книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

цепи (рис. 23.1,6) и о движении подвешенной на блоке тяжелой -нити при поджигании одного из .ее концов.

С тех пор и вплоть до нашего времени задачи о дви­ жении цепей неизменно включаются практически во все английские учебники механики для высшей школы. Труд­ но сказать по каким причинам, но в учебной литературе других стран такие задачи встречаются довольно редко (в сборнике задач И. В. Мещерского имеются две задачи этого типа).

Хотя в последние десятилетия проблемы динамики тел переменной массы и заняли заметное место в .учеб­ никах по механике, но почти исключительно в связи с за­ дачами ракетодинамики. Конечно, по своей практической значимости с ними никак не могут соперничать довольно старомодные вопросы динамики цепей; тем не менее эти вопросы своеобразны, поучительны и заслуживают боль­ шего внимания, чем то, которое им уделяется в современ­ ной учебной литературе.

Решение задач о вертикально движущихся тяжелых цепях обычно опирается на следующие упрощенные, но, в общем, достаточно естественные модельные представ­ ления:

1. Под цепью подразумевается однородная материаль­ ная линия, которая ие сопротивляется изгибу и сжатию, но обладает абсолютной жесткостью при растяжении; заметим, что теми же словами ныне определяют и модель, называемую нерастяжимой нитью.

2.Рассматриваются только такие движения, при ко­ торых движущаяся часть цепи имеет форму прямой линии.

3.Находящаяся в покое часть цепи (нацример, в си­ туации, изображенной на рис. 23.1, а) уложена таким образом, что элементы этой части приходят в движение,

т.е. присоединяются к-движущейся части цепи, пе одно­ временно, а поочередно. Примененное в начале параграфа не вполне ясное выражение «цепь сложена около края горизонтальной плоскости» нужно понимать именпо в та­ ком смысле.

Для того чтобы придать некоторую наглядность этому свойству укладки, Тэт и'Стил писали, что цепь «сложена

вбухту», очевидно, имея в виду, что такая бухта имеет исчезающе малые размеры; с той же целью И. В. Ме­ щерский пользовался схемой, показапной йа рис. 23.2 (см. [36]).

менту со стороны движущейся части цепи. Таким образом,

происходит также ударным образом. Так, применительно к рис. 23.1,6 скорость элемента при вступлении в контакт с неподвижной плоскостью сразу меняется на конечную величину: чаще всего принимают, что скорость мгновен­ но обращается в нуль. Это весьма существенное и, оче­

видно, уязвимое для критики предположение об абсолют­ но неупругом ударе все же можно считать приемлемым.

В данном случае силы ±iV, определяемые прежним выражением (23.1), действуют между останавливающим­ ся элементом и плоскостью; конечно, реакция плоскости,

части цепи оказывается переменной величиной, и йазванные задачи следует решать, исходя из зависимостей, отно­ сящихся к поступательному движению тел переменной массы («точки» переменной массы).

Для решения можно пользоваться теоремой об изме­ нении количества движения, но мы будем всюду исхо­ дить из уравнения Мещерского*)-, в проекции на ось, вдоль которой происходит движение, это уравнение при­ менительно к нашим задачам можно записать в виде

где пг — переменная масса движущегося тела, Р — проек­ ция приложенной к телу внешней силы, v —гпроекция скорости тела, t — время. Уравнение в форме (23.2) в разщой мере относится как к случаям присоединения ча­ стиц, покоившихся перед присоединением, так и к слу­

*) Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935)— профессор Петербургского (Ленинградского) политехнического института с 1902 г. Автор основополагающих трудов по механике тел перемен­ ной массы (см. [36]).

чаям отделения частиц, мгновенно останавливающихся после отделения. И. В. Мещерскому принадлежит и даль­ нейшее обобщение уравнения (23.2) для случаев, когда одновременно с присоединением частиц происходит от­ деление (других) частиц; по этому поводу см. ниже § 26.

§24, Задача Кэли и: ее обобщепия

В1857 г. А. Кэли*) доложил Лондонскому королев­ скому обществу свою работу «Об одном классе динамиче­

ских задач». Ее печатная публикация начинается следу­ ющими словами:

«Существует класс динамических задач, которые, на­ сколько я знаю, не рассмотрены с общей точки зрения. Это задачи (их можно назвать задачами о непрерывных ударах), в которых к системе непрерывно присоединяют­ ся частицы бесконечно малой массы (т. е. массы, содер­ жащей в качестве множителя дифференциал времени), так что мгновенным изменениям скорости подвергается не система, а она сама вызывает внезапные изменения скорости присоединившихся частиц. Задача такого типа возникает, например, когда часть тяжелой цепи свешива­ ется с края стола, а остальная часть цепи свернута или сложена в кучу вблизи края стола; свешивающаяся часть образует движущуюся систему».

Нет оснований брать под сомнение искренность ска­ занного в первой фразе — Кэли, по-видимому, не знал сво­ их прешественпиков в разработке общей теории движения систем переменной массы, хотя такие предшественники были (Букуа и Пуассон). Их работам посвящен следую­ щий параграф, а здесь, несколько нарушив хронологию, мы остановимся на работе Кэли.

Вначале Кэли записывает основапное на принципе возможных перемещений общее уравнение динамики, но в модифицированном виде, позволяющем учесть присо­ единение или отделение частиц. Затем Кэли переходит к обобщенным коордипатам и формулирует некоторый аналог лагранжевых уравнений второго рода.

*) Артур Кэли (1821—1895) — апглийский математик, член Лондонского королевского общества (с 1852 г.), члея-корреспоидент Петербургской академии наук (с 1870 г.); автор работ по теории квадратичных форм, проективной геометрии, математическому ана­ лизу, астрономии.

В заключение он разбирает в качестве иллюстрации задачу о свободно (без трения) соскальзывающей со сто­ ла тяжелой цепи (рис. 24.1); задача Кэли представляет собой упрощенный вариант задачи, решение которой го­

Если q — вес единицы длины цепи, g — ускорение свобод­ ного падения, то

и из (24.1) получается уравнение

(24.2)

Придя к этому уравнению, Кэли выписывает без ка­ ких бы то ни было разъяснений его первый интеграл в виде

Здесь а — длина свисающей части цепи в начальный мо­ мент, когда t = 0. Получив соотношение (24.3) и заметив, что его левая часть не интегрируется в элементарных функциях, Кэли прекращает выкладки.

Явное равнодушие к истолкованию полученного соот­ ношения (24.3) можно объяснить тем, что Кэли — скорее математик, чем механик, и во всяком случае специалист, далекий от практических приложений,— цо-видимому, считал для себя достаточным записать правильное исход­ ное уравнение и показать, что решение сводится к квад­ ратурам. Впрочем, если бы Кэли имел в своем распоря­ жении даже малую ЭВМ, он, вероятно, не удержался бы

от вычислений и довел решение до конца. В наше время грешно этого не сделать, но прежде всего остановимся на подробностях выкладок, приводящих к (24.3).

Запишем в (24.2)

(С — постоянная). Полагая, что 2 = 0 при у = а, находим

с — Ада»

и, следовательно,

что соответствует решению Кэли (24.3Х. Можно сказать, что соотношение (24.6) описывает фазовую траекторию рассматриваемой системы.

Для того чтобы найти зависимость y = y(t), нужно повторно интегрировать (24.6). Прежде всего рассмотрим частный случай, когда первоначальная длина'свисающей части цепи исчезающе мала. Полагая в (24.6) а = 0, на­ ходим для скорости выражение

Далее, после интегрирования уравнения

dy _ 1/'2 £ У dt У 3

получаем закон движения копда цепи в виде

Как оказывается, движение происходит с постоянным ускорением, но оно ровно в т р о е м е н ь ш е ускорения свободного падения — очень простой, но в количественном отношении трудно предугадываемый результат!

Прежде чем вернуться к общему случаю, когда а Ф О, обсудим полученное решение с энергетической стороны. Если обозначить потенциальную энергию цепи в исходном положении через П0, то в произвольный момент времени, когда координата конца равна г/, потенциальная энергия цепи составит

П = П0- g|/72.

Поскольку в системе нет трения, то кажется, что уменьшение потенциальной энергии будет компенсирова­ но соответствующим приращением кинетической энергии. Так ли это?

Вычисляя кинетическую энергию, получим с учетом

Дело, конечно, в том, что каждый акт присоединения очередного элемента цепи к движущемуся ее участку представляет собой удар, и притом удар неупругий, который всегда сопровождается потерей механической апергии. Заметив это с самого начала, можно было пред-' видеть, что уменьшение потенциальной энергии цепи лишь частично компенсируется увеличением кинетиче­ ской энергии. Отметим, цто неконсервативность типична для любого тела перемепной массы (исключением служат лишь случаи безударного присоединения или отделения частиц).

Вернемся к более общему случаю, когда а Ф О, и, по­ ложив г\==у/а1проинтегрируем (24.3):

Хотя интеграл S, стоящий в левой части равенства, и не выражается в замкнутом виде через элементарные функции, но это не должно было остановить Кэли от продолжения выкладок, поскольку S точно выражается через табулированные к тому времени эллиптические ин­ тегралы 1-го и 2-го рода:

5 « 2 [ ( г! - 1 ) / З Г ,

а при весьма больших ее значениях — приближенное вы­ ражение

2(V'2- 1 ) ,

но подобные асимптотические результаты были не в духе той эпохи и, по-видимому, не представляли интереса для такого строгого аналитика, каким был Кэли. Вряд ли он мог даже помыслить о том, что решение его задачи мо­ жет быть завершено в считанные секунды, и притом с очень высокой точностью, как это делается в наше время.

В следующей таблице даны результаты вычислений -S на ЭВМ.

По этим результатам и с помощью соотношения (24.9) построен показанный на рис. 24.2 график движения кон­ ца цепи.

Обратимся'к некоторому обобщению задачи Кэли для случая а = 0 и предположим,- что в момент t = 0, когда

Рис. 24.2. Закон движения конца цепи

вся цепь лежит на столе, к ее концу внезапно приклады­ вается направленная вниз сила Р0, которая, затем оста­ ется постоянной. В этом случае вместо уравнения (24.2) мы придем к уравнению

После прежней подстановки (24.4) оно приводится к форме

Общее решение этого уравнения записывается в виде

++ -т glh

ложения силы Р0 конец цепи начинает двигаться с от­ личной от нуля скоростью