книги / Методы электрических измерений

туры производится только на время, равное интервалу измерений. Для одноканального измерительного устройства t > Aat и

Аднн'С ACTs/.

Динамические погрешности при измерениях с усреднением появляются не только вследствие рассмотренных выше причин, но и в связи с отличием усреднения от идеального, когда

Sr • — уср1 '{

Гуср

Таким образом, если исходить из уравнения измерений

Отличие усреднения от идеального может иметь место при его выполнении в аналоговой форме, так как при усреднении в число­ вой форме нет препятствий для реализации идеального усреднения.

В заключение приведем еще один способ классификации по­ грешности, позволяющий оценивать зависимость погрешности от значения измеряемой величины при линейной характеристике измерительного преобразования.

При этом полная погрешность представляется в виде суммы:

от Xj, называется аддитивной погрешностью; kxj — составляющая, значение которой в пределах динамического диапазона измерений прямо пропорционально xj, называется мультипликативной по­ грешностью.

Разделение погрешности на аддитивную и мультипликативную составляющие удобно при выборе методов коррекции (уменьше­ ния) погрешностей в тех случаях, когда допустимо предположе­ ние о линейном характере выполняемых при измерениях преоб­ разований.

Примером аддитивной погрешности может служить так назы­ ваемый дрейф нуля, обусловленный нестабильностью питания или иными причинами. Мультипликативная погрешность может быть порождена отличием значения коэффициента нормализации от номинального значения.

2.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Результат измерения вследствие объективных причин — всегда случайная величина. Это означает, что погрешность кон­ кретного результата измерения может быть определена только с помощью специального метрологического эксперимента. Оче­ видно, что на практике определение погрешности каждого отдель­ ного результата измерения не производится. Однако проводя измерения, необходимо быть уверенным, что они удовлетворяют предъявленным требованиям по точности полученных результа­ тов. Такие требования формируются в виде допустимых значе­ ний вероятностных характеристик погрешностей, определяемых на ансамбле результатов измерения, т. е. на бесчисленном мно­ жестве результатов измерений, проводимых в установленных условиях.

Наиболее употребляемыми характеристиками погрешностей являются: математическое ожидание (систематическая погреш­ ность), корень квадратный из дисперсии (средняя квадратическая погрешность), доверительный интервал и доверительная вероят­ ность.

(т — число измерительных экспериментов) — систематическая по­ грешность, определение которой не только дает информацию о по­ стоянной составляющей погрешности, но и создает предпосылки для ее устранения (коррекции).

Так, например, при рассмотрении в предыдущем параграфе систематической погрешности квантования было показано, что

^4 [Акф/] = Дк<сФ/ = Дкф/2.

При

ф7 - [ ц 1ч . - я [ ц % ^ - ]

распределение плотности вероятности погрешности квантования имеет вид

I

при а кф ? € [ —

АиФ

& (Акф/*) =

При этом

М [Дкф*] = Дк. сф/ = О,

т. е. сдвиг квантуемого значения на половину кванта устраняет систематическую погрешность квантования.

При представлении погрешности полной группой компонент, т. е. для

П

Это —•характеристика случайной погрешности. Ее определение позволяет составить представление об интенсивности случайной погрешности, поскольку дисперсия характеризует мощность флюктуаций случайной величины, и соотнести полученную инфор­ мацию с предъявляемыми требованиями. Устанавливая связь средней квадратической погрешности с параметрами блоков изме­ рительной цепи, можно определить необходимые для удовлетво­ рения предъявляемым требованиям -значения этих параметров.

Если, например, выставлено требование допустимого значе­ ния средней квадратической погрешности квантования, то исходя из равномерного распределения плотности вероятности случай­

ной погрешности квантования в интервале £—

получаем

+ Л кФ/2

ИЛИ

сгАк = Дкф/(2Y J ) .

Следовательно, для удовлетворения требования сгд < а необ-

ходимо, чтобы выполнялось неравенство Дн<р •< 2 У За, что и определяет в данном примере допустимую область значений интервала квантования.

При представлении погрешности полной группой компонент [см. уравнение (2.43)]

— корреляционная функция, характеризующая степень линей ной связи i* и s-й компонент полной погрешности. Если корре­ ляционная связь между компонентами, отсутствует, то

Поскольку разложение полной погрешности на компоненты может быть выполнено различными способами, выбор рациональ­ ного способа разложения целесообразно связать с обеспечением некоррелированности компонент.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим аналого-цифровое преобразование аналогового сигнала, когда

*/ = [ # 1?;]дк*.

Методическая погрешность результата измерений может быть представлена следующим образом

Дм*? = [^1?./]лк* ~ [* Ы о = А"*/ + Д“*?-

Разложение полной методической погрешности на две компо­ ненты можно выполнить двумя способами:

1. А|*дг/ =

Дкх[ = [ЯМ д,,* — [7?ivJa-

2. ДГ*? = [Riyjh —

Д“х? = [/?1Т;]дкдг—

Оба способа корректны и позволяют по известным характер*!- стикам выполняемых преобразовании установить свойства ком понент и самой полной погрешности. Таким образом, выбор спо* соба разложения диктуется удобством использования исходной информации для определения характеристик погрешности.

Представим результат аналогового преобразования в виде

и положим, что распределение плотности вероятности т (ДЛяЛ известно.

Тогда, для первого способа при равномерном квантовании имеем

= [ ^ I7J ] AKX + AjX/ i

при nmla < п < nmax и z = AR^j + Акх] (пМа и птах определяются соотношением между значениями ARtyj и А1(х). Вероят­ ности минимальной и максимальной погрешностей:

Заметим, что при рассматриваемом способе разложения Д“д;/ соответствует методической погрешности квантования результата гипотетического аналогового преобразования R[yj. Системати­ ческие и средние квадратические погрешности при этом будут:

птах

DШхП= S piО&кх - м[дW1)2;

i==nmin

м [ДW 1 = 0;

D [ДЗД = - ф ;

м[дк*л =м[д?.гЛ;

D [Д„*Л = D [Д?*,‘] + D [ДЗД + Щ и . . .

Д1ДК

1 Подробно этот способ разложения и свойства А**? рассмотрены в работе

[84].

Следовательно,

D [ДМ*П = D [ДЭД + D [Аыкх]].

Очевидно, что второй способ разложения полной методической погрешности на две компоненты более рационален, так как упро­ щает определение средней квадратической погрешности.

В приложении приведен пример с учетом всех составляю­ щих характеристик погрешностей.

Наконец, о доверительном интервале и доверительной вероят­ ности. Доверительный интервал [Аах], Авх/ ] с установленной верхней и нижней границами представляет собой область, попада­ ние в которую значения погрешности характеризуется известной (доверительной) вероятностью рд. Очевидно, что

V/

т.е. рд определяет вероятность того, что

ABXj Axj ДцХ] .

Основным источником информации о погрешностях и характе­ ристиках погрешностей результатов измерения является метро­ логический эксперимент. Предположим, что с помощью N мет­ рологических экспериментов, заключающихся в сопоставлении результатов измерения с действительными значениями измеряе­ мой величины, сформирован массив значений погрешностей {Д*/}/=Г“N' Из математической статистики известно, что несме­ щенные оценки введенных характеристик погрешностей полу­ чаются с помощью соотношений

Возникает проблема определения достоверности полученных оценок при фиксированном N и требуемого объема выборки (N) при установленной степени достоверности оценки характеристики dA (dA : = Д0 \/ Од V Рд)- ^ качестве меры достоверности оценки

характеристик погрешности результатов измерения обычно ис­ пользуются доверительная вероятность и доверительный интер­

определение доверительного интервала оценки при установленных рд № ) и N в общем случае усложняется. Однако для гауссов­ ского распределения Ах] при малых N для оценок справедливо распределение Стьюдента, что позволяет корректно решать за­ дачу определения рд (Ах]) и при ограниченных объемах выборки.

метр нормального распределения), соответствующий фиксиро­ ванному значению вероятности р.

cFtf* (N) < Мд//.

При этом t находится из тех же таблиц для распределения Стьюдента или гауссовского, распределения по известному значе­ нию рд (г/д), а из неравенства устанавливается допустимое значе­ ние Od* и затем требуемый объем выборки N.

Для решения указанных задач должна быть известна зависи­ мость о*. (N).

Рассмотрим в качестве примера случай, когда Ах] имеет гауссовское распределение с математическим ожиданием Дс и

получаем

I/* « 0 ,7 ,

До

что соответствует

рд(Ас) 0,5.

Если для этого же доверительного интервала требуется обес­ печить рд (Ас) = 0,9, что соответствует t = 1,645, то из

объеме выборки и, соответственно, рост необходимого объема вы­ борки для обеспечения требуемой доверительной вероятности при оценке аА по сравнению с оценкой Дс объясняется большим значе­

Рис. 2.4. Зависимость дисперсии оцен­ ки доверительной вероятности на объ­ ем выборки от рд

имеем

ард* =

t « 0,7 [Рд/(1 - Pn)]W

Особенность данного случая в том, что доверительная вероят­ ность рл (р^) зависит от рд — значения оцениваемой величины.

Поскольку максимальное значение дисперсии ар, соответствует

рд = 0,5 (см. рис. 2.4), то при этом же значении рд имеет место

Если для этого же доверительного интервала требуется обеспе­ чить рд (рд) — 0,9, что соответствует t — 1,645, то из соотно­ шения

получаем N а ? 270.

При рд > 0,5 объем выборки, необходимый для достижения той же достоверности, уменьшается.

2.3. МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результаты измерения формируются с помощью средств изме­ рений. Для описания метрологических свойств средств измерений применяются так называемые метрологические характеристики, к которым относятся характеристики, оказывающие влияние на результаты измерения и их погрешности. То, что средства изме­ рений, неидеально реализуя некоторый принятый метод (алгоритм) измерений, вносят инструментальные погрешности, обусловли­ вает ориентацию метрологических характеристик на описание таких свойств, которые влияют именно на эти компоненты полной погрешности. Однако при расчете характеристик погрешностей по известным метрологическим характеристикам средства измерений всегда учитываются особенности реализуемого метода. Так, всегда необходимо учитывать: способ включения средства измерений — параллельно или последовательно с источником входного воз­

входного воздействия (нормализация, усреднение и т. п.) и др.