то выражения (IV.8) — (IV.86) преобразуются в соответствующие уравнения теории максимальных нормальных напряжений.

Для подавляющего большинства реальных материалов 0 < %< 1. Следовательно, предельные поверхности, интерпретирующие в про­ странстве напряжений границу прочных напряженных состояний в соответствии с выражениями (IV.8) — (IV.86), находятся в об­ ласти между цилиндром Мизеса — Генки и параллелепипедом, со­ ответствующим «первой теории прочности». Это обстоятельство на­ ходится в хорошем соответствии с результатами опыта. На рис. 44

пряжения, представлены результаты опытов различных авторов при плоском напряженном состоянии [69, 129, 170, 183, 223, 228, 342]. За пределы прочности для одноосного растяжения в направ­ лении <тд принято среднее значение из числа имеющихся экспери­ ментальных точек. Здесь же показаны предельные кривые, соот­ ветствующие уравнениям (IV.8) — (IV.86) при % = 0, % = 1 и, для сравнения, при % = 0 ,5 . Из рисунка видно, что эксперимен­ тальные точки находятся между предельными крибыми X = 0 и

готеют к прямой ад = ар.- Известно, что каждая теория прочности предполагает опреде­

ленное соотношение между предельными напряжениями при растя­ жении — сжатии и кручении. На рис. 45 представлены кривые зависимости предельных напряжений при кручении от коэффици­ ента X, соответствующие уравнениям.(IV.8) — (IV.86) и, для сравне­ ния, теориям Мора, Баландина и Миролюбова. Здесь же нанесены экспериментальные точки, полученные различными авторами. Из сравнения результатов опыта с теоретическими данными однозначно следует, что уравнения (IV.7), записанные в виде

Х2а ? + ( 1 - Х 2) 0? = °р-

находится в наилучшем соответствии с опытными данными на всем диапазоне значений % и поэтому может быть принято в качестве расчетного для широкого класса материалов.

§ 5. Геометрическая интерпретация обобщенного критерия прочности

В уравнениях (IV.8) — (IV.86) любое из главных напряжений Oj, <т2, а3 может быть наибольшим. Поэтому каждое из этих уравне­ ний определяет в пространстве напряжений три поверхности, ко­ торые, пересекаясь, образуют замкнутую фигуру, интерпретиру­ ющую в координатах од, а2, а3 соответствующее условие прочности.

Рис. 45. Сопоставление опыт­ ных данных с результатами теоретических расчетов:

Рис 44. Результаты эксперименталь­ ного исследования прочности мате­ риалов при плоском напряженном со­ стоянии (/ — в соответствии с урав­ нением (IV.8); / / — в соответствии с уравнением (IV.8a); I I I — в соответ­

ствии с уравнением (IV.86):

железо; S3 — бетон.

ниям, то исследуемые кривые имеют смысл лишь в той области на­

оси Ог, ограничен участок кривой, находящейся в районе указан­ ной области. Поворачивая дуги, заключенные между осью Ог и

лучом От, относительно точки О сначала на угол ^ л, а затем на

/ — согласно уравнению (IV.9); 2 — согласно уравнению (IV.9a); 3 — согласно урав­ нению (IV.96); 4 — след цилиндра Мнзеса и параллелепипеда <Ti=const.

угол g к (что равносильно круговым перестановкам в уравнениях

(IV.8) — (IV.86)), получаем сечения соответствующих предельных поверхностей. Эти сечения представлены на рис. 47, где показан также вид системы координат <у1г аг, о3 их, у, г, если смотреть со стороны оси Ох.

Анализ уравнений' (IV.9) — (IV.96) позволяет обнаружить сле­ дующее общее свойство предельных поверхностей, соответствующих исследуемым критериям прочности: с изменением характеристики

материала % = — характер изменения формы предельных по-

верхностей качественно один и тот же — при % -* 0 предельные поверхности распадаются на три пары плоскостей, т. е. каждый из критериев переходит в параллелепипед, соответствующий теории максимальных нормальных напряжений; при % 1 вытянутые в направлении оси симметрии пространства предельные поверхности вырождаются в цилиндр Мизеса — Генки. При этом, естественно,

Ш

Легко заметить, что со стороны гидростатического сжатия кри­ терий (IV.8) и (IV.8a) не предполагает ограничения прочности материала при любых значениях параметра х» а в соответствии с критерием (IV.8a)

Для плоского напряженного состояния совмещенные критерии (IV.8) — (IV.86) интерпретируются предельными кривыми, состоя­ щими из трех участков, два из которых описываются уравнениями

а третий (в области отрицательных значений напряжений) является участком эллипса а\ — a,a2 -f a | = a£ для всех трех условий.

Из уравнений (IV.8) — (IV.86) следует, что отношение предель­ ных напряжений при одноосном растяжении к предельным напря­ жениям при кручении изменяется согласно зависимостям

Если сдвиговая деформация определяется уровнем максималь­ ных касательных напряж ний, то вместо величины а,- в выражения (IV.8) — (IV.86) для совмещенных критериев прочности следует

Уравнение (IV.11) совпадает с соответствующим уравнением упрощенной теории Мора, когда огибающие кругов Мора заме­ нены прямыми. В пространстве напряжений оно интерпретируется шестигранной пирамидой, вписанной в предельную поверхность критерия (IV.8a). Предельные поверхности, интерпретирующие