§ 2. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений

декс при касательных напряжениях обозначает направление нор­ мали к площадке, в плоскости которой действует рассматриваемое напряжение, а второй — направление, которому параллельно это напряжение.

Таким образом, в каждой из строк матрицы (1.1) помещаются проекции на координатные оси соответствующего вектора напря­ жения, а в каждом столбце — проекции трех векторов напряжения на соответствующие оси.

Нормальное напряжение считается положительным, если оно действует в направлении внешней нормали. Знак касательного на­ пряжения зависит от выбора координатных осей. За положительное направление касательного напряжения принимается направление соответствующей оси координат, если положительное направление нормального напряжения на той же площадке совпадает с направ­ лением оси, параллельно которой оно действует. На рис. 2 каса­ тельные напряжения направлены в сторону, противоположную на­ правлению соответствующих осей. Однако они положительные, так

Отсюда следует закон взаимности (или парности) касательных на­ пряжений, впервые сформулированный и доказанный Коши: в ка­ ждой точке деформированного тела составляющие касательного на-, пряжения, действующие в д ух взаимно перпендикулярных пло­ скостях и перпендикулярные к линии пересечения этих плоскостей, численно равны между собой, т. е. компоненты тензора напряжений, расположенные симметрично относительно главной диагонали тен­ зора (диагонали, проходящей через ох, ау, (Тг), равны.

Следовательно, для полного определения напряженного состо­ яния в рассматриваемой точке необходимо знать не девять, а шесть величин:

Ох, Оу, <Тг , %х у == Хух , X хг = Хгх, Хуг = Xgy.

При изменении наклона граней параллелепипеда по отношению к осям координат будет изменяться величина как нормальных, так и касательных напряжений. В каждой точке тела существуют три такие взаимно перпендикулярные площадки, касательные напряже­ ния на которых равны нулю. Эти площадки называются главными. Действующие по этим площадкам нормальные напряжения назы­ ваются главными нормальными напряжениями, а их направления — главными направлениями (или главными осями) в рассматривае­ мой точке. Главные напряжения обозначаются ov са, а3. Их ну­

мерация обычно выбирается так, чтобы сохранялось неравенство

<^2 ^ <*з.

' Заметим, что говорить о главных направлениях имеет смысл лишь в том случае, если главные напряжения не равны между собой. При гидростатическом растяжении или гидростатическом сжатии, когда = сг2 == а3, любая система ортогональных осей может быть принята за главные оси. Если/два главных напряжения равны, то задача становится осесимметричной.

Можно показать, что имеется три пары площадок, на которых касательные напряжения достигают экстремума. Эти экстремаль­ ные значения касательных напряжений называются главными ка­ сательными напряжениями и равны

(1.2)

Представляет интерес характер изменения напряжений, дей­ ствующих на произвольно ориентированной площадке при ее по­ вороте относительно главных осей. Рассмотрим напряжения <*х, ау, аг на наклонной площадке dF элементарного тетраэдра, направ­ ление нормалей к боковым граням которого совпадает с направле­ нием главных осей (рис. 3). Пусть площадка сориентирована таким образом, что углы между нормалью On и координатными осями равны соответственно а, р и у.

Условие равновесия тетраэдра:

откуда

ax cos a = — ;

Возводя в квадрат и складывая, получаем

Полученное уравнение — уравнение эллипсоида напряжений (эллипсоид Ляме). На поверхности этого эллипсоида лежат концы векторов полных напряжений Рп для всевозможных площадок, проходящих через точку О, а его полуосями являются главные напряжения av сг2 и а3 (рис. 4).

Если одно из напряжений, например оу, равно нулю (плоская задача), то эллипсоид напряжений обращается в эллипс напряже­ ний, уравнение которого

Д ля случая линейного напряженного состояния, когда два нормальных напряжения равны нулю, будем "иметь ох = + ог1.

только одно из главных напряжений не равно нулю. Линейное на­ пряженное состояние можно получить при растяжении (стх Ф 0 ), сжатии {о3 Ф 0) или изгибе (частный случай растяжения — сжа­ тия) стержня.

Нормальные и касательные напряжения, действующие по любой площадке, нормаль к которой образует с направлением главного напряжения а угол а, определяются по формулам

т. е. сумма нормальных напряжений по любым двум взаимно пер­ пендикулярным площадкам — величина постоянная, а касатель­ ные напряжения, действующие на этих площадках, равны по вели­ чине и направлены или к линии пересечения, или от линии пересе­ чения этих площадок.

Из выражений для та в уравнении (1.3) следует, что максималь­ ные касательные напряжения действуют под углом 45° к направле­ нию главных напряжений. При этом

Из формул (1.3) и (1.5) следует, что

а+Т

Следовательно, в общем случае плоского напряженного состоя­ ния сумма нормальных напряжений по любым двум взаимно перпен­ дикулярным площадкам равна сумме главных напряжений. Если известны только главные напряжения (пластинка, растягиваемая в двух направлениях), используя зависимости (1.3) и (1.5), можно найти напряжения по любым взаимно перпендикулярным площад­ кам, а из выражения (1.6) — величину максимальных касательных напряжений.

Объемное (трехосное) напряженное состояние. В общем случае пространственного напряженного состояния тела по всем трем вза­ имно перпендикулярным площадкам, проходящим через точку, на­ пряжение в которой исследуется, действуют как нормальные, так

икасательные напряжения. Связь между главными напряжениями

инапряжениями по любой наклонной площадке, проходящей через

эту точку, описываетсяследующим кубическим уравнением:

роте координатных осей, т. е. не зависят от метода их нахождения,

Третий (или кубический) инвариант можно рассматривать как раз­ вернутый в строку определитель, составленный из компонентов тензора напряжений,

Ох Т'ХУ Ххг

Хух *У Хуг Хгх Ъгу ог

Если за оси координат принять главные оси, то тензор напряже­ ний примет вид

о , 0 0

Т„ = О ст3 0 ,

О 0 <т3

а инварианты тензора напряжений запишутся так:

h — ai +■ az + о3\

изменением длины ребер (рис. 8, а) и сдвигами параллельных пло­ скостей (рис. 8, б)*.

Относительные деформации ребер в направлении осей и относи­ тельные сдвиги в соответствующих плоскостях обозначаются сле­ дующим образом:

Если предположить, что длины ребер параллелепипеда стре­ мятся к нулю, то составляющие деформации будут определять пол-

Рис. 8. Деформации элементарного параллелепипеда.

ную деформацию в окрестности рассматриваемой точки и,образуют тензор деформаций, который обычно записывается в виде следую­ щей симметричной матрицы:

•В выражении (1.14) компонентами тензора деформаций являются не полные сдвиги (угловые деформации), а их половины. При этом теория деформированного состояния оказывается подобной теории напряженного состояния.

* На рис. 8, 6 показано относительное смещение только граней, параллель - ных плоскости хОу системы координат.

Направления главных удлинений называются главными на­ правлениями или главными осями деформации.

Если деформированное тело изотропно, то направления главных деформаций совпадают с соответствующими направлениями глав­

00 е 8

авыражения для инвариантов тензора деформаций запишутся так:

Первый инвариант тензора деформаций пропорционален сред­ нему удлинению и характеризует объемное расширение материала (относительное изменение объема):

По относительным удлинениям в главных направлениях опре­ деляются главные сдвиги:

Если материал несжимаем, то, как это следует из выражения (1.18),

8* + ц + % = 8Х+ е2 + е3 = 0.

Тензор деформаций так же, как и тензор напряжений, разла­ гается на шаровой тензор деформаций

Девиатором деформаций оценивается степень отклонения дан­ ного деформированного состояния, которое описывается тензором деформаций, от гидростатического растяжения — сжатия при глав­ ных деформациях, равных среднему арифметическому от линейных деформаций исследуемого деформированного состояния.

Таким образом, если тело находится в однородном деформиро­ ванном состоянии, описываемом шаровым тензором деформаций, форма тела не изменяется. Если деформированное состояние описы­ вается девиатором деформаций, то не изменяется объем.

Выражения для инвариантов шарового тензора деформаций и девиатора деформаций можно написагь по аналогии с выражениями (1. 11а), (1.12а) и (1.13).

Процесс деформирования протекает во времени. Поскольку ка­ ждая текущая стадия деформированного состояния тела является результатом перехода из весьма близкой к ней предшествующей стадии, то полезно ввести понятие «скорость деформации». Линей­ ная скорость деформации представляет собой относительное линей­

Использование натуральной деформации е вместо условной 8 по­ зволяет определить также й истинные скорости деформаций:

шения справедливы при больших деформациях, когда изменением объема можно пренебречь.

§ 4. Октаэдрические напряжения и деформации

Наряду с главными площадками представляют интерес плоскости, равно наклоненные к главным осям. Существуют четыре пары таких плоскостей. Если все восемь плоскостей провести на одинаковом расстоянии от исследуемой точки, то они образуют в пространстве октаэдр, вершины которого лежат на главных осях (рис. 9). Нор­ мальные напряжения, действующие по октаэдрическим площад­ кам, равны среднему арифметическому от трех главных нормаль­ ных напряжений:

Интенсивность напряжений и интенсивность деформаций явля­ ются квадратичными функциями характеристик напряженного и деформированного состояний. Использование их в расчетах и при обработке экспериментального материала связано с определенными математическими трудностями. Поэтому иногда с учетом выраже­ ний (1.32), (1.36) вместо а( и е,- вводят линейные функции

Тт а х = ^ т ^ И Vma, = e1 — 8з.

Для уменьшения ошибки от такой замены можно ввести коррек­ тировочный коэффициент, учитывающий вид напряженного со­ стояния, и пользоваться более точными соотношениями 12681

Величины ра и рг называются параметрами Лоде — Надаи или пара­ метрами вида девиатора.

§5. Геометрическая интерпретация напряженного

идеформированного состояний

При известном направлении главных осей напряженное состояние элемента можно охарактеризовать главными напряжениями

02, 0з-

Если выбрать систему координат, совпадающую с главными осями (рис. 10), то точка Р с координатами 0j, 02, 03 полностью определит напряженное состояние.

Процесс нагружения осуществляется путем перехода от состо­ яния Р(0, 0, 0) к состоянию Р(0Ъ 02, 03). Путь нагружения может быть представлен отрезком ОР, который является совокупностью последовательных положений точек Р при нагружении. Если ОР — прямая, то нагружение происходит при пропорциональном возра­ стании напряжений. В этом случае, согласно классификации А. А. Ильюшина, имеет место простое нагружение. Если точка Р равноудалена от осей, то 0Х = оа = 03, а напряженное состояние, характеризуемое координатами этой точки, называется гидроста­ тическим растяжением (если все компоненты напряжений поло­ жительны) или гидростатическим сжатием (если все компоненты

которое является уравнением круга с радиусом R, равным гипоте­

нузе прямоугольного треугольника, построенного на катетах —~ -г

Центр этого круга находится на оси а в точке

Нормальные и касательные напряжения оа и та определяются координатами точек, лежащих на окружности круга Мора. Так, координаты точек D viD' , симметричных относительно центра круга

В и А пересечения круга с осью а, а наибольшее касательное на­ пряжение равно радиусу круга. *

По диаграмме Мора можно найти и направление главных на­ пряжений. Для этого из крайней левой точки А круга проводим луч через точку симметричную D относительно оси абсцисс. Угол а дает направление главной площадки, на которой действует алгебраически большее главное нормальное напряжение. Направле­ ние луча AD\ дает положение второй главной площадки.

Графически можно найти напряжения на произвольно ориенти­ рованной площадке и при объемном напряженном состоянии. Пусть напряженное состояние в точке задано главными напряжениями <*1, <*2, сг3. Напряженному состоянию на всех площадках, парал­ лельных одному из главных напряжений, соответствует круг Мора, построенный на двух других главных напряжениях. Так, рассма­ тривая площадки, параллельные главному напряжению стх, по­ лучаем круг напряжений I (рис. 12), построенный на отрезке а2—<т3 как на диаметре. Аналогично строим круги напряжений I I и I I I , соответствующие площадкам, параллельным аа, и площадкам, па­ раллельным а3. Можно доказать (см., например, работы 1183, 2971), что нормальное и касательное напряжения о' и х' на произвольно наклоненной к главным осям площадке определяются на плоскости а, х координатами точки М, которая лежит внутри наибольшего (главного) круга Мора и вне двух других кругов.

Положение точки М, соответствующей напряженному состоянию на площадке с нормалью, составляющей с главными осями углы

а, Р> Y* определяется путем следующих геометрических построений [44]. От оси а (рис. 12) в точке D отложим угол BDK,, равный углу а, составленному нормалью к площадке с направлением /, и угол ADL, равный углу у между нормалью к площадке и направле­

нием III. Точку М определяем как точку пересечения дуг, прове­ денных из центров Сх и С3 радиусами СХК и C3L.

Из диаграммы Мора видно, что при любом напряженном состо­ янии максимальное касательное напряжение равно ординате наибо­ лее удаленной от оси точки внешнего круга, т. е. его радиусу:

и действует по площадке, параллельной главному напряжению <т2 (поскольку внешний круг соответствует площадкам, параллельным

т = ттах, видно, что указанная площадка наклонена к главным на­ пряжениям ох и сг3 под углом 45° (рис. 13).

Решение обратной задачи (об определении главных напряжений по заданным напряжениям в наклонных площадках) для случая объемного напряженного состояния невозможно, так как оно сво­ дится к графическому решению уравнения третьей степени (см. урав­ нение (1.7)), что практически неосуществимо.

Графический метод определения напряжений по наклонным пло­ щадкам используется и для установления зависимости угловых де­ формаций от линейных. В этом случае по оси абсцисс откладыва­ ются линейные деформации, а по оси ординат — половины угловых деформаций.

Таким образом, для построения круга деформаций необходимо располагать значениями деформаций для двух взаимно перпендику­ лярных направлений ех, ег и угла уХг.

При экспериментальном определении напряжений, в частности при использовании метода тензометрии, исходными параметрами часто являются не два удлинения и угол, а удлинения по трем любым направлениям. Располагая этими параметрами, также можно по­ строить круг деформаций, а от круга деформаций легко перецти к

Значение параметра Л оде — Надаи р0 определится как отно­ шение длины отрезка ND к длине отрезка NB:

Аналогичное графическое построение может быть проведено и при графической интерпретации зависимости характеристик дефор­ мированного состояния от главных удлинений. Такое построение показано на рис. 16.

Г. А. Смирнов-Аляев предложил различать три основных вида напряженного и деформированного состояний: растяжение, если среднее главное напряжение точно или приближенно равно наимень-

шему с учетом знака главному напряжению (0 < Р < 15е); сдвиг, если среднее главное напряжение (точно или приближенно) равно полусумме двух главных напряжений (159 < {5 < 45°); сжатие, если среднее главное напряжение (точно или приближенно) равно максимальному с учетом знака главному напряжению (45е < 6 < < 60е).

Такая формальная классификация видов напряженного состо­ яния может оказаться полезной при исследовании соответствия между напряженным состоянием и изменением деформированного состояния вещества. Так, разделение возможных деформированных

состояний на три основных вида позволило Г. А. Смирнову-Аляеву [262] с достаточно высокой точностью аппроксимировать условие

пластичности сг, = const группой линейных относительно главных компонентов тензора выражений:

шает 3%.