть одинаковы. Поэтому приращение объема					каждой части
будет	Таким	образом, если весь		объем		V{	получает
приращение AV, то		&-тая часть	объема	получит		приращение

т. е. приращение объема пропорционально начальному

объему.

Обозначим коэффициент пропорциональности через <о, т е . положим

При V1 = 1

Д1/ = ш,

т. е. ш численно равно приращению единицы начального объема. При условии, что приращение объема выражается в тех же единицах, которые выбраны для измерения объема, коэф

фициент ш — число отвлеченное,

не

зависящее

от

единицы,

служащей

для

измерения

объема.

Пропорциональность между

приращением объема и началь

ным объемом вытекает из однородности системы

и приводит

к понятиям

коэффициентов объемного

расширения и сжимае

мости.

давлении р

2°. Пусть

при постоянном

внешнем

темпера

турам

и t2

соответствуют

значения

V { и V2

объемов си

стемы.

Средним

коэффициентом

объемного

расширения

между

температурами

ti и t2 называется отношение

_ а> _ 1 4У _ 1 v2- v ,

(1-3)

а 12 — At — Vi

~~ Vt h - h

’

показывающее,

насколько

увеличивается

единица

начального

объема от нагревания на 1°С при постоянном давлении.

Предел

этого отношения,

когда

Д^ —*0,

называется

истин

ным коэффициентом объемного

расширения при

постоянном

внешнем

давлении и обозначается

через

а =

11Ш

ДК

77--ГТ

(1-4)

р а/-»-о У\ М

при

р = const.

Так как изменения t и V происходят

при р =

const и /п=

= const,

имеем:

AV_

Пт

м-о At

Полагая, что t и V —-начальные температура и объем, полу чаем:

	< > ' 5 >
Имея в виду, что объем всегда положителен, а	и

положительны в большинстве случаев, приходим к за

ключению: в большинстве случаев средний и истинный коэф-

фициенты объемного

расширения

при

постоянном

давлении

положительны

и только

иногда

оказываются

отрицательными

или равными нулю (как, например,

случае

воды

при тем

пературах 0 — 4° С).

Средним

коэффициентом

изотермической

сжимаемости

между давлениями р { и р2 называется

отношение

j—

V j

___ _________ 1

ш_

( 1- 6)

Р2 —

Р1

V i

Ьр

’

показывающее,

насколько

уменьшается

единица

начального

объема при увеличении давления

на единицу

при

постоянной

температуре.

Ар

Предел этого

отношения,

когда

стремится

нулю, на

зывается истинным коэффициентом

изотермической

сжимае

мости и обозначается через yt.

Так как объем

давление

изменяются

при

const и

т’— const, то

дк

lim

Ар->0

йр

причем V и р — начальные значения

объема

и давления. Та

ким образом,

Г ,=

Согласно (1-2)

и ^

всегда

отрицательны, поэтому сред-.

ний и истинный коэффициенты

изотермической

сжимаемости

у12

и у, всегда

положительны.

ар,

Размерность

коэффициентов

а12,

у,2

у, установить

легко.

В самом деле,

а)2 —

О)

где

о) — отвлеченное число.

Следовательно,

размерность а,2 и ар

обратна

размерности

температуры. Поэтому

при увеличении

единицы

измерения

температуры в п раз во столько

же

раз

увеличится

числен

ное

значение

коэффициентов

а2

а.р

(действительно,

чем

больше единица измерения, тем меньшим числом выразится At).

Таким же образом	размерность	у(2 и у^ обратна размер
ности давления.
3°. Дальше будет	показано, что	коэффициент	объемного
расширения идеального газа зависит		только от температуры,
а коэффициент сжимаемости — только от давления.			Во всех

других однородных системах эти коэффициенты зависят от температуры, давления и состава.

Приведем экспериментальные данные. При ^ = 25°С для жидкого ацетона имеем:

Между давлениями

Р, от

рх — 0 am

р2=. 8 am

82,5

0,001118

Y12= 0,000121182 при

t =

18,32° С

177,5

0,0001007

300,0

0,0000859

yl2 == 0,000125003 при

25° С

424,0

0,0000779

При t =

20° С и р =

1 am

для раствора NaOH в воде имеем:

% NaOH

2,74

5,66

7,40

35,0

Т/

0,0000491

0,000043

0,0000384

0,0000358

0,0000144

При tx = 0° С,

= 15,6° С имеем для кислорода

(газ):

Р, am

100

200

500

1000

1 500

2 000

2 500

°12

0,00538

0,00461

0,00388

0,00233

0,00190

0,00165

0,00145

Из

этих данных следует:

а) Для

одного и того

же

вещества (см. ацетон) коэффи-

циент

сжимаемости

зависит

как

от

температуры, так и от

давления. При повышении давления коэффициент

сжимае

мости

уменьшается.

б) При

изменении

состава

(см.

данные о растворе

NaOH

вводе) коэффициент сжимаемости изменяется.

Вслучае раствора NaOH в воде увеличение содержания NaOH в растворе вызывает уменьшение у,.

в) Для одного и того же вещества коэффициент объемного

расширения зависит от давления и				температуры: при увели
чении давления		коэффициент расширения уменьшается.				Так,
при ^, =	0°С и	/2 =	15,6°С а ,2 для	кислорода	уменьшается
почти в	4 раза,	если	от постоянного	внешнего	давления	р =

=100 am перейти к постоянному внешнему давлению 2500 am. При сравнении коэффициентов а,2, ар, у12 и у, газов с та

кими же коэффициентами для жидкостей замечаем: при не-

высоких температурах

а12 и ар

для

газов больше

а )2

и ар для

жидкостей; yi2 и Ъ для

газов

больше у12

и у,

для

жидко

стей.

при t — 25° С и давлениях p t =

0 и р2= 8 am

Так, например,

для газа,

близкого

идеальному,

yi2 — 0,125;

для

ацетона

(жидкость) у12 =

0,000125.

Отношение

этих

коэффициентов

равно 1 000.

При р — 1

am — const

и t — 0° С

ар — 0,00366

для газа,

близкого

идеальному;

о-р = 0,00018

для жидкой ртути.

Отношение этих

коэффициентов

приблизительно

равно 20.

Таким

образом,

можно считать,

что при невысоких тем

пературах

небольших

давлениях,

действительно,

коэффи

циенты а и у для

газов

больше

соответствующих

коэффи

циентов для жидкостей.

Кроме того, при небольших температурах и давлениях

отношение

коэффициентов

для газов больше соответствую

щего отношения для жидкостей.

отношения у ,: ар

4°. Чтобы

раскрыть

физический

смысл

нам следует вывести одно простое

и весьма полезное соотно'

шение.

Пусть

существует зависимость

* = / (* » у).

Написав выражение дифференциала dz,

получим:

Здесь индексы у и х она взята при dy—0 или

у частной производной означают, что d x —0.

зависят от значений дифференциалов dy и dx, которые произ вольны, то можно подобрать последние так, чтобы было

или, так	как при dz—0	является частной производной от
у по х,	получаем:

или

(1-7)

Сходное соотношение можно получить и в том случае, когда зависимости z = f(x , у) не существует, а имеет место только равенство

Dz—aDx-\-bDy,

где а и А не зависят от Dx и Dy, сами же Dx и Dy, а следо вательно, и Dz могут быть как конечными, так и бесконечно малыми; Dx и Dy друг от друга не зависят.

Выберем сначала Dx и Dy так, чтобы было

D z= 0;

тогда

aDzx + bDzy = 0.

Здесь индекс z означает, что Dx и Dy удовлетворяют услополучаем:

Положив D y = 0, имеем:

Dyz = a D yx,

или

совершенно так же, полагая D x = 0, находим:

Перемножением этих трех соотношений приходим к зависимо сти

Обозначение Dz вместо dz введено с целью показать, что

функции z —f(x , у) не		существует и Dz		не	является полным
дифференциалом.
5°. В § 1-3 было	показано,		что если		масса	однородной
системы постоянна,	то	ее объем является			функцией давления
и температуры, т. е. V—f(t, р).
Полагая z —V, x —t и у = р ,			получаем	согласно		(1-7):

(1-70

умножив и разделив левую часть равенства на V, получим:

или по (1-5) и (1-6')

Таким образом, если отношение — для жидкости больше,

чем для газа, то это означает, что частная производная

(jjf'j Для жидкости	больше,	чем для того		же	вещества в
газообразном состоянии (об этом см. § 2-5).
Производная [ jj fj	, как мы	увидим,	имеет	важное значе
ние для характеристики свойств тел.
6°. Нередко наряду с коэффициентами (1-3)				и (1-4)
		Уч^-У1
			h ~ h
рассматривают коэффициенты
					( 1- 10)
причем масса и объем считаются постоянными.
Эти коэффициенты	соответственно		называются		истинным

и средним коэффициентами термической упругости.

Из определения коэффициента	^ и из (1-9) следует, что
давление и коэффициенты у,, а ,	связаны соотношением
	(Ы 1)

1-5. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ (УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ)

1°. Пусть V и т — объем и масса однородной системы;

тогда у= — — удельный объем системы.

Из определения однородности следует, что и все интен сивные признаки во всех частях системы должны быть оди наковыми.

С другой стороны, из § 1-4 мы знаем, что изменения как температуры, так . и давления вызывают изменения объема, а следовательно, и удельного объема системы.

В тех случаях, когда из признаков, влияющих на удельный объем, изменениям подвержены только внешнее давление и температура, можем написать:

		»=/(Р, t), или «р(о, р, t)= 0.			(1-12)
Из (1-12) следует,			что весь объем однородной системы
			V = m v=m .f(p, t).		(1-13)
Смысл	(1-13)	тот,	что объем	однородной системы	пропор
ционален	массе,	а коэффициент		пропорциональности	(равный

удельному объему v) является функцией давления и темпера туры.

2°. Однако (1-12) не	всегда имеет место. Чтобы в этом
убедиться, рассмотрим,	например, металлический цилиндр
' У / / / / / / / / ,

Фиг. 1-3.

(фиг. 1-3), верхнее основание которого закреплено. Погрузим весь цилиндр в сосуд, наполненный жидкостью. В этих усло виях цилиндр будет иметь определенную температуру t (рав

ную температуре жидкости);				если	пренебречь	произведением
АЗ	(где А — высота		цилиндра,	а 8 — удельный вес жидкости),
то	нужно считать		внешнее давление р на все точки цилиндра
одинаковым.
	Пусть при	заданных значениях			р и 1 объем	цилиндра	бу
дет V.		р	и t, приложим
	Не изменяя				к нижнему	основанию	ци

линдра растягивающую силу Q, которую, постепенно увеличи вая, доведём от нуля до Q' и снова уменьшим до нуля. Пусть


в этот	момент	объем цилиндра будет V . Обыкновенно ока
зывается, что		V Ф V'.
Если бы (фиг. 1-4), приложив растягивающую силу, мы
довели	ее максимальное значение			до Q ", то, снова уменьшая
Q, мы	бы получили		при Q = 0 и неизменных		температуре и дав
лении новый объем			V" цилиндра,	причем	У " Ф У;

Это указывает на то, что объем цилиндра	зависит	не толь
ко от значений р, t и Q в рассматриваемый	момент,	но и от

того, каким было максимальное значение растягивающей силы

до момента		рассмотрения.
Мы могли бы растягивающую силу заменить сжимающей,
приложить растягивающую или сжимающую								силу не к ниж
нему основанию, а к боковой				поверхности			цилиндра			и т. д.
Но общий результат был бы тот же.
Объем	твердого тела		зависит не только				от значений				тем
пературы	и	давления и приложенных к нему						различных			сил
в рассматриваемый момент, но и от того,							какими		были		ма
ксимальные значения этих сил до момента рассмотрения.
Именно это и хотят выразить, когда						говорят,			что	объем
деформируемого твердого			тела зависит			не только			от	р,	t, Q
и других сил, но и от „предыдущей истории" этого тела.
Отсюда		ясно, что в случае		твердого тела нельзя положить
А если		V = f(p ,		t, Q,	.).

		У ф / (р ,		t,Q,	••),
то твердое		деформируемое тело не			имеет		уравнения			состоя

ния.

Твердому телу можно приписывать уравнение состояния


только при условии,	что силы Q не		превосходят			некоторого
максимального значения. В этом случае				при уменьшении Q до
нуля линия возврата	СА ’ совпадет,		как	показывают			опыты,
с линией АС, соответствующей увеличению Q от						нуля	до	м а
ксимального значения.
Итак, принимаем, что газы и жидкости					имеют уравнения
состояния, а твердые тела вообще не имеют их.
3°. Знание уравнения состояния			очень		важно	и позволило
бы установить ряд свойств газа		или жидкости				без выполне
ния экспериментов.	v = f ( p , t ) — уравнение
Например, пусть					состояния		какой,
нибудь однородной	системы. Положив p = con st, можем вычис
лить производную f-^ -j > приняв		же	f= con st, определим					про

изводную Разделив эти производные на о, находим:

а (1-9) даст

<<< < Предыдущая 1 23 / 703 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202323.58 Mб1Общая металлургия.-1.pdf
#
13.11.202324.58 Mб2Общая металлургия..pdf
#
19.11.202332.48 Mб0Общая психология..pdf
#
12.11.202321.14 Mб2Общая теория анизотропных оболочек..pdf
#
20.11.202316.76 Mб0Общая термодинамика.-1.pdf
#
19.11.202329.73 Mб0Общая термодинамика..pdf
#
12.11.20232.01 Mб2Общая физика. Гидродинамика и теплообмен.pdf
#
12.11.20231.98 Mб3Общая физика. Оптика.pdf
#
12.11.20233.59 Mб4Общая физика. Ч. 1 Механика.pdf
#
12.11.20232.15 Mб5Общая физика. Электричество и магнетизм.pdf
#
12.11.20232.24 Mб6Общая химическая технология. Лабораторный практикум.pdf