книги / Методы электрических измерений

Монте-Карло принимают, что моделируемый случайный процесс обладает теоретически заданными статистическими характери­ стиками. Если же на этом принципе строится электроизмеритель­ ный прибор или преобразователь, то моделируемый физически случайный процесс является статистической мерой и должен быть соответствующим образом аттестован.

Пусть моделируется событие s, имеющее вероятность появле­ ния Р. Обозначим через г величину, значение которой равно 1, если на t-м испытании произошло событие s, и равно 0, если со­ бытия 5 не произошло. Тогда число испытаний, в течение которых событие s произошло, определяется соотношением

где N — общее число независимых испытаний.

Частота появления события s равна n/N и является случайной величиной с математическим ожиданием

Согласно закону больших чисел частота появления события s, равная n/N, примерно равна вероятности Р. Для любых в > 0 и 6 > 0 существует такое число испытаний N, что с вероятно­ стью, большей 1 — 6, частота появления события s будет отли­ чаться от вероятности Р меньше чем на е:

Предельное значение погрешности е оценки величины Р можно найти из выражения (4.29), если взять такую величину Р, при

Для пояснения принципа построения аналого-цифровых пре­ образователей, реализующих метод Монте-Карло, рассмотрим структурную схему АЦП (рис. 4.12), содержащую схему сравне­ ния СС, генератор случайной последовательности ГСП, генератор тактовых импульсов ГТИ, счетчик числа событий Сч и измери­ тельный (цифровой) индикатор ИИ. Устройство работает следую­ щим образом. Измеряемый процесс х (t) сравнивается в дискрет­ ные моменты времени, определяемые тактовым генератором, с элементами дискретной случайной последовательности у (^) (статистической меры); в результате сравнения формируется величина zt по правилу

Счетчик фиксирует число событий с исходом z%= 1 . После про­ ведения N сравнений содержимое счетчика поступает в измери­ тельный индикатор, где умножается на величину LIN (L— диапа­ зон измерений). Если L/N = 2 * или L/N = 10*, k — целое число, то умножение на коэффициент LIN реализуется просто сдвигом запятой в двоичном или десятичном коде. В результате на выходе ИИ получаем в цифровой форме оценку математического ожида­

гаенства воссоздания требуемого равномерного закона распреде­ ления величины у определяется соотношением

распределения, что осуществляется цифровое измерение матема­ тического ожидания случайного процесса х (t) или величины постоянного входного воздействия. Если требуется измерять в цифровой форме средние значения различных функций от ис­ ходного процесса (например, величину второго момента), то ста­ тистическая мера должна иметь распределение вероятностей, отличное от равномерного закона. Найдем требуемый вид плот­ ности распределения w (у) в зависимости от вида требуемой функ­ ции ф (x/L).

С одной стороны, в устройстве реализуется выражение (4.34),

Из сравнения выражений (4.34) и (4.43) видно, что требуется выполнить равенство

X

Ф ixlL) = lw(y)dy, (4.44)

о

откуда следует

Укажем на еще одно приложение метода Монте-Карло в об­ ласти информационно-измерительной техники. Известно, что мож­ но методом статистических испытаний реализовать умножение двух величин. Структурная схема подобного устройства пред­ ставлена на рис. 4.13 и содержит две схемы сравнения перемно-

Рис. 4.13. Структурная схема множительного устройства на основе метода Монте-Карло

жаемых величин хх и х2 с равновероятно распре­ деленными в интервале

± L случайными незави­ симыми величинами ух и

у2, логический элемент эквивалентности («=») и счетчик числа со­ бытий. Вероятность получения события г — 1 определяется сов­ падением событий гх и za (см. рис. 4.13), т. е.

Р [z = 11 = Р [хх > уг\Р [ха > й ! +

+ Р \хх < ух] Р [х2 < у2],

и выражается аналогично (4.34) через совместную плотность рас­ пределения w (хх, х2) в виде

Если периодически не устанавливать счетчик в нулевое состоя­ ние и не делить на N в измерительном индикаторе (не показанном

*на рис. 4.13), то в счетчике будет накапливаться цифровой эк­

вивалент преобразования

i

что может быть использовано для построения цифрового счет­ чика электрической энергии.

Глава пятая

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЧИСЛОВОЙ ФОРМЕ

Введение процессора в состав измерительной цепи и соответ­ ственно числовых измерительных преобразований в измеритель­ ную процедуру радикально меняет функциональные и метроло­ гические возможности средств измерений. Появляется возмож­ ность выполнять сложные косвенные, совокупные и совместные измерения. Изменяются принципы реализации статистических измерений. Расширяются возможности по коррекции погреш­ ностей и применению адаптивных и итеративных измерительных процедур.

К типовым измерительным преобразованиям, реализуемым в числовой форме, относятся следующие: масштабирование, функциональные преобразования (включая усреднение), форми­ рование корректирующих воздействий, обеспечение адаптации и итеративных измерений. Естественно, что при этом меняется структура полной погрешности — появляются составляющие, обусловленные числовыми измерительными преобразованиями, и возникают проблемы метрологического анализа в связи с услож­ нением алгоритмов измерений.

Для процессорных преобразований характерно изменение (уменьшение) удельного веса инструментальных погрешностей, определяемых сбоями в функционировании процессора.

В данной главе приведены некоторые оценки методических погрешностей, сопровождающих наиболее простые числовые изме­ рительные преобразования. Необходимо отметить, что более точные результаты в этих случаях, а также оценки для более слож­ ных алгоритмов могут быть получены на основе имитационного моделирования.

5.1. ВЛИЯНИЕ РАЗМЕРА РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ.

ЕМКОСТИ ПАМЯТИ И БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПРОЦЕССОРНЫХ СРЕДСТВ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Активное участие процессора в реализации измерительного алгоритма приводит к необходимости более строго, с позиций метрологии, подходить к погрешностям вычислений, которые

становятся составной частью общей погрешности результата измерения. Это особенно важно для тех случаев, когда исполь­ зуются сравнительно малоразрядные микропроцессоры. К вы­ числительным средствам, используемым в автономных электро­ измерительных средствах, предъявляются требования минималь­ ных массы и габаритов, что также ограничивает длину разрядной сетки процессоров. С другой стороны, нет необходимости су­ щественно завышать требования к точности вычислений по сравнению с той погрешностью, которую привносят первичные измерительные преобразователи. В отношении рациональности применения процессора следует стремиться к тому, чтобы погреш­ ности вычислений несущественно увеличивали общую погреш­ ность измерений [72 L

5.1.1. Масштабирование в процессорной части измерительных средств. Процессоры всех классов при реализации алгоритма выполняют операции над носителями информации: напряжением, цифровым кодом и т. п. Эти машинные переменные соответствуют математическим величинам решаемой измерительной задачи. Как правило, диапазоны изменения математических и машинных пе­ ременных не совпадают; различаются эти переменные и по физи­ ческим размерностям. Приведение всех математических вели­ чии (исходных, промежуточных и конечных) к диапазону изме­ нения и размерностям машинных переменных с учетом точности решения задачи называют масштабированием [721. В дальней­ шем все машинные переменные будем снабжать значком Д, на­

шинной переменной в машинных единицах (м. е.) при х = Х тах. Основное назначение масштаба — установить количественную

(например, цена машинной единицы кода) или масштабным коэф­ фициентом. Масштаб может иметь как положительный, так и

обеспечить возможно большую точность работы вычислителя. Масштаб и точность вычислений тесно связаны: в общем случае более крупный масштаб переменных обеспечивает и более высо-

кую точность вычислений. Погрешности вычислений зарождаются на уровне машинных переменных, их пересчет в отсчетные еди­ ницы физических или математических величин может быть вы­ полнен с помощью масштабов.

Цифровой процессор выполняет операции над числами, пред­ ставленными в определенной системе счисления, чаще всего — двоичной. Каждое число, представленное набором нулей и еди­ ниц, обычно называют машинным операндом.

Ввиду ограниченности разрядной сетки процессор может оперировать только с числами определенного диапазона, что учитывается при масштабировании.

Масштабирование может осуществляться с постоянным и пе­ ременным масштабами и в режиме с плавающей запятой, при ко­ тором предусматривается нормализация представления чисел. Нормализация связана с дополнительными затратами машин­ ного времени, но это окупается повышенной точностью и просто­ той программирования. Наименьшую точность имеет метод по­ стоянных масштабов, однако затраты машинного времени при

подбором целого k. При этом умножение или деление на тх сво­ дится к сдвигу запятой на k разрядов вправо или влево.

длины информационного слова после выполнения операций умно­ жения, деления, а также алгебраического суммирования с учетом масштабирования переменных; эта же погрешность появляется при применении правых сдвигов к машинным операндам.

Различают простое усечение (отбрасывание) и усечение с округ­ лением (округление). Точность первой операции существенно ниже из-за неравного нулю математического ожидания погреш­ ности, тем не менее отбрасывание заслуживает рассмотрения, так как гораздо проще реализуется.

Существенным различием процедур усечения и квантования по амплитуде является зависимость точности от числа т отсекаемых