уравнение (III. 10) выведено в предположении, что между напряже­ ниями и деформациями существует линейная зависимость, поэтому оно, казалось бы, теряет логический смысл за пределом пропор­ циональности и тем более за пределом текучести. Однако послед­ няя трактовка теории (о пропорциональности критерия второму инварианту девиатора напряжений) дает основание использовать уравнение (ШЛО) для выполнения

деформировании анизотропия иногда приводит к парадоксальным результатам: уменьшению интенсивности напряжения (при на­ ложении второй нагрузки) может сопутствовать увеличение ин­ тенсивности деформации [283], коэффициент поперечной деформа­ ции при втором нагружении может принимать различные значе­ ния, вплоть до отрицательных [11].

Уравнение (ШЛО) в пространстве напряжений сг^, а2> <т3 опре­ деляет собой поверхность равнонаклоненного к осям кругового цилиндра, описанного вокруг призмы Кулона (рис. 30). При пло­ ском напряженном состоянии предельная кривая представляется эллипсом. Штриховой линией на рис. 30, б показан для сравнения шестиугольник, соответствующий теории максимальных касатель­ ных напряжений.

§ 5. Новейшие энергетические теории

Идеи, положенные в основу той или иной теории прочности, должны иметь определенный физический смысл.

Однако разработку теории прочности очень задерживает отсут­ ствие необходимого экспериментального и теоретического мате­ риала о механизме пластической деформации. Поэтому чисто фено­ менологический подход многих исследователей при в движении новых гипотез можно считать на данном этапе развития науки о прочности вполне оправданным.

Большинство новейших энергетических теорий укладывается в рамки высказанной А. Надаи [183] гипотезы о том, что в предель­

Предложенная Шлейхером зависимость вида (III. 12) дает сле­ дующее условие прочности:

0 1 + 0 2 + 0 3 — 2р, (OJ02 + 0 ,0 3 + 030!) + ( 0 С — 0 р ) (0 1 + 0 2 + 0 з ) < 0 р 0 с,

(III. 12а)

откуда следует

2(1+ц)

В пространстве напряжений уравнению (III. 12а) соответствует эллипсоид вращения, центр которого смещен от начала координат.

Эта теория, равно как и все описанные ниже новейшие теории,

Гипотеза Шлейхера плохо подтверждается имеющимися экспе­ риментальными данными и поэтому не получила распространения.

Еще более универсальной является гипотеза Бужинского 1337], согласно которой опасное состояние материала наступает при до­ стижении энергией, состоящей из энергии формоизменения ц неко­ торой части энергии изменения объема, определенного критиче­ ского значения, являющегося в свою очередь линейной функцией шарового тензора.

Применительно к интенсивности напряжений и шаровому тен­ зору гипотезу Бужинского можно представить уравнением

При определенных соотношениях между константами, найден­ ными из опыта на растяжение—сжатие и кручение, предельная по­

2a_a

т < — р с У ;)•

2 ( а р + а с) ’

Таким образом, уравнение (III. 13а) является более общим урав­ нением поверхностей вращения второго порядка, а гипотеза Бужинского содержит в себе как частные случаи все предложенные энергетические теории вида (III.11).

С гипотезой Бужинского тождественно совпадает теория проч­ ности Ю. И. Ягна [3261, хотя она базируется на совершенно дру­ гих представлениях. Исходя из геометрических соображений о форме предельной поверхности изотропных материалов Ю. И. Ягн полагает, что уравнение поверхности, интерпретирующей теорию прочности в пространстве напряжений, необходимо искать в виде уравнения второй степени, которое симметрично по отношению ко всем трем главным напряжениям. Этому требованию удовлетворяет следующее уравнение:

(о#4~ °2 Ч- °з) + о (<*1<*2 ~Ь 02°з 03°^) "Ь Ь(ах + <т2 -Г о3) = с.

Определяя константы а, & и с из простейших опытов, получаем условие прочности, которое легко приводится к виду (III. 13а),

Уравнение (III .13) предлагалось и другими авторами [163, 295, 397]. П. П. Баландиным [9] была предложена теория прочности, ос­ нованная на предположении, что предельное значение удельной потенциальной энергии формоизменения является функцией шаро­ вого тензора, причем в первом приближении эта функция принята

В пространстве о1г ст2, а3 теория П. П. Баландина интерпрети­ руется параболоидом вращения (рис. 31).

Аналогичное уравнение было предложено в 1958 г. Г. А. Ге­ ниевым [47], как своего рода обобщение теории прочности Мора и

Уз

На рис. 32 показано сечение предельной поверхности плоско­

стью, перпендикулярной к ее оси. Штриховой линией для сравнения показан след параболоида вращения на этой плоскости.

В работе [340] использовано условие прочности, аналогичное (111.15), предложенное в 1961 г. Стасси. Характерной особенностью этого уравнения является попытка учесть влияние температуры. Расчетное уравнение условия Стасси может быть записано в виде

(0 , — а 2)2 + (02 — 0 3)2 + ( 0 3 — <т,)2 + 2 (Q - а ) а а р (а , + а 2+ 0 3) = 2 д с с Ц .

Здесь Q —— , а = — , где а( — предельные напряжения при рас-

Некоторыми авторами были предложены теории, в основу кото­ рых положено условие (III. 11) в более простом виде. Эти работы также можно рассматривать как обобщение энергетических теорий для распространения их на материалы, по-разному сопротивляю­ щиеся растяжению и сжатию.

Большая группа теорий прочности основывается, в частности, на линейной зависимости между касательными и нормальными на­ пряжениями в октаэдрической плоскости. Впервые такого вида зависимость была, по-видимому, предложена с соответствующим фи­ зическим обоснованием в 1940 г. А. И. Боткиным [23], хотя на воз­ можность использования линейной связи указывал еще в 1934 г. Клебовский [363].

А. И. Боткин рассматривает октаэдрические напряжения как

инвариантные величины вида — 2/ 2) для шарового

тензора и девиатора напряжений. Эти величины он принимает в ка­ честве критериев для оценки «интенсивности гидростатического напряжения» и «интенсивности напряжения сдвига», оказывающих различное влияние на сопротивление материалов. Если интенсив­ ность гидростатического напряжения сама по себе безопасна для прочности, а лишь возбуждает в материале «междучастичные» силы трения и тем самым повышает сопротивление, то интенсивность напряжения сдвига стремится преодолеть эти силы и силы сцепле­ ния и разрушить элемент.

Таким образом, основными характеристиками, определяющими прочность материала, являются, по мнению автора гипотезы, коэф­ фициент внутреннего трения т и коэффициент сцепления п.

Линейную зависимость между октаэдрическими касательными и нормальными напряжениями исходя из различных концепций предлагали т кже в 1941 г. С. В. Сервисен [260] (как обобщение те­ ории Мора), в 1951 г. Фрейденталь [349], в 1953 г. И. Н. Миролюбов [177] (определяя прочность материала его сопротивлением сдвигу в октаэдрической плоскости), а в 1955 г. Блейки и Биресфорд 1333]* Бреслер и Пистер [335] (как обобщение результатов испытания бетона при сложном напряженном состоянии).

где а, Ь, о, р — константы материала, определяемые из четырех опы­ тов при различных видах напряженного состояния.

На основании обработки экспериментальных данных по иссле­ дованию прочности материалов типа бетона показано, что в усло­ виях двухмерного напряженного состояния связь между октаэдри­ ческими нормальными и касательными напряжениями в первом приближении может быть принята линейной:

при а = 1,4 -г 1,6.

Условие прочности в виде зависимости (III.18) при а = |5 = 2 было предложено в 1953 г. китайским ученым Лю Шу И на основе представлений о переходе энергии деформаций в поверхностную энергию трещин. Критерий Лю Шу И сводится к условиям

0* + и°уя = const при о0 > 0;

С/Ф — U*A = const при о0 < 0.

Выражая энергию через компоненты тензора напряжений, получаем

(1—Ц) [(Oi—а2)2+ (а 2—а3)2И -(а3—^i)2]± (l — 2(х) (ал+ о2+ а 3)2= const

(III.18a)