книги / Методы электрических измерений

кривая чувствительности уже получена и имеет вид (6.102). Для второго слагаемого в выражении (7.26) получим

где щ = arg (rnin(m)/m), т. е. из всей суммы выделяем ехр (•)

с наибольшим весом. Аналогично

ряда измерений. Второе слагаемое в выражении (7.27) экспонен­ циально мало при п -> оо, и, следовательно, кривая чувствитель­ ности для алгоритма (7.26) асимптотически (при больших п и г|) совпадает с кривой чувствительности выборочного среднего, т. е. этот алгоритм также асимптотически неустойчив. Кривую чувст­ вительности для алгоритма (7.26) при небольших п и ц получить затруднительно, а численное моделирование показывает, что для больших т) величина SCn (rji, ..., т^, ц) ж т), но в диапазоне [— 5сг2, + 5 сг21 алгоритм (7.26) имеет меньшую, по сравнению с алгоритмом выборочного среднего, чувствительность к сбоям. Интересно также выяснить устойчивость алгоритма (7.26) к изме­

нению дисперсии выбросов оЦ и вероятности сбоя е (ведь известно, что е — мало, но все-таки оно изменяется). Для этого при рас­ четах по формуле (7.26) будем пользоваться априорными и по­

среднего квадратического отклонения (СКО) погрешности оценки по алгоритму (7.26) приведены на рис. 7.4, который позволяет сделать вывод о достаточно высокой устойчивости алгоритма к из­ менению вероятностных характеристик помех.

Разработаны и описаны в литературе различные робастные методы обработки результатов многократных наблюдений для помех с неизвестными заранее вероятностными характеристиками. Рассмотрим некоторых из них.

можно рекомендовать модифицированный алгоритм (7.29), в ко­ тором при поступлении очередного наблюдения л* определяется оценка (7.29), затем выявляется наиболее удаленное из {т|(J на­ блюдение от оценки di и отбраковывается, а на освободившееся место записывается новое наблюдение г){+1, и опять повторяется расчет по выражению (7.29).

Линейные комбинации гюрядковых статистик. Как уже от­ мечалось, метод медианы основан на наиболее жесткой отбра­ ковке порядковых статистик. Могут быть и другие робастные оценки, получаемые из упорядоченного ряда наблюдений г|(1) <

< Л (2) <

Наибольшее распространение получили a -усеченное среднее и а-винзорированное среднее [82]. Оценка по a -усеченному сред­ нему получается следующим образом: с обоих концов упорядочен­

а-винзорированного среднего соответствует замене [ап ] крайних

левых наблюдений на порядковую статистику (г)(а*+1)) и [ап] крайних правых наблюдений на величину г|(п-ап) с последующим вычислением среднего полученной модифицированной выборки. В смысле робастных свойств эти оценки одинаковые [82], поэтому целесообразно применять более простую, первую. Заметим, что операция усреднения центральной части упорядоченного ряда уменьшает влияние флнжтуационных помех.

Для оптимизации a -усеченного среднего можно поставить за­

где г = [ап ]. Параметр усечения ос можно выбирать из условия минимизации выборочной дисперсии оценки (7.30), которая имеет вид

Рис. 7.9. Зависимость CKO погрешно* сти оценки от СКО сбоев для модифи­ цированного алгоритма с учетом знака приращения

Таким образом, оценка по (7.26) имеет дисперсию погрешности оценки, в 1,47 раза меньшую, чем медиана. Следовательно, если необходимо полу­ чить высокую точность и имеются сведе­

ния о значениях в, Oj, о|, то лучшим

является алгоритм (7.26).

Пример 7.4. Как уже отмеча­ лось, алгоритм (7.29) (медиана Ход­ жеса—Лемана) превосходит по точно­ сти обычную медиану, но его вычи­

нению аппаратуры и к уменьшению быстродействия. Исследования алго­ ритма (7.29) с помощью моделирования показали, что при практической реа­ лизации можно ограничиться неболь­ шим числом запоминаемых измерений.

Для этого необходимо после получения оценки по выражению (7.29) для заданного числа отсчетов исключить наиболее удаленный от оценки отсчет, заменить его вновь поступившим и эти операции повторять после получения последующих отсчетов. При варьировании числа запоминаемых измерений L, из которых и строится оценка, можно сравнить оценку (7.29) с модифицированной с помощью моделирования на ЭВМ. При L = 3 из п = 10 иногда происходят срывы слеже­ ния, т. е. резко возрастает дисперсия оценки, поскольку алгоритм отбраковывает все новые измерения, если в памяти оказались три сбитых наблюдения. При

L = 5 из л=10 срывов не наблюдается и для различных е, Oj, ъ\ дисперсия оценки

по модифицированному алгоритму в 1,2 раза больше, чем при использовании всех поступающих наблюдений п = 10. Дальнейшее исследование модифицированного алгоритма показало, что точность оценки можно повысить. Для этого необходимо при операции исключения наблюдений запоминать знак разности между исклю­ ченным наблюдением на /-м шаге и оценкой на этом шаге й\, а на следующем шаге исключать наблюдение т)*, дающее с оценкой й\+1 разность этого же знака лишь в том случае, если

— Т|г | > 2 1 й[+1—т ь |,

ПРИ ‘Птг дающим с оценкой й{+1 разность другого знака. Это обеспечивает пооче­ редную отбраковку наблюдений с левого и правого концов вариационного ряда. На рис. 7.7 ... 7.9 представлены графики зависимости СКО погрешности оценки от СКО сбоев сг2 по алгоритму Ходжеса—Лемана (7.29), модифицированному ал­ горитму (L = 5 из п = 10) и модифицированному с учетом знака приращений. Из графиков видно, что модифицированный алгоритм с учетом знака приращений почти не уступает по точности алгоритму (7.29), а для практической реализации он значительно проще. Точность оценки дисперсии этого алгоритма при в = 0,05;

° i — 0,1; о2 — 1

Полученный результат в 1,2 раза меньше, чем при оценке алгоритма (7.26), но при неизвестных вероятностных характеристиках е, а\, of этот алгоритм мо­ жет оказаться и более эффективным, потому что алгоритм (7,26) требует задания (хотя и приблизительно) величин в, of, of.

Анализ робастных методов оценки полезных сигналов на основе многократных измерений позволяет сделать общий вывод о том, что далее робастные методы оценки дают различные результаты в изменяющихся ситуациях. Поэтому целесообразно разрабаты­ вать аппаратуру обработки данных, которая бы обеспечила полу­ чение оценок различных алгоритмов. Наиболее перспективным решением этой задачи является применение процессорных средств в аппаратуре.

Глава восьмая

ПОВЫШЕНИЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ СРЕДСТВ ДИНАМИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

8.1. ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ ВО ВРЕМЕНИ ПОЛЕЗНЫЕ СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ

В седьмой главе предполагалось, что полезный сигнал является постоянным или периодическим, а случайным процессом является только помеха и рассмотренные там методы фильтрации основаны на многократных измерениях, в которых изменяются только реа­ лизации помех. Такое предположение не всегда справедливо, и часто наблюдаемый процесс z (t) представляется в виде аддитивной смеси

* 00 = * (0 + I (О*

где х (t) — полезный случайный сигнал; £ (t) — помеха.

Таким образом, методы фильтрации, основанные на постоян­ стве полезного сигнала, для сигнала z (t) непригодны. Алгоритмы фильтрации для случайных процессов базируются, в основном, на следующих предположениях:

априорные сведения о вероятностных характеристиках полез­ ного сигнала, как правило, более глубокие, чем сведения о поме­ хах;

на полезный сигнал, как правило, наложены условия регуляр­ ности типа гладкости, монотонности и выпуклости, т. е. априори предполагается, что резкое изменение полезного сигнала за корот­ кий промежуток времени между измерениями маловероятно, а помеха предполагается более быстрым процессом.

Изменение во времени полезного сигнала значительно услож­ няет задачу фильтрации. В зависимости от аргумента t алгоритмы оценки полезного сигнала х (t) делятся на две группы:

аналоговая фильтрация (при непрерывном аргументе /)i

фильтрация последовательностей (при дискретном аргументе jt). Для разработки алгоритмов фильтрации g [г (/) ] = £ (2) не­ обходимо учитывать вероятностные характеристики случайных процессов, в то время как при неизменяющихся полезных сигна­ лах х (t) = const достаточно было рассматривать вероятностные характеристики случайных величин (см. гл. 7). В теории случай­ ных процессов [39 ] сигнал описывается случайной функцией вре­ мени 2 (t), мгновенные значения которой в любые моменты вре­ мени являются случайными величинами. Детерминированные сиг­ налы описываются однозначно их функциональными зависимо­ стями от текущего аргумента, а для случайных сигналов описание усложняется. Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения случайного процесса, получаем лишь одну реализацию zk {{), где k — номер реализации. Заметим, что каж­ дая конкретная реализация zh (/) является детерминированной функцией времени. Отдельные реализации отличаются друг от друга, но в соответствии с законом распределения. Случайный процесс выражается через бесконечную совокупность отдельных реализаций zk (t), образующих статистический ансамбль |гг (t)\. Наиболее полной характеристикой полезного сигнала является его многомерная плотность распределения, но в некоторых слу­ чаях достаточно знать лишь некоторые вероятностные характе­ ристики. Например, при оптимизации параметров линейных фильтров достаточно знать статистические характеристики вто­ рого порядка (энергетические спектры, корреляционные функции). Если не ограничиваться классом линейных фильтров, то необ­ ходима дополнительная информация. Полезные сигналы х (t) имеют достаточно полное априорное описание, хотя в измеритель­ ной практике встают и задачи определения оценок g [z (t) ] = к (t) при априорной неопределенности. Относительно помех £ (t) чаще всего априорные сведения неизвестны, и в данной главе будем пользоваться моделью помех по выражению (6.83) или ее модифи­ кациями, а также моделью авторегрессионного процесса. Рас­

смотрим эту модель подробнее.

В некоторых случаях помехи не удается отнести к очень быст­ рым процессам, сами помехи являются коррелированными, при­ чем заранее неизвестны корреляционные свойства помех. Для пре­ одоления этой неопределенности используют адаптивные методы 18, 61], основанные на предварительном обучении. Традицион­ ные методы оценки корреляционной функции требуют затрат времени на обучение, большого числа наблюдений и становятся непригодными, когда помеха бысто меняет свои корреляционные свойства. Можно значительно ускорить процесс определения параметров случайных процессов (будь то полезные сигналы или помехи), если в качестве описания этих сигналов воспользо­ ваться линейной моделью авторегрессии скользящего среднего (АРСС-модель). Эти модели достаточно просты и включают в себя обычно небольшое число параметров, которые необходимо оцени­