книги / Методы электрических измерений

Для отыскания оптимальной импульсной характеристики фильтра-экстраполятора ft0 (i) необходимо решить вариационную

задачу поиска минимума с^. Решается эта задача различными способами [11, 351, и ее решением является интегральное урав­ нение Винера—Хопфа

Это уравнение в неявном виде определяет оптимальную им­ пульсную характеристику линейного фильтра-предсказателя Ви­ нера. Решив уравнение (8.30), можно определить параметры им­ пульсной характеристики оптимального линейного фильтра-пред­ сказателя. Однако в большинстве случаев для конкретных В2 (т) и Acz С®) это уравнение не имеет аналитического решения и при­ ходится ограничиваться приближенными решениями на ЭВМ. Кроме того, уравнение (8.30) справедливо для стационарных входных воздействий, а для общего случая нестационарных входных процессов решение уравнения Винера—Хопфа значи­ тельно усложняется. Трудности, возникающие при решении ин­ тегрального уравнения Винера—Хопфа, привели к тому, что была найдена новая процедура линейной фильтрации на основе решения не интегральных, а дифференциальных уравнений G за­ данными начальными условиями. Этот метод получил название фильтрации Калмана—Бьюси [35]. Предложенная Калманом и Бьюси рекуррентная процедура фильтрации не требует большой емкости памяти (в отличие от фильтра Винера) при практической реализации, и, кроме того, в этой процедуре заложено медленное

Рис. 8.4. Фильтр Калмана—Бьюси с переменными параметрами

Окончательно дифференциальное уравнение фильтра Калмана— Бьюси для нестационарного центрированного процесса имеет вид

Уравнение (8.38) однозначно определяет структуру линейного фильтра с переменными параметрами (рис. 8.4). Уравнение Ви­ нера—Хопфа (8.30) описывает только свойства фильтра, не опре­ деляя его структуры.

Техническая реализация оптимальных линейных фильтров для

Хопфа, описываемого уравнением (8.30), основной трудностью является реализация аналоговой памяти с большой емкостью. Для фильтра Калмана—Бьюси, описываемого уравнением (8.38), основной проблемой является реализация аналоговых перемножителей с переменными параметрами. Все это приводит к тому, что в аналоговой линейной фильтрации используются в основном фильтры Баттерворта 16] и подобные им фильтры на простых RC- цепочках и операционных усилителях, которые и могут успешно конкурировать с оптимальными фильтрами при удачно выбран­ ной частоте среза. Оптимальные линейные фильтры нашли при­

8.3. ЛИНЕЙНАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Большой класс измерительных задач связан о дискретизацией непрерывных входных сигналов; например, ограниченное быстро­ действие аналого-цифрового преобразования приводит к необ­ ходимости дискретизации входного процесса во времени. Таким образом, непрерывные входные сигналы процесса z (t — <t) за­ меняются его дискретами:

г it — я) = х {t — %i) g (t — %t), i = 1, . . . , ft. (8.39)

Как и в предыдущей задаче, требуется на основании наблюде­ ний дискретных отсчетов входного сигнала построить оптималь­ ную оценку будущего значения полезного сигнала Я (1 4 - Q.

Уравнение (8.42) Принимает вид h0Bz (0) = Вх (/э), откуда получаем опти­ мальную оценку

При этом минимально возможная дисперсия погрешности оценки

Пример 8.6. При прежних предположениях определим оптимальные парамет­ ры фильтра-экстраполятора по двум отсчетам: текущему г (t) и прошлому г (t — г). Выражение для оценки принимает вид

откуда.

h- Bx(t*)Bz ( 0 ) - B x (T + t9)B z (x).

°B\ (0) - B\ (T)

Аналогично можно получить оптимальные оценки при любом числе отсчетов. Конечно, учитывать прошлое целесообразно лишь для «гладких» полезных сигна­ лов, поскольку в противном случае веса А* « 0 при i > 0.

Напомним, что оптимальный линейный дискретный фильтр, описываемый уравнением (8.42), имеет ограниченную область применения, так как, во-первых, требуются априорные сведения о корреляционных функциях полезного сигнала и помехи и, во-вторых, эта процедура совершенно не защищена от выбросов, на­ пример, импульсных помех, поскольку отсчеты г (^) входят в оценку. '

Для расширения области применения фильтров-экстраполя- торов необходимо ставить задачу поиска оптимальных процедур среди нелинейных преобразований. Пусть имеется ряд дискрет­ ных наблюдений:

Построим оптимальную экстраполяционную оценку (нелиней­ ную) полезного сигнала Jt (tn + 1), а также некоторый вероят­ ностный «коридор» для этой оценки, с тем чтобы при поступлении наблюдения г (tn ~Ь 1) отбраковывать его, если значение отсчета выходит за рамки «коридора», а экстраполяционную оценку г (tn -г 2) строить только по неотбраковэнным предыдущим на­ блюдениям без учета наблюдения z (£n + 1). Для построения экстраполяционной оценки и «коридора», конечно же, необхо­ димы вероятностные характеристики хотя бы полезных сигна­ лов. Оптимальные (наилучшие) оценки можно строить с исполь­

зованием вероятностных характеристик полезного сигнала и помех. Известно [39], что лучшей для обеспечения минимальной дисперсии погрешности является оценка на основе условного среднего.

В гл. 7 уже рассматривались оптимальные оценки на основе условного среднего. Добавление случайного полезного сигнала, конечно, усложняет задачу, но методика остается прежней.

Пусть х (0 — случайный процесс, заданный конечномерной плотностью ф (t). Требуется синтезировать оптимальную (в от­ ношении минимальной дисперсии погрешности) экстраполяцион­ ную оценку полезного сигнала Jt (0 относительно п наблюдений zh — х (4) + 1ь при 1 •< k <; п. Плотность распределения помех имеет вид смеси

где v (£) — функция, удовлетворяющая свойствам плотности рас­ пределения, в общем случае отличная от нормальной! 6 (|) — дельта-функция.

Из выражения (8.49) следует, что с вероятностью q измерения полезного сигнала производятся без ошибок, а с вероятностью р (р — мало, р + q = 1) измерения содержат сумму сигнала и помехи. Последовательность реализаций помех | (4) и процесса х (4) считаются независимыми, что вполне соответствует прак­ тике. Для придания робастных свойств' экстраполяционной оценке требуется построить вероятностный экстраполяционный «коридор» с целью отбраковки отсчетов с аномальными ошибками. Решение задачи сводится к поиску условной плотности полезного

(с точностью до членов порядка ря, учитывается малость р). Плотность распределения f fa, ..., z,,, х) для системы ве­

личин {Zi, za, ..., Zn, х\ имеет следующий вид:

* (т)+а

Предположим, что можно построить аналогичный интервал для условной плотности Фге/ф, т. е. имеется решение трансцендент­ ного уравнения

откуда следует

Заметим, что для гауссовского распределения полезного сиг­ нала х (т) трансцендентные уравнения (8.54) разрешимы при помощи табулированной функции Лапласа Ф, поскольку в этом случае условная плотность фж/ф нормальна. Кроме того, так как фж/ф симметрична относительно своего среднего £0, то 6* = 62.

Проиллюстрируем примером применение полученных алго­ ритмов экстраполирования и отбраковки по одному наблюдению в предположении гауссовского распределения полезного сигнала

x(t), т. е. f (х) ~ Np (0, of) при известной корреляционной функ­ ции процесса.

Пример 8.7. Построение экстраполяционной оценки по одному с аддитивной помехой наблюдению г (/*) = х ( ) + g (/*). (Индекс номера наблюдения может быть произвольным, поэтому вместо zt будем использовать обозначение г.)

При р = 0 (отсутствие выбросов) из уравнения (8.52) имеем

+ 0 0

х (т, / ) = ^ Хфх dx/Ф =

J—00