Кроме напряженного состояния на прочность материала оказывают влияние температура, градиенты напряжений, масштаб­ ный фактор и т. п. Поэтому поверхности равной прочности следова­ ло бы строить в пространстве с максимальным количеством измере­ ний. Однако выдвинутые до последнего времени гипотезы позво­ ляют составить уравнения предельной поверхности лишь в трех­ мерном пространстве напряжений.

Первые гипотезы об условиях наступления предельного напря­ женного состояния материала при произвольной системе напряже­ ний были высказаны еще в самом начале развития науки о проч­

б ер а — Мизеса — Генки была видоизменена для распространения ее на материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию (Шлейхер, Бурчинский, Ягн, Баландин и др.).

Подавляющее большинство этих гипотез прочности представ­ ляет собой частные случаи более общей зависимости, содержащей первый инвариант тензора напряжений

h — о) + о2 + о3

и второй инвариант девиатора напряжений

а образующие соответствующих предельных поверхностей пред­ ставляются кривыми второго порядка. Сама предельная поверх­ ность является поверхностью вращения.

Перейдем к изложению теорий прочности, рекомендованных различными авторами для расчетов при статическом нагружении.

§ 3. Классические теории прочности

Первой и наиболее простой теорией прочности явилась теория наи­ больших нормальных напряжений, ее основоположниками можно считать Галлилея и Лейбница. Согласно этой теории, опасное со­ стояние материала наступает тогда, когда одно из главных нормаль­ ных напряжений принимает значение, равное пределу прочности (или пределу текучести), определенному из простейших опытов. Это условие приводит к неравенствам

Сторонниками теории максимальных нормальных напряжений были Ляме, Клебш, а позднее — Ренкин, под именем которого она была распространена в англо-американской литературе.

Соотношения (III.3) определяют в пространстве напряжений шесть плоскостей, параллельных координатным осям. Пересекаясь, эти плоскости образуют куб (рис. 25, а), на поверхности которого лежат точки, соответствующие предельным состояниям материала.

Рис. 25. Геометрическая интерпре­

в

На рис. 25, б показана область (ограничена квадратом) безопасных напряженных состояний для случая, когда а3 = 0 . Теория плохо подтверждается опытом. Она не объясняет, например, тот факт, что материал, слабо сопротивляющийся простому сжатию, может выдержать очень большое гидростатическое давление.

Основы второй теории прочности впервые высказал Мариотт (1862 г.). Согласно его гипотезе, критерием прочности является наи­ большее относительное удлинение. Такого же взгляда придержи­ вались Поселье, Навье и Сен-Венан. Позднее Грасгофом было по­ казано, что расчет материалов, одинаково сопротивляющихся ра­ стяжению и сжатию, должен вестись по абсолютной величине де­ формации (без учета знака).

Условие прочности по этой теории, известной в литературе под названием теории приведенных напряжений, запишется таким об­

В свое время теория максимальных нормальных удлинений по­ лучила большое распространение в России, а также в некоторых западноевропейских странах, хотя против нее также имелись возражения.

Соотношение (II 1.4) в пространстве напряжений определяет шесть плоскостей, которые, пересекаясь, образуют равносторонний косоугольный параллелепипед (рис. 26, а) с осью симметрии, равнонаклоненный к координатным осям. Грани этого параллелепипеда представляют собой ромбы. Предельная кривая для случая плоского

напряженного состояния представлена на рис. 26, б. Как видно из рисунка, в случае двухосного растяжения материал должен по­ казывать большую прочность, чем при простом растяжении. Между тем опыты не подтверждают этого.

Третья теория прочности в качестве критерия принимает наи­ большее касательное напряжение. Эта теория, предложенная Ку-

б,

лоном в 1773 г., обратила на себя внимание лишь после известных опытов Баушингера, которые показали, что сопротивление стали сдвигу близко к половине ее сопротивления растяжению. В теории Кулона нашел свое объяснение и факт высокой прочности материа­

(рис. 27, а) при пересечении образуют правильную шестигранную призму (призма Кулона). На рис. 27, б представлена предельная кривая для случая плоского напряженного состояния. Условие постоянства максимального касательного напряжения предлагалось также в, 1868 г. Треска, а в 1900 г. Гестом 12301. В 1870 г. условие

строении теории пластического течения. В 1909 г. Людвиг пред­ ложил обобщенную кривую в виде ттах = /(уmax) и тем самым рас­ пространил рассматриваемое условие пластичности на всю пласти­ ческую зону.

Чтобы распространить теорию максимальных касательных на­ пряжений на материалы, по-разному сопротивляющиеся растяже­ нию и сжатию, Кулон предположил, что максимальное касатель-

ное напряжение является линейной функцией среднего нормального напряжения в плоскости расположения ттах:

cTj-----(III.8)

Предельная поверхность, соответствующая условию (III.8), — шестигранная равнонаклоненная к осям пирамида — представлена на рис. 28.

К уравнению (III.8) приводит также теория прочности Мора, если предположить, что предельная кривая, огибающая круги на­ пряжений, является прямой линией. Это предположение — гру­ бое упрощение теории Мора, не имеющее физического обоснования.

Основной смысл теории Мора сводится к эмпирическому опреде­ лению кривой т = f(a), огибающей семейство предельных глав­ ных кругов Мора и состоящей из двух симметричных ветвей (рис. 29). Абсциссы а и ординаты х точек касания кругов огибающими пред­ ставляют нормальные и касательные напряжения, при которых начинается пластический сдвиг или разрушение. Таким образом, физический смысл теории Мора можно сформулировать так: нару­ шение прочности материала наступает либо при достижении каса­ тельными напряжениями т некоторой критической величины, за­ висящей от нормальных напряжений а, действующих по тем же плоскостям скольжения, либо при достижении наибольшим нор­ мальным напряжением аг предельного для данного материала значения.

Огибающие кругов Мора можно интерпретировать аналитически различными кривыми и тем самым значительно расширить возмож­ ности теории. Предполагались различные виды огибающей глав­ ных кругов Мора как частные выражения зависимости т =f(a):