книги / Методы электрических измерений

Дискретные и цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные (НФ) и рекурсивные (РФ). Если в выражении (5.38) все коэффициенты at — 0, то получим нерекурсивный фильтр, реализующий алгоритм

курсивным. Очевидно, что НФ представляет собой устройство без обратной связи, а РФ — устройство с обратной связью.

Строго говоря, цифровые фильтры представляют собой нелиней­ ные устройства, к которым не применимы методы анализа и син­ теза линейных систем. Однако число разрядов в кодовых словах, циркулирующих в этих фильтрах, как правило, достаточно ве­ лико, чтобы сигналы считать приблизительно дискретными, а фильтры — линейными дискретными. Это позволяет использо­ вать известные методы анализа и синтеза подобных устройств. Вводимые ниже характеристики (передаточная функция и др.) относятся к линейным дискретным фильтрам, точно реализую­ щим алгоритм (5.38), а эффекты квантования величии х (kT), у (kT), аь bt и их произведений будут учтены путем анализа про­ хождения шумов квантования через линейный дискретный фильтр.

Передаточной функцией (или системной функцией) цифровых фильтров называют отношение z-образов выходного Y (z) и вход­

Здесь z-образ получают в результате г-преобразования, т. е. применения преобразования Лапласа к дискретному сигналу, записанному в виде последовательности 6-функций [32]:

ш

Рис. 5.2. Структурная схема цифрового фильтра в кано­ нической форме

5.3.3. Оценка по­ грешности цифрового фильтра. Фильтр может быть описан с помо­ щью линейной модели, представляющей собой совокуп ность линейного

дискретного фильтра и определенного числа ограниченных по абсолютному значению аддитивных воздействий, учитывающих эффекты квантования.

Пример 5.2. Реализуется в прямой форме рекурсивный фильтр с передаточ­ ной функцией Н (г) = (z)/A2 (z). Линейная модель погрешностей цифрового фильтра представлена на рис. 5.3 и содержит три источника погрешностей: е0 —

Рис. 5.3. Линейная модель погрешностей цифрового фильтра в прямой форме

шум округления (квантования) входного АЦП; eyj и еу2 — шум цифрового умно­ жения при реализации нерекурсивной части и рекурсивной соответственно. Как видно из рис. 5.3, шум е0 проходит через фильтр с передаточной функцией Н (г) всего фильтра, а шумы и еу2 — через фильтр, соответствующий только рекур­ сивной части т. е. с передаточной функцией G (z) — 1М 2 (г).

Пример 5.3. Реализуется в канонической форме рекурсивный фильтр с пере­ даточной функцией Н (г) = Аг (г)/Л2 (г). Линейная модель погрешностей цифро-

Рис. 5.4. Линейная модель погрешностей цифрового фильтра в канонической форме

вого фильтра представлена иа рис. 5.4. Как видно из рис. 5.4, шумы е0 и вУ2 проходят через весь фильчр, а шум eVi, соответствующий нерекурсивной части, появляется непосредственно на выходе фильтра.

Введем следующие предположения:

1) входной сигнал х (кТ) нормирован в соответствии с неравен­ ством

max |x(fe7’) j< 1; k>0

2)разрядность входного АЦП после запятой равна пх;

3)разрядности (после запятой) всех умножителей и суммато­

ров равны п\ 4) при усечении после умножения используется округление.

Найдем сначала оценку максимальной погрешности цифрового фильтра. Максимальные погрешности АЦП и умножителей:

где rt — число блоков умножения, подключенных к /-му сумма­ тору.

Составляющая выходной погрешности, обусловленная кван­

тованием в АЦП,

оо

Составляющая выходной погрешности, обусловленная огра­ ниченностью разрядной сетки блоков умножения, подключенных

дующей после t-ro сумматора.

Полная выходная погрешность цифрового фильтра может

—ajZ-1) и реализуется в канонической и в прямой форме. Найти оценку максималь­ ной погрешности при пх = п = 10, а%= 0,99, Ь0 = 0,01.

В данном случае имеем сочетание нерекурсивного фильтра с передаточной функцией #„ (z) — b0 и рекурсивного с передаточной функцией Я р (z) = 1/(1 —

— ajZ-1), чему соответствуют импульсные характеристики h(kT) = bQa\ ng{kT)=

~ aj. В соответствии с соотношением (5.58) и рис. 5.4 имеем следующую оценку предельной погрешности фильтра для канонической формы:

— q (I — a»)-1 + 0,5) = 2-м [0,01 (1 — 0.99)-1 + 0,5] « 0,0015.

Как видно из примера, прямая форма реализации в данном случае может привести к максимальной погрешности, достигающей 10 % диапазона измерений.

Найдем теперь дисперсию выходной погрешности цифрового фильтра в предположении о некоррелированности соседних шу­ мовых элементов всех источников шума.

Дисперсии шума квантования входного сигнала и на выходе блоков умножения:

Дисперсия эквивалентного шума на выходе сумматора фильтра

где Ti — число умножителей, подключенных к f-му сумматору. Дисперсия составляющей выходного шума, обусловленной

квантованием входного сигнала, определяется соотношением

а дисперсия составляющей, обусловленной квантованием на вы­ ходах умножителей, — соотношением

Итоговая дисперсия выходного шума цифрового фильтра оце­ нивается соотношением

Пример 5.5. Рекурсивный фильтр имеет передаточную функцию Н (г) —

— V(1 — Oiz-1). Найти дисперсию выходной погрешности для прямой и канони­ ческой формы.

Используя промежуточные результаты, полученные в примере 5.4, получим для канонической формы реализации

Наконец, третья группа методов, связанная с совершенство­ ванием конструкторско-технологических решений, обеспечиваю­ щих повышение стабильности и соответствия реальных характе­ ристик аппаратуры номинальным, позволяет уменьшить инстру­ ментальные погрешности.

В предыдущих главах преимущественно рассматривались вопросы, относящиеся к первой группе методов. В данной главе рассматриваются методы второй группы. Третья группа методов в настоящей книге не рассматривается.

6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ УМЕНЬШЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

При синтезе метода (алгоритма) измерений и его реализации приходится решать задачу обеспечения заданных метрологиче­ ских характеристик, в частности обеспечения требуемой точности. Погрешность измерительного преобразователя (ИП) состоит из многих составляющих с различными характеристиками. В связи с этим необходимо рассмотреть методы уменьшения составляю­ щих погрешности ИП и взаимосвязь этих методов между собой.

В настоящее время стали очевидными принципиальная огра­ ниченность возможностей совершенствования ИП и взаимная связь отдельных метрологических характеристик между собой [54]. Поэтому для совершенствования ИП необходимо с помощью доступной технологии добиваться наилучших метрологических и технических характеристик при приемлемых экономических показателях, а затем, используя известные способы обмена одних характеристик ИП на другие, конструировать ИП с заданными характеристиками. В этом смысле можно говорить о принципиаль­ ной необходимости иметь избыточность по тем или иным харак­ теристикам ИП для того, чтобы за их счет улучшать другие ха­ рактеристики.

В практике измерений для целей улучшения точностных ха­ рактеристик ИП чаще всего используется запас по чувствитель­ ности, быстродействию и энергообмену с объектом измерения. Однако наличие этого запаса не решает автоматически задачу уменьшения погрешностей. Необходимо практически реализо­ вать эту возможность по отношению к конкретным составляющим погрешности.

Погрешность преобразования можно записать в виде

by(t> 1> Л» х) = /р (*» fli»***» fl7i)—/ном (*« an)i (6*1)

где /г, (♦) и /ном(-) — реальная и номинальная характеристики измерительного преобразования; а* — параметры характеристики преобразования; t — время; £ — влияющие факторы; rj — неинформативные параметры полезного сигнала х.

В наиболее распространенных линейных измерительных преобразованиях обычно выделяют три составляющие погрешности — погрешность нелинейности Ды (х), аддитивную погрешность Да и мультипликативную Дм:

Каждая из частных погрешностей в общем случае должна рассматриваться как случайный процесс с определенными характеристиками, которые и опреде­ ляют эффективность применения различных способов уменьшения погрешностей ИП.

Как уже указывалось, все методы повышения точности измерительных преоб­ разований делятся на три группы: совершенствование алгоритмов (с целью умень­ шения методических погрешностей), конструктивно-технологические методы (для уменьшения инструментальных погрешностей), структурные методы (уменьшают инструментальные погрешности и иногда — методические). Детальная классифи­ кация структурных методов представлена в табл. 6.1.

В основе структурных способов лежит принцип инвариантности (многока­ нальное™) [64]. Под инвариантностью понимают компенсацию возмущений, т. е. достижение полной или частичной независимости результата измерительных преобразований от дестабилизирующего фактора. В таких ИП помимо основного канала преобразования создается второй канал (рис. 6.1). Выходная величина ИП образуется в результате вычитания соответствующих величин основного ОК и вспомогательного ВК каналов.

Для такого ИП можно записать

Уi 00 = Gi 00 X (s) ф Gf Z (s); К; (s) = G{ (s) X (s) + Gf * (s) Z (s), (6.3)

где Уф (s), У] (s) — операторная запись выходных сигналов в основном и вспомо­ гательном каналах; Gt (s), G[ (s) — передаточные функции каналов по информа­ ционному сигналу; Gf (s), Of* (s) — передаточные функции по дестабилизирую­ щему фактору; X (s), Z (s) — операторная запись

входного и дестабилизирующего сигналов. Выходной сигнал такого ИП определяется

соотношением

У (S) - У, (S) - Y[ (S) = Ог (s) X (s) +

+ G* (?) Z (s) - G{ (s) X (s) - Gt * (s) Z (s).

(6.4)

Рис. 6.1. Структурная схема инвариантного к возмущению двухканального измерительного преобразователя

Если добиться равенства передаточных функций по дестабилизирующему сигналу обоих каналов G* (s) = G** (s) и инвертирования полезного сигнала во втором канале, то

K(s) = [Gx(s) + GHs)]*(s),

т. е. получаем ИП с повышенной чувствительностью и полным отсутствием влия­ ния дестабилизирующего фактора. Подобный способ используется, например, в дифференциальных преобразователях, в частности во входных каскадах опера­ ционных усилителей.

Весьма широко для уменьшения погрешностей ИП применяются способы стабилизации, компенсации и коррекции погрешности. Ниже рассмотрены основ­ ные характеристики указанных способов.

6.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Основным способом стабилизации реальной характеристики измерительного преобразования, широко применяемым в практике

прямой и обратной связи. Этот способ является универсальным в том смысле, что с помощью отрицательной обратной связи умень­ шается суммарный эффект от действия разнообразных дестаби­ лизирующих факторов. Однако с помощью только лишь обратной связи невозможно решить задачу повышения точности во всех случаях.

В статическом режиме работы преобразователя с обратной связью предельное значение Ауй аддитивной погрешности, при­ веденное к выходному сигналу, можно определить из соотношения

на выходе прямой и обратной цепей; К и х — передаточные коэф­ фициенты преобразователей ПП и ОП. Из выражения (6.5) видно, что если аддитивная погрешность приложена к выходу преобра­ зователя ПП, то при К% -*• °° она полностью устраняется. Если же аддитивная погрешность действует на входе Л Я , то она не устраняется введением обратной связи. В этом случае относи­ тельная аддитивная погрешность преобразователя с обратной связью будет

Предельное значение относительной мультипликативной по­ грешности преобразователя с отрица­ тельной обратной связью можно найти из соотношения

Ayly = kcAKIK + ( l - h ) Дх/х, (6.7)

Рис. 6.2. Структурная схема измерительного пре­ образования с отрицательной обратной связью