книги / Основы прикладной геомеханики в строительстве

ГЛАВА 2

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ПРИКЛАДНОЙ ГЕОМЕХАНИКИ

Как указывалось во введении, теоретическими основами прик­ ладной геомеханики являются уравнения механики сплошных сред,

включающие геометрические соотношения и условие неразрывно­ сти, а также физические особенности, характеризующие напряжен­ но-деформированное состояние.

Последние уравнения являются определяющими, им в приклад­ ной геомеханике следует уделить особое внимание, так как в этих уравнениях могут быть отражены особенности поведения различ­ ного рода горных пород под воздействием напряжений, темпера­ туры и т. п.

Уравнения механики сплошных сред без учета этих особенно­ стей недостаточны для прогнозирования геомеханических про­ цессов.

Так, например, при исследовании рыхлых горных пород земной коры (грунтов) в физических уравнениях состояния следует учи­ тывать: объемную сжимаемость, поровую водопроницаемость, кон­ тактное сопротивление сдвигу, структурно-фазовую деформируе­ мость, изменение соотношений фаз в единице объема и т. д. Это приводит к учету ряда фундаментальных положений, определяю­ щих поведение рыхлых горных пород под нагрузкой при различ­ ных напряженных состояниях, включая допредельное и предель­ ное состояния, консолидацию и ползучесть многофазных грунтов, учение об эффективных напряжениях, учет изменений соотноше­ ния фаз в единице объема и т. д.

Ниже приводится основная система уравнений механики сплош­ ных сред. Большое внимание при этом уделено различным подхо­ дам к описанию физических уравнений состояния для различных видов горных пород.

Следует отметить, что общие уравнения равновесия и движе­ ния применимы и для абсолютно твердых, недеформируемых тел

при рассмотрении их равновесия при статических силах и движе­ ния—при ^динамических. Однако эти задачи выходят за рамки прикладной геомеханики, так как здесь рассматриваются лишь деформируемые тела.

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Напомним уравнения равновесия идеально твердых тел при статическом действии сил и условия их движения при динамичес­ ком действии. Равновесие твердого тела будем рассматривать в прямоугольной системе координат х, у, z. Если около рассматри­ ваемой точки М (рис. 2.1) твердого тела выделить элементарный

Рис. 2.1. Элементарный параллелепипед dx, dy, dz с нормальными и касательными напряжениями, действую­ щими по всем его граням

параллелепипед с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz и граня­ ми, параллельными координатным плоскостям, то в статических ус­ ловиях (как известно из теоретической механики) для его равно­ весия должны удовлетворяться следующие шесть уравнений равно­ весия:

Уравнения равновесия (2.1) показывают, что суммы проекций

всех сил (2>Xi, 2 У», 'LZi) в случае равновесия долоюны равняться

нулю и суммы всех моментов (ЕМ*, ЕМУ) 2MZ) в случае действия внецентренных сил или моментов вращения также должны рав­ няться нулю.

Рассмотрим более подробно уравнения проекций. Переходя к напряжениям (силам, отнесенным к единице 'площади), действую­ щим на грани элементарного параллелепипеда, будем иметь три нормальных напряжения ох, ау и сг2 и шесть касательных xXz, хгх, Хуг, Хгу, хух, хху, причем последние попарно равны друг другу и дей­ ствуют либо к прямому углу параллелепипеда, либо от прямого угла. Таким образом, шесть уравнений равновесия вполне удовлет­ воряют условию равновесия.

Три уравнения проекций в общем виде будут определяться сле­ дующими выражениями:

где р — плотность (единица массы) среды; (р £ = у ); X, Y ,Z — про­ екции объемных сил, отнесенные к единице массы.

Д ля условий движения необходимо учесть ускорение, проекции которого на координатные оси равны вторым производным от со­ ответствующих координат по времени, т. е. в прямоугольной систе­ ме координат, если обозначим перемещения точки М, соответству­ ющие координатам х, у, 2 , через и, v, w, они равны

Используя основное уравнение динамики тяжелой точки mw—

— F, а именно: произведение массы m на ускорение w равно дви­ жущей силе F, рассмотрим проекцию основного уравнения динами­ ки на координатные оси. Например, проекция на ось Ох

Учитывая затем бесконечно малые приращения напряжений на параллельных гранях, отстоящих от рассматриваемой грани на рас­ стоянии dx, dy и dz, после несложных преобразований получим следующие условия движения в напряжениях (уравнения динами­ ческого равновесия):

где Oi — интенсивность напряжений, ра-вная

(2.14а)

Е' — секущий модуль упругости (по рис. 2.2 Е' = tga), зависящий от величины деформации— E' = f(e ); Si — интенсивность дефор­ мации, равная

(2.146)

Уравнение (2.14) (показывает, что для данного уровня дефор­ мации еi, т. е. для каждой точки нелинейно деформируемого упру­ гого тела, интенсивность напряжений Oi может приниматься про­ порциональной интенсивности относительных деформаций в,, при­ чем коэффициент пропорциональности (секущий модуль упруго­ сти Е') является величиной переменной, зависящей от в*.

Если приближенно принять, что коэффициент поперечного су­ жения /равен 0,5 и материал в процессе деформирования меняет лишь форму (без изменения объема), то при одноосном напряжен­ ном состоянии

*окг— 3 ° ^ е0КТ~Т^2е,

где Токт и Вокт — октаэдрические сдвигающее напряжение и сдви­ гающая деформация. Тогда кривые на рис. 2.2 легко перестроить в .кривые октаэдрического сдвига, отложив по вертикальной оси величину Токт, а по горизонтальной— величину воет, что позво­ ляет написать соотношение

(2.14в)

где G '—секущий модуль деформации сдвига, зависящий от е0кт, т. е. G = ф (вокт).

При использовании зависимостей (2.14) — (2.14в) для теории нелинейной упругости и теории пластических деформаций необхо­ димо учитывать, что величины £ ' и в' не постоянны, как в случае линейной упругости, а переменны и зависят от напряженного со­ стояния тела; при этом любое сложное напряженное состояние сво­ дится к анализу результатов простого одноосного растяжения-сжа­ тия, обычно-описываемого функцией общего вида

а— Е (1 —ш) е,

где Е — модуль нормальной упругости; (о — функция относитель­ ной деформации в, т. е. ы = ф (в). Тогда в случае сложного напря­ женного состояния принимается выражение

где со,= ф(е*).