книги / Методы электрических измерений

вать по наблюдениям. АРСС-модели могут быть использованы как для изучения исходных наблюдений (восстановление процесса), так и при определении параметров, характеризующих случайные процессы.

Процессом APGG порядка (р, q) называется временной ряд (измерения), удовлетворяющий равенству

ленных случайных величин о нулевым математическим ожиданием

Частными случаями процесса APGG являются:

1) при q — 0 получаем процесс авторегрессии р-го порядка— АР (р):

2) при р = О получаем процесс скользящего среднего (Со­

Выражения (8.1) и (8.2) описывают рекурсивные фильтры, а выражение (8.3) — трансверсальный фильтр [511. Таким образом, процессы APCG (р, q), АР (р) и СС (q) можно рассматривать как отклики соответствующих линейных фильтров на входной про­ цесс типа белого шума.

Основными характеристиками случайных стационарных про­

Определим спектральную плотность процесса АРСС (р, q), записав выражение для передаточной функции рекурсивного фильтра:

Как известно [39], спектральная плотность процесса, получен­ ная в результате прохождения белого шума через линейную систему, равна произведению интенсивности входного шума }е[ на квадрат модуля комплексной частотной характеристики си­ стемы. С учетом выражения (8.4) спектральная плотность APCG (р, ^-процесса

Таким образом, параметры at и bj позволяют не только опи­ сывать сами АРСС-процессы, но и позволяют получать оценки спектральной плотности S (ю) непосредственно по наблюдениям, минуя вычисления статистических характеристик. Благодаря этому свойству применение АРСС-моделей потеснило методы, основанные на быстром преобразовании Фурье, которое исполь­ зуется для оценки S (©) по значениям ковариационной функции.

Рассмотрим теперь автокорреляционные функции (АКФ) процессов АР (р),

где р (т) — значение АКФ при сдвиге на т шагов.

Автокорреляционная функция процесса АР (р) бесконечна и представляет собой затухающую экспоненту или экспоненциально затухающую косинусоиду

2 . Для процесса СС (q) АКФ определяется следующим образом:

Автокорреляционная функция процесса скользящего среднего равна нулю при сдвиге, большем, чем порядок самого процесса. Дисперсия процесса СС (р)

3. Для процесса АРСС общего выражения АКФ при т £ [0, оо] не суще­ ствует. В каждом случае АКФ вычисляется по известным {а*} и {bj} и по формуле

для автоковариационной функции АРСС (р, д):

Рассмотренные модели позволяют с помощью небольшого числа параметров описать обширный класс случайных процессов. На практике часто оказывается, что адекватное описание наблюдаемых временных рядов достигается при помощи

По выражению (8.5) найдем спектральную плотность АР (1)

Для иллюстрации на рис. 8.1 представлены реализации процесса АР (1) при а — 0,8 (а) и а = —0,8 (б), а также соответствующие спектры. Из рисунка видно, что для большого и положительного параметра (а = 0,8) соседние значения после­ довательности близки и наблюдается заметный период колебаний. Это отражается на виде АКФ, которая медленно спадает к нулю, и на виде спектра, в котором пре­

Рис. 8.2 , Автокорреляционные функции и спектры для процесса APCG (1 ,1)

откуда автоковариационная функция равна:

нив, т. в. Lm (S) = exp (5т), где Lm (5) — передаточная функция. При т = О функция 1Ж (5) соответствует фильтрации без запаздывания, при т < 0 — филь­ трации с задержкой (в литературе по оптимальным методам это называют часто

из которых (eg) обусловлена входным шумом, прошедшим через фильтр, а вторая (еж) — искажениями полезного сигнала за счет разности между передаточными функциями линейного фильтра и желаемого преобразования. При некоррелиро­ ванных полезном сигнале и входном шуме дисперсия погрешности фильтрации в установившемся режиме определяется соотношением

где Sx (и) и Sg (ю) — спектральная плотность полезного сигнала и шума. Передаточной функции фильтра Ьф (5) соответствуют амплитудно-частотная

Л (со) и фазо-частотная <р (со) характеристики, а таюке частотно-фазовая характе­ ристика

1ф (/©) = Л (со) е?ф (G>) = А (о) cos ф (©) -|- /Л (©) sin ф (©).

Аналогично от передаточной функции желаемого преобразования можно перейти к частотно-фазовой характеристике

X [Л* (ю) + 1 — 2Л (ю) cos (ют — ф (ю))]} d©.

Как показывает анализ подынтегральной функции, функция <т2^ может

быть минимальной, если будет наибольшим отрицателышй член cos (ют — ф(ю)), откуда следует

ют — ф (ю) = 0; ф (ю) = от.

Это выражение определяет оптимальную фазо-частотную характеристику филь­ тра.

Для определения амплитудно-частотной характеристики Л (ю) запишем вы­ ражение для дисперсии погрешности в виде

в котором с учетом положительности подынтегральной функции F (Л) можно оп­ ределить оптимальную величину Л (ю), которая обеспечивает выполнение равен­ ства

QF (Л)/ЭЛ = 0.

Выполнив дифференцирование, получим

При этом обеспечивается минимальное значение дисперсии погрешности филь­ трации

Заметим, что величина а2^ mIn не зависит от модуля величины т и от ее знака.

Эго происходит по той причине, что при выводе (8.20) не учитывается физическая реализуемость оптимального фильтра и не ограничивается класс функций £ф (S).

Пример 8.4. Спектральная плотность мощности полезного сигнала и помехи соответственно

Из выражения (8.20) определим амплитудно-частотную характеристику оп­ тимального фильтра:

2 о1 а/(а? + ©2)

где ш2 = а 2 + 2а2а/УУ0; Т = Шр1; Ка = 2а2а/(2о2а + NQa2). После преобразований получим

1 — (/соГ)а ’

затем с учетом того, что <р (а) = ат, на основе обратного двустороннего преобразо­ вания Лапласа — передаточную функцию фильтра в виде

L W - 1 1 .% Т! л—St

Этому выражению соответствует весовая функция оптимального фильтра

g (t) = Ко exp

представленная для различных х на рис» 8.3.

Как следует из рис. 8.3, синтезированный на основе соотношений (8.20) оптимальный фильтр является физически нереализуемым, так как отклик на входное воздействие начинается до начала воздействия. В то же время видно, что при т оо весовая функция настолько сдвигается вправо, что условие физиче­ ской реализуемости начинает выполняться. Таким образом, при построении опти­

ности фильтрации, рассчитываемую по формуле (8.2 1).

Оптимальный фильтр с АЧХ, соответствующей выражению (8.20), так же как и идеальный фильтр с АЧХ, соответствующей выражению (8.19), обеспечивает коэффициент передачи, близкий к единице на тех частотах, где сосредоточена ос­ новная доля энергии полезного сигнала: 5Х (со) > Sg (со). На более высоких ча­ стотах, где велика спектральная плотность помехи, коэффициент передачи оп­ тимального фильтра быстро уменьшается.

Линейные фильтры, описываемые выражениями (8.19) и (8.20), физически нереализуемы, однако они используют как оценочные характеристики при расчете реализуемых фильтров (например, фильтра Баттерворта), а выражение (8.21) служит для оценки минимально возможной дисперсии погрешности линейной филь­ трации при некоррелированных сигналах х (/) и | (/).

К сформулированной задаче оптимальной линейной фильтра­ ции оказывается очень близкой по постановке и по методам реше­ ния задача оптимальной экстраполяции (прогнозирования) [35]. Задача оптимальной экстраполяции сводится к поиску такой ли­ нейной процедуры над входным сигналом г (£), которая дает оценку к (t -+- 4), где 4 — время экстраполирования. Близость

оценки £ (t + 4) к истинному значению х (t + 4)> как и в задаче оптимальной фильтрации, определяется дисперсией погрешности экстраполяции.

Фильтрация о экстраполяцией основана на учете всего имею­ щегося прошлого и настоящего входного процесса г (t), т. е. сигнал £ (t + 4) на выходе инерционной линейной системы за­ висит не только от значения входного с аддитивной помехой процесса z (t) в момент времени 4 но и от его значений в преды­ дущие моменты времени. Линейная инерционная система харак­ теризуется тем, что величина £ {t -f 4) получается суперпозицией (сложением) всех значений г (t), каждое из которых умножается на весовую функцию h (4 т), зависящую, вообще говоря, и от момента т>приложения сигнала к входу, и от момента t наблюде­ ния сигнала на выходе фильтра. Процесс £ (t) на выходе линейной системы можно выразить через процесо на входе г (t) о помощью интегрального уравнения [39]:

(8.22)

Таким образом, функция h (4 т) (импульсная переходная функция) полностью характеризует линейный фильтр. С учетом физической осуществимости фильтра [h (4 т) = 0 при t <; ч>, т. е. сигнал на выходе £ (t) в данный момент времени зависит