книги / Основы прикладной геомеханики в строительстве

Полагая, что линии фильтрационного потока параллельны оси х, получцм iy= 0, ix—sin а. Интересно отметить, что при наклоне поверхности полуплоскости к горизонту под углом а =30° /*=0,5, а интенсивность объемной фильтрационной силы будет равна 0,5ую, что составляет 100% от интенсивности объемной силы тяжести взвешенного в воде скелета.

В частном случае при отсутствии наклона поверхности (полу­ плоскости) к горизонту, а также сил сейсмики и фильтрации урав­ нения (3.19) принимают обычный вид:

(3.19в)

Отметим, что рассмотренное выше решение задачи по опреде­ лению исходного геостатического поля напряжений в массиве гор­ ных пород следует рассматривать лишь как первое приближение. В условиях естественного залегания в нетронутом массиве поле напряжений имеет более сложный характер, так как на геостатическое напряженное состояние может накладываться геодинамическое поле напряжений. Однако при решении задач в рамках плос­ кой задачи теории упругости учет исходного напряженного состоя­ ния, вызванного геостатическими и геодинамическими факторами, не представляет принципиальных трудностей — и в первом и во втором случае это приводит к новым дополнительным граничным условиям, что легко удовлетворяется.

З а д а ч а о клине . Решение задач о напряженно-деформиро­ ванном состоянии в клиновидной области с учетом сил тяжести и граничных нагрузок рассмотрено в работах А. Лява (1935),

Б. Г. Галеркина (1952).

Расположим начало координат на вершине клина с углом рас­ крытия 26 и направим ось у вдоль оси симметрии вверх (рис. 3.8, а) . Пусть на поверхности клина действуют нормальные q и ка­ сательные т напряжения, изменяющиеся линейно от вершины. В этом случае функция напряжений может быть принята в виде

при х = у tg6

ох cos 8-\-Х ху sin 8= q 2 у cos 8 — х2у sin 8;

хху cos 8 sin b = ~ - q 2 y sin 8—x2y cos 8.

Полагая, что на клин действуют также объемные силы тяжести параллельно оси у , получим компоненты напряжений на основании формул (3.15а) и (3.19):

Таким образом, задача о напряженном состоянии в клиновид­ ной области под действием силы тяжести и касательных нагрузок полностью решена. Результаты этого решения могут быть использо­ ваны для первоначальной оценки напряженного состояния масси­

для параболы вращения (рис. 3.9, б)

Аналогичным образом получено решение Д. М. Ахпателовым и И. М. Юдиной (1978) для полупространства с полусферической вы­ емкой радиусом R на поверхности:

/D

- vr sin 0 1

где 0 — угол между радиусом г и плоскостью 2 = 0.

З а д а ч и с л о ж н ы х р е л ь е ф о в . Решение задач в этом-слу­ чае может быть получено методом комплексных потенциалов, раз­ работанным Г. В. Колосовым и значительно развитым Н. И. Мусхелишвили (1935, 1966). Оказывается, что функцию напряжений <р(х, У)> удовлетворяющую бигармоническому уравнению (3.15), можно представить в виде комбинации из двух функций комплекс­ ной переменной ФДг) и <pi(2 ), называемых комплексными потен­ циалами. При этом компоненты напряжений определяются из со­ отношений

Компоненты напряжений в криволинейных координатах £, rj на плоскости связаны с соответствующими напряжениями в декарто­ вых координатах х, у\

©'(£).

Если ввести обозначения <р(£) =<pi[<o(£)]; ЧЧ£) = 4 fi[o>(£)];

Ф а ) = Ф 1[а>(С)]-ф'(С) :со/ (а ;Ч гШ = № а ) ] = х1г,а ) :<**>'(£), то со­ отношения (3.23) и (3.23а) дают:

«5+ о л = 2 [Ф (С)+ ф (С)]= 4 Re Ф (0;

(3.24)

•ЧО Сложив две строки этой системы, получим

*Re означает действительную часть комплексного потенциала.

**Здесь и далее черта над величинами означает знак с о п р я ж е н и я .

Это дает возможность при известных значениях граничных на­ грузок N и Т определить граничные значения для дополнительных

Это уравнение определяет граничное условие для полубесконечной области с криволинейной границей без учета объемных сил.

Изложенный выше метод комплексных потенциалов Н. И. Мусхелишвили (1966) является эффективным в тех случаях, когда уда­ ется осуществить конформное отображение рассматриваемой об­ ласти на нижнюю полуплоскость рациональными функциями. По­ этому важнейшим этапом решения задачи этим методом является построение отображающей функции. К сожалению, в настоящее время не разработаны эффективные методы построения рациональ­ ных функций для конформного отображения. Их находят путем ло­ гической комбинации из простейших функций.

Разработанная нами (Н. А. Цытович, 3. Г. Тер-Мартиросян и др.> 1977) обобщенная рациональная функция, позволяющая осущест­ вить конформное отображение симметричных и несимметричных полубесконечных областей с криволинейными границами, имеет вид

тельную и мнимую части уравнения (3.26), полагая g= f и т)=0, получим параметрические уравнения:

На рис. 3.11 и 3.12 показаны симметричные и несимметричные относительно оси у полубесконечные области с криволинейной

.границей, которые описываются уравнением (3.26а) при различных значениях параметров. Эти уравнения могут описать контуры гор­ дых массивов, часто встречающихся в прикладной геомеханике,

.включая дамбы, котлованы, каньоны, склоны и т. п.

•Рис. 3.11. Симметричные границы полубесконечных областей, описываемые функ­ цией (3.26а) при а=Ь— 0 и различных значениях Л, В и С в относительных ко­ ординатах:

ством и при участии авторов настоящей книги. В качестве частного решения при этом были приняты напряжения, определяемые урав­ нениями (3.19). Из-за громоздкости мы здесь не приводим выра­ жения для комплексных потенциалов. Приведем лишь некоторые результаты вычислений на ЭВМ, полученные на основе этих реше­ ний; на наш взгляд, они представляют интерес для прикладной геомеханики. Результаты решения даны в относительных координа­ тах х}Н и у/Н, а напряжения — в относительных величинах.

В л и я н и е к р и в о л и н е й н о с т и р е л ь е ф а , к о э ф ф и ц и ­ е н т а б о к о в о г о д а в л е н и я и и н е р ц и о н н о й г о р и з о н ­ т а л ь н о й с и л ы (рис. 3.13—3.18). Очевидно, что характер напря­