книги / Методы электрических измерений

Положим, что о | = а\ > о2 — о2, однако можно прийти к искомому ре­

зультату и без этого предположения, задаваясь конкретными плотностями распре­ деления помех, т. е. видом v (£). В этом предположении первый член в числителе выражения (8.57) равен нулю; кроме того,

j<P(z-£)v(£)d£*v(z),

следовательно,

у (г) k (т) г

Заметим, что при непрерывной экстраполяционной оценке процесса х (0 по его измерениям с аддитивной помехой при поступлении нового измерения z&=

— *h + изменяется индекс i в формуле (8.58).

Алгоритм (8.58) является нелинейным по отношению к наблюдениям и имеет явно выраженный пороговый эффект, при Zj > Зох экстраполяционная оценка &(т) стремится к своему математическому ожиданию. Благодаря этому осуществ­ ляется отбраковка помех, величина которых больше Зст^.

Доверительный интервал для оценки (8.58) при о| > о® имеет следующий

вид:

Построенный доверительный «коридор» позволяет отфильтро­ вывать помехи, величина которых меньше За^ Из табл. 8.1 видно, что по формуле (8.59) можно строить узкий «коридор» для оценки (8.58), причем ширина этого «коридора» увеличивается с ростом времени экстраполирования т и, кроме того, зависит от значения поступившего наблюдения. Для наблюдений на уровне (2...3) <*! этот «коридор» строится очень узким н начиная с некоторых т сужается практически до нуля. Максимальная погрешность экстра­ полирования при такой обработке будет ограничена величиной «коридора».

Полученный выше алгоритм позволяет строить экстраполя­ ционную оценку по выборке с аддитивной помехой на основе выражения (8.58) и для придания робастных свойств этому алго­ ритму осуществлять коррекцию сбоев с помощью простейшего нелинейного преобразования

Заметим, что вероятностный «коридор» согласно уравнениям (8.55) и (8.56) кроме придания робастных свойств оптимальному алгоритму (8.52) еще гарантирует значение максимальной погреш­ ности оценки, которая ограничена величиной «коридора». Опти­ мальный алгоритм экстраполяционной оценки (8.52) обладает высокой эффективностью благодаря учету вероятностных свойств полезного сигнала и хорошей помехоустойчивостью алгоритма за счет учета основного предполагаемого распределения помех и отбраковки аномальных выбросов, но для реализации оптималь­ ного алгоритма требуется много вычислений даже при учете не­ большого числа измерений, поэтому эти алгоритмы можно реко­ мендовать только для случаев, где действительно нужна высокая эффективность и помехоустойчивость.

8.4. РОБАСТНАЯ ОЦЕНКА ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПОЛЕЗНЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотренные в § 8.2 и.8.3 оптимальные алгоритмы обладают высокой эффективностью, но она заметно падает, когда статисти­ ческие свойства реальных сигналов отличаются от тех, на которые настроены алгоритмы. Придание сложным оптимальным про­ цедурам робастных или адаптивных свойств ведет к еще большему усложнению. Поэтому наряду с оптимальными процедурами необ­ ходимо развивать и простые алгоритмы оценки, обладающие

Таким образом, оценка является взвешенной суммой всех наблюдений, причем веса падают экспоненциально в зависимости от времени. Например, при a = 0,3 новое наблюдение имеет вес 0,3, а веса предшествующих данных составят соответственно 0,21; 0,147; 0,103 и т. д. При использовании экспоненциального сгла­ живания (8.69) самым сложным является выбор постоянной сглаживания а.

0,3; кроме того, разработаны методы адаптивного выбора коэф­ фициента а с учетом текущей ситуации [111. Ясно, что при малых a (a < 0,2) алгоритм обладает хорошими фильтрующими свой­ ствами, но снижается адаптация к изменениям полезного сигнала, что также может привести к значительным погрешностям оценки; с другой стороны, выбор больших a (a = 0,8...0,9) резко сни­ жает помехоустойчивость процедуры сглаживания. Проблему выбора коэффициента а можно решить введением робастных свойств в алгоритм экспоненциального сглаживания. Робастное

Таким образом, при неполных априорных сведениях целесооб­ разно использовать робастные процедуры оценки полезных сиг­ налов.

8.5. РОБАСТНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССОВ

Как уже отмечалось в § 8.1, не всегда стоит задача оценки полезного сигнала или его восстановления по дискретным наблю­ дениям с аддитивной помехой. Часто нам достаточно оценить лишь некоторые параметры полезного сигнала или помехи. Определению подлежит математическое ожидание, дисперсия, автокорреляцион­ ная функция (АКФ), спектральная плотность S (со) и некоторые

другие параметры. Измерению параметров случайных процессов посвящено много работ, например [8, 39, 51]. Здесь же остано­ вимся только на вопросах придания робастных свойств методам оценки параметров, поскольку все классические методы основаны на преобразованиях (часто линейных) исходных наблюдений, в которые могут войти и выбросы, резко искажающие результаты.

Рассмотрим различные методы оценки параметров процессов, которые могут быть описаны моделью АРСС (модель авторегрессии скользящего среднего), описанной в § 8.1.

Начнем с оценки по конечному числу наблюдений параметров чисто авторе­ грессионной модели (АР). Самым простым методом является метод автокорреля­ ций, который состоит в определении параметров с помощью выборочных значений автокорреляционных функций.

На основании выражения (8.6) для АР (р) процесса можно записать систему

k=i

где п — объем выборки.

Тогда,-заменяя в системе (8.71) значения АКФ р (т) их выборочными значе­ ниями (т), получаем систему уравнений относительно р неизвестных aXl ..., dp:

Решая эту систему, получим оценки й*,.... йр параметров АР (р)-модели. Уравнения (8.73) называют уравнениями Юла—Уокера, а параметры 41(..., йр - оценками Юла—Уокера [51].

Пример 8.8. Для процесса АР (1) метод автокорреляций дает очень простой алгоритм. С учетом выражения (8.13) из (8.72) получим

где k — 1, .... n.

Недостатком метода автокорреляций является необходимость вычисления вы­ борочных автокорреляций и низкая точность при небольших выборках (п = 50 ...

... 70).

Среди других методов оценки параметров линейной модели АРСС наиболее интересными являются методы, позволяющие получать оценки рекуррентным образом. При небольшом объеме измерений предпочтение отдают рекуррентному

методу наименьших квадратов (МНК). В работе [51] указывается на то, что если необходимо определять параметры модели для априорной неопределенности, то самым надежным является алгоритм МНК в рекуррентной форме; кроме того, от аномальных выбросов его молено защитить приданием робастных свойств.

Рассмотрим рекуррентные алгоритмы МНК и его робастные аналоги, начи­ ная с простой модели АР (р).

Авторегрессионный процесс АР (р), описанный уравнением (8.2), можно

k=i

Общая рекуррентная формула для вычисления Ад по МНК имеет вид [51]:

Р„= р1-, - П -А [' + Ф ь -Ъ У ' zfP*.,.

Заметим, что выражение в квадратных скобках является скалярным, поэтому обращать матрицы не нужно. Алгоритм (8.77) мало чувствителен к выбору началь­

ных условий, в качестве которых можно принять А0 = 0; Р0 = al; Ъх = (ха,

x_i, ..., х_р+1)т, где а — большое положительное число; 1 — единичная матрица, размерности р.

Алгоритм (8.77) обладает следующими свойствами:

если (ед) — последовательность независимых, одинаково распределенных

случайных величин, то оценка А является асимптотически несмещенной и состоя­ тельной;

если {вд} — гауссовская последовательность, то оценка А является оценкой максимального правдоподобия и асимптотически эффективна;

оценка А является асимптотически нормальной со средним А и дисперсией

°SV

Пример 8.9. Рассмотрим оценку А для процесса АР (1). В этом случае все векторы и матрицы в выражениях (8.77) вырождаются в скаляры. Пусть началь­ ные условия

Следовательно, при а оо оценка параметра &i, вычисленная методом МНК, совпадает с оценкой (8.74), полученной методом автокорреляций.

Преимущества метода МНК появляются, когда вектор оцениваемых параме­ тров состоит из более одного параметра.

Рекуррентный метод МНК используется и для оценки параметров АРССмодели, описание которой имеет вид, аналогичный (8.75):

По аналогии с выражением (8.77) алгоритм рекуррентного МНК оценки па­ раметров АРСС-модели имеет вид:

% = \-, + Ч ч - с 1 ,% Ъ

р« = [1 - - к5 П р,.,1

По этим выражениям сначала вычисляется новая оценка параметров Cft,

азатем определяется оценка текущего значения процесса ё&.

Вкачестве начальных значений берутся

Сд = 0j Р0 =5 а*1;

Zl — (XQ, ... I Xp+h XQ, . . . , X—g+l)

Алгоритмы (8.75) и (8.81) резко теряют свои достоинства, когда среди измере­ ний могут оказаться аномальные выбросы, поскольку вектор Zft формируется не­ посредственно из наблюдений:

Если Xft содержит выброс, то велика невязка:

В гл. 7 уже отмечалось, что устойчивыми к выбросам получаются алгоритмы при минимизации функционала

П

k=i

где p (•) — функция минимального контраста, введенная Хубером [82]. Диф­ ференцирование функционала (8.83) по А и приравнивание полученной суммы нулю дает новую систему уравнений:

П

fe=l

где ф (•) = р' (•) — производная от функции минимального контраста. Алгорит­

мы А, полученные из условия (8.84), не имеют эффективной помехоустойчивости, так как, несмотря .на то, что невязка е]t ограничена, элементы вектора Z/, могут содержать аномальные значения. Поэтому для придания робастных свойств ал­

горитмам А необходимо использовать подход, предложенный в работе [51],

fc=l

Вычисление функции ф (•) аналогично преобразованию значения параметров процесса xh в значение х\, такое, что

при условии, что вектор Z& к этому моменту был сформирован из наблюдений, не содержащих аномальных (выбросов.

Таким образом,

где с — пороговое зиачепие в функцииф (•) Хубера; ае — устойчивая (например, медианная) оценка среднего квадратического отклонения процесса (еь).

Если после каждого выброса (резкого возрастания ед) циклически произво­ дить замену хь «а xjl, то вектор 2k по истечении Р периодов будет состоять только

из скорректированных в соответствии с выражением (8.87) значений. Такая опе­ рация циклической замены аналогична использованию весовой функции W (Z), ограничивающей вектор Z&. Следовательно, систему уравнений (8.85) можно пе­ реписать так:

k^l

где

= {xk—1> Xk—2< *• •»Xk—p}-

Аналогично выражению (8.81) запишем окончательно алгоритм робастной рекуррентной оценки параметров АРСС-модели:

c» = cM + K n ih -c[_ ,z;];

Начальные условия те же, что и для выражения (8.81). Алгоритм (8.89) от­ личается от алгоритма (8.81) тем, что при формировании нового значения оценки

А^ используются не сами значения невязки eft, а их преобразованные значения ё* = ф [ел ] и вектор значений Zft формируется не по прямым наблюдениям х:и а по преобразованным х%.

Общий вывод сводится к рекомендации применения робастных алгоритмов для оценки полезных сигналов и их характеристик. Робастные оценки, конечно, уступают оптимальным оценкам, рассмотренным в § 8.2, но при априорной неопределенности отно­ сительно вероятностных характеристик полезных сигналов и помех или изменения этих характеристик применение робастных алгоритмов предпочтительнее.

Часть четвертая

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Глава девятая

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИК

9.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Задача аналитических методов определения инструментальной погрешности средства измерений (СИ) состоит в определении основных составляющих общей погрешности средства измерений: основной, дополнительной, динамической и погрешности взаимо­ действия. Причем эти составляющие общей погрешности СИ, в свою очередь, состоят из нескольких составляющих погрешно­ стей, появление которых обусловлено преобразованиями, осуще­ ствляемыми в СИ, свойствами входного сигнала, изменением окружающей среды и неинформативных параметров измеритель­ ного сигнала. Например, в число динамических погрешностей включаются погрешности от неидеалыюсти метрологических ха­ рактеристик СИ, погрешности из-за действия помех, погрешности при дискретных и цифровых представлениях сигналов.

Расчетные методы определения инструментальных составля­ ющих погрешности основаны на постулатах теории измерений 167], которые при анализе средства измерений позволяют пред­ полагать наличие некоторого идеализированного СИ, которое при адекватности свойств модели и объекта не имеет погрешностей измерения.

Методы оценки методической погрешности измерения целесо­ образно рассматривать при анализе конкретных методов измере­ ний физических величин.

Однако здесь уместно заметить, что выделение инструменталь­ ной составляющей погрешности из общей погрешности измерения вряд ли возможно, поскольку из уравнения измерений видно, что эта задача не имеет однозначного решения, поскольку результат измерения принципиально дискретная величина.

Как известно 156], определяемые метрологические характе­ ристики могут быть предртавлены в виде абсолютного, относи­ тельного или приведенного значений и приведены к входу или выходу СИ. В настоящем пособии принято выражать их в абсо­ лютных значениях, приведенных к выходным сигналам СИ. При необходимости их можно привести к входным сигналам СИ при известной номинальной статической характеристике преобра­ зования.