§ 4. Влияние градиента напряжений и масштабного фактора

Использование теорий прочности при расчете реальных конструк­ ций усложняется еще и тем, что большинство деталей машин рабо­ тает в условиях неравномерного распределения напряжений по объему. При рассмотрении теорий статической (кратковременной и длительной) и усталостной прочности мы не касались таких во­ просов, как роль масштабного эффекта и градиента напряжений. Опыт показывает, что при неоднородном напряженном состоянии (например, в зоне резкой концентрации) деформирование иногда протекает без образования остаточных деформаций до напряжений, значительно превышающих предел текучести при однородном на­ пряженном состоянии, т. е. гради.нт напряжений как бы способ­ ствует повышению сопротивления материала.

Если распределение напряжений по сечению известно, то, сле­ дуя Кунце, за «коэффициент упрочнения» можно принять отноше­ ние максимальных напряжений, при которых начинается теку­ честь в условиях неоднородного напряженного состояния, к пре­ делу текучести при растяжении, когда напряженное состояние од­ нородно:

о °т max

ат '

Эффект упрочнения в условиях сложного напряженного со­ стояния иллюстрируется рис. 61, на котором приведены графики зависимости значений (5 для полого цилиндрического стержня при изгибе и кручении в зависимости от отношения внутреннего диа­ метра к наружному [257]. Из рисунка видно, что при двухосном напряженном состоянии (кручение) несущая способность мате­ риала в результате поддерживающего эффекта менее напряженных объемов повышается более чем на 25%.

Показательным в отношении влияния неоднородности распре­ деления напряжений по сечению является известный из эксперимен­ тов факт, наблюдаемый при испытаниях материалов на усталость: в большинстве случаев предел выносливости при изгибе на 10—15% выше предела выносливости при растяжении — сжатии, когда на­ пряжения по сечению образца распределяются равномерно. Ка­ ковы бы ни были причины этого явления, расчетные формулы, основанные на тех или иных теориях прочности, должны учиты­ вать указанное «упрочнение» материала. У хрупких при обычных напряженных состояниях материалов эффект упрочнения почти не проявляется.

Существенное влияние градиента напряжений на предельное напряженное состояние пластичных материалов (или, вернее, мате­ риалов в пластичном состоянии) в первом приближении может быть учтено путем введения в соответствующие расчетные уравне­

ния коррегирующих коэффициентов, найденных для данного ма­ териала экспериментально [10, 257, 411].

Недостаточно изучен вопрос о роли масштабного фактора. Вли­ яние размеров тела на его прочность более заметно у грубодисперс­ ных структур, особенно при наличии крупных структурно-свобод­ ных выделений, например феррита; для таких структур истинное удлинение при разрушении, а также сужение возрастают в дватри раза при уменьшении диа­ метра от 10 до 0,8 мм при сохра­ нении геометрического подобия образцов [215].

Одни авторы [127, 182, 312] считают, что масштабный эффект имеет статистическую природу, другие авторы [180, 316] приро­ ду масштабного фактора объяс­ няют тем, что увеличение раз­ меров образца приводит к уве­ личению общего запаса энергии в системе образец — испыта­ тельная машина, а это ведет к росту скорости распростране­ ния хрупкой трещины. Имеют­

ся и другие концепции [60, 138, 199]. Однако в настоящее время пока еще нет теории, объясняющей хотя бы качественные осо­ бенности всех проявлений масштабного фактора.

Поскольку в литературе очень мало данных о влиянии разме­ ров и формы образцов на сопротивление в условиях сложного на­ пряженного состояния, ограничимся здесь рассмотрением различ­ ных проявлений эффекта масштаба в основном при статических испытаниях твердых тел. Экспериментально установлено, что уве­ личение длины образца при постоянном поперечном сечении и уменьшение диаметра при постоянной длине приводят к повыше­

нию механических свойств [215, 226, 244, 314, 324, 329, 359] как хрупких, так и пластических материалов. Интересно, что даже при статическом одноосном растяжении и сжатии, когда напря­ женное состояние материала достаточно однородно, круглые об­ разцы показывают менее высокую прочность, чем образны квадрат­ ного и прямоугольного поперечного сечения [36, 248, 252, 334]. Образцы с кольцевым сечением хуже сопротивляются растяжению и сжатию, чем сплошные, причем сопротивление трубчатых образ­ цов уменьшается с увеличением среднего диаметра при одной и той же площади поперечного сечения [204].

С. Д. Волков [40], используя модель микроскопически неодно­ родной среды, вывел критерий разрушения с учетом масштабного эффекта для объемного напряженного состояния. Отсутствие не­

обходимого экспериментального материала не позволяет пока оце­ нить точность полученных С. Д. Волковым результатов.

И. А. Одинг и 3. Г. Фридман [204] исследовали масштабный эффект при сложном напряженном состоянии на мягкой углероди­ стой стали в условиях ползучести. Они показали, что масштабный фактор независимо от вида напряженного состояния в значитель­ ной мере влияет на пластичность и срок службы изделий, понижая их значения с уменьшением толщины, причем это влияние при раз­ ных уровнях напряжения имеет одинаковый характер. Масштабный фактор особенно сильно проявляется при малых толщинах (диа­ метрах) — менее 0,75 мм. Авторы связывают это явление с различ­ ными структурно-силовыми условиями протекания пластической деформации в поверхностных и внутрилежащих слоях. Следова­ тельно, можно считать, что степень влияния масштабного фактора зависит как от физических свойств материала, так и от величины отношения площади поверхности образца к его объему.

Ш. Н. Кац [118], ссылаясь на опыты Б. Е. Корсакова, указыва­ ет, что диаметр образца оказывает заметное влияние на длительную прочность. При равных напряжениях раньше разрушаются те образцы из никелевых сплавов и некоторых аустенитных сталей, которые имеют меньший диаметр. При этом разница во времени оказывается особенно заметной при более длительных испытаниях, протекающих при относительно малых напряжениях.

В большинстве работ, посвященных изучению масштабного фак­ тора при статических испытаниях, выполняется лишь условие геометрического подобия образцов и теми или иными способами исключается влияние технологии их изготовления. Однако легко показать, что при испытании геометрически подобных образцов не выполняется идентичность по режиму нагружения. Если испытания проводятся с постоянной скоростью деформации, то скорость роста напряжений, а следовательно, и скорость роста относительной де­ формации обратно пропорциональны длине образца:

При постоянной скорости роста нагрузки скорость роста напряже­ ний и скорость относительной деформации обратно пропорцио­ нальны площади поперечного сечения образца: «

do _ dP_ £ dt ~ d t' F ‘

Д ля исключения влияния скорости роста напряжений при ста­ тических испытаниях образцов различных размеров необходимо проводить соответствующие вариации по скорости роста нагрузки и скорости абсолютной деформации. Полезные рекомендации по этому вопросу можно найти в работе [313].

Как уже отмечалось, одной из причин проявления масштабного

фактора многие авторы считают [315] неоднородность материала. В этой связи интересны опыты [292, 384] по исследованию масштаб­ ного фактора при усталостных испытаниях. При испытании образ­ цов в условиях однородного напряженного состояния при измене-, нии рабочей площади образца более чем в 150 раз влияние их раз­ меров не обнаружено. Это указывает на то, что статистическая роль дефектов в материале, как причины масштабного эффекта, практи-

Рис. 62. Влияние градиента на­ пряжений на предел выносли­ вости круглых образцов из уг­ леродистых нормализованных сталей при изгибе с кручением:

1 — 0,1% С. tfB-63,6-104 Мя/м*-, 2 — 0,3% С, СТП=54,8 • 10* Мн/м*; 3 — 0,1% С. <ТВ=40,3 • 104 Мн/м\

чески исключается, во всяком случае при испытаниях образцов

стщательно полированной поверхностью. В то же время извест­ но, что масштабный эффект заметно проявляется при испытаниях цилиндрических образцов при знакопеременном изгибе или изгибе

свращением. Легко показать, что здесь масштабный эффект вызван неравномерностью распределения напряжений по поперечному се­ чению образца, которую для каждой элементарной площади сече­ ния можно оценить величиной относительного градиента напряже­

ния

где а — напряжение, вычисленное с учетом концентрации; х — расстояние от поверхности.

Для круглого образца при изгибе, если учитывать линейное

На рис. 62 показано влияние относительного градиента напряже­ ний на предел выносливости круглых образцов при изгибе с круче­ нием для трех углеродистых нормализованных сталей [137]. По­ скольку величина относительного градиента напряжений линейно связана с диаметром образца, а статистическое влияние дефектов ме­ таллургического и механического происхождения отсутствует [292, 384], то рис. 62 фактически иллюстрирует влияние неоднородности распределения напряжений по сечению образца при усталостных испытаниях.

Мнение о существенном значении неоднородности напряжен­ ного состояния в проявлении масштабного фактора подтверждается также экспериментально известным фактом значительно большего влияния размеров у образцов с различного рода концентраторами по сравнению с гладкими образцами, у которых масштабный фак­ тор проявляется сравнительно слабо.

Попытку учесть влияние градиентов напряжений на величину предела текучести пластичных материалов при изгибе и кручении стержней простейшей формы (прямоугольник, ромб, круг, двутавро­ вый стержень — при изгибе, полный стержень — при кручении) сделал И. А. Одинг [199], вводя в условие постоянства максималь­ ных касательных напряжений некоторый коэффициент эквивалент­ ности, величина которого определяется геометрией сечения. Для полого образца из пластичного материала предел текучести при кручении, по И. А. Одингу, может быть определен из выражения

где тк — предел текучести при сдвиге в случае однородного напря­ женного состояния; rs — расстояние пластически деформирован­ ного слоя от центра образца; г — наружный радиус стержня; г0 — внутренний радиус стержня. Для сплошного стержня г0 = 0. Тогда

Установив допуск на остаточную деформацию ys, т. е. считая, что напряжения по сечению образца распределяются так, как по­ казано на рис. 63, можно составить пропорцию

откуда легко определить, что

rs =

\+ G \ s

Если принять, что пластическая зона распределяется на все

На рис. 61 штриховой линией показана теоретическая кривая зависимости коэффициента упрочнения Р от соотношения внутрен­

н е

него и наружного радиусов образца, рассчитанная по выражению (V. 20). Из этого рисунка видно, что теоретическая и эксперимен­ тальная кривые имеют один и тот же качественный характер. Ограничив пластическую зону периферийными слоями стержня, можно, естественно, добиться практически идеального совпадения этих кривых.

Кугнель [368] предлагает учитывать влияния неоднородности напряженного состояния при оценке усталостной прочности пу­

Т

Рис. 63. Распределение напряжений по сечению образца при кручении.

тем сопоставления «высоконапряженных» объемов образца, на ко­ тором получены механические характеристики материала, и рас­ считываемой детали. Под высоконапряженным объемом понима­ ется объем тех участков материала, в которых напряжение не менее 95% максимального. Величины этих объемов в соответствии с ра­ ботой [368] связаны соотношением

(V.21)

где Vi— высоконапряженный объем в образце; V2 — сопоставимый (высоконапряженный) объем рассчитываемой детали; п — констан­

Если деталь работает в условиях сложного напряженного со­ стояния, то величина ад пропорциональна приведенному напряже­ нию, вид связи которого с компонентами тензора напряжений опре­ деляется принятой теорией прочности.

Соотношение (V.21) использовано в работе [305] для корреляции результатов усталостных испытаний толстостенных цилиндров, на­ груженных пульсирующим внутренним давлением, с результатами простых испытаний материала на знакопеременный изгиб. Неко­

торые рекомендации по учету неоднородности распределения на­ пряжений по сечению, в том числе в условиях сложного напряжен­ ного состояния при циклическом нагружении, приведены в ра­ ботах 157, 284].

Гольцев Д. И. [57] считает, что усталостные характеристики материала (пределы выносливости при соответствующих видах на­ гружения) в расчетных уравнениях должны определяться в усло­ виях примерно той же неоднородности, что и неоднородность в рассматриваемом случае напряженного состояния. Так, если, например, на основании уравнения (V. 17) необходимо определить пре­ дельные значения ар главных напряжений при двухосном растяже­ нии — сжатии (знаки главных напряжений разные), то, приняв в этом уравнении предел усталости т_х при кручении за ар, а пре­ дел выносливости о_1 при изгибе за предел выносливости о _ 1Р при одноосном растяжении — сжатии, после элементарных преобразо­ ваний получим

а„ = f=£nyV2(V2 + Kf,

где К и п — константы материала определяемые так же, как в уравнении (V.17).