книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

*

найдем

w (х) = Af* [(1 — cos ах) cos а/ +

+ (ах — sin eu:) sin al]/(a2EJ). (4.5)

Сосредоточим" внимание на угле поворота концевого сечения, который согласно (4.5) составляет

sin al

(4.6)

‘P = ff>* al '

где ф* — угол поворота торца при изгибе стержня, вызы­

Кривая, показанная на рис. 4.4, соответствует именно по­ лученному уравнению (4.6), если -по осям откладывать соответственно угол ф и продольную силу Р. Такая же «вьющаяся» возле оси ординат кривая получится и в >уом случае, если за характерный параметр перемещения при­ нять прогиб концевого сечения, а не угол его поворота.

При дальнейшем обсуждении свойств стержня умест­

нечно, эту неустойчивость невозможно выявить в рамках нашего статического анализа).

Как видно, при постепенном возрастании значения продольной силы от нуля, угол поворота конца стержня

бе две составляющие — вертикальную, очевидно, усугуб­ ляющую изгиб, вызванный моментом Af*, п горизонталь­ ную, которая вызывает изгиб в противоположном на­ правлении.

В данном случае второе (противодействующее) вли­ яние оказывается сильнее первого. Постепенное измене­ ние формы изогнутой оси . можно видеть на рис. 4.5, б, где в одинаковых масштабах показаны изогнутые оси стержня, соответствующие пяти значениям силы Р, ко­ гда al —0; 1; 2; 3; 4. Здесь особенно бросается в глаза необычность двух последних форм, когда стержень из­

поворота конца стержня противоположен направлению внешнего момента А/*.

Следовательно, если задана действующая на стержень следящая сила Р, большая чем n2EJ/i\ и постепенно воз-

Я. Б. Львин, который впервые отметил и исследовал опи­ санную аномалию, образно и удачно назвал ее негативиз­ мом (так психиатры называют отрицательные устремле­ ния человека, т. е. его склонность поступать противопо­ ложно внешнему воздействию).

Эта ситуация довольно своеобразна, но, в общем, вполне ясна; во всяком случае появление свойства «не­ гативизма» не следует смешивать с возникновением не­ устойчивости, как это ошибочно сделано в недавно опуб­ ликованных^ «Рекомендациях по расчету упругих систем на устойчивость форм равновесия» [51]. Авторы «Реко­ мендаций» исходят из следующих определений и сообра­ жений:

«Устойчивая^ система сопротивляется любому измене­ нию формы ее равновесия. Ее можно вывести из исход­ ного состояния и медленно (статически) перевести в любое смежное состояние (в любое сколь угодно близкое возможное состояние), если статически приложить к ней соответствующую этому смежному состоянию беско­ нечно малую, обобщенную дополнительную силу (сокра­ щенно— дополнительную силу), состоящую из сил и мо­ ментов.

Дополнительная сила при переходе устойчивой систе­ мы в любое смежное состояние преодолевает сопротивле­ ние системы изменению исходного состояния и совершает положительную работу. Если работа дополнительной силы при переходе системы хотя бы в одно смежное со­ стояние отрицательна или равна нулю, то исходное со­ стояние системы неустойчиво».

Можно установить, что, когда речь идет о консерва­ тивных системах, результаты, полученные согласно цити­ рованным «Рекомендациям», не новы и совпадают с ре­ зультатами, которые можно найти методом Эйлера. Од­ нако авторы «Рекомендаций» смело предлагают судить об устойчивости неконсервативных систем также по зна­ ку работы, совершаемой дополнительными силами при переходе системы в смежное равновесное состояние.

Посмотрим, к чему приведут «Рекомендации» в зада­ че об устойчивости консольной стойки, нагруженной сле­ дящей силой Р. Рассматривая в качестве «дополнитель­

Согласно «Рекомендациям» признаком устойчивости стой­ ки служит неравенство А > 0. Отсюда немедленно следу­ ет, что устойчивость стойки якобы теряется при al = л, т. е. при Р ~ n2EJ/l2. Этот результат совершенно не сов­ падает с тем, что дает упомянутое выше корректное ис­ следование задачи динамическим методом.

Можно предположить, что составители «Рекоменда­ ций» исходили из того, что дополнительная работа меня­ ет знак, когда изгибная жесткость системы обращается в нуль и состояние равновесия становится безразличным, т. е. система оказывается на грани неустойчивости. Но это рассуждение, вообще говоря, неверно, так как смена знака дополнительной работы может произойти и не при нулевом значении коэффициента жесткости — при росте нагрузки он может изменить знак разрывным образом. В самом деле, возвращаясь к прежнему примеру, найдем из (4.6) — (4.7)

Здесь видно, что коэффициент жесткости системы опре­

происходит потеря устойчивости (а в действительности появляется «негативизм»),’ жесткость системы бесконеч­ но велика, и вся ситуация вовсе не похожа на состояние безразличного равновесия.

Возможно, что авторы «Рекомендаций» исходили из иных соображений, но, как бы то ни было, выдвинутый в «Рекомендациях» способ расчета на устойчивость пред­ ставляется в целом' необоснованным.

§ 5. Парадоксы усиления конструкций

Хотя впечатляющие успехи, достигнутые в последнее время в области оптимального проектирования (констру­ ирования), в значительной степени обязаны поразитель­ ным возможностям современных средств вычислитель­ ной техники, однако Стремление к оптимизации инже-

норных конструкций наметилось очень давно — задолго до появления электронных вычислительных машин, да и самого термина «оптимальное проектирование».

Иногда постановка задач оптимального проектирова­ ния — в широком понимании этого термина — опиралась на некоторые^частные качественные признаки оптималь­ ности. Таков, например, признак отсутствия эксцентри­ ситета сжимающей силы в задаче о нагружении арки (определение рациональной оси арки как «кривой дав­ лений») или признак одинаковости наибольших напря­ жений во всех сечениях тяжелого стержня с вертикаль­ ной осью, закрепленного на одном из концов (определе­ ние формы стержня равного сопротивления).

В других задачах оптимального проектирования во­ прос сводился к определению экстремума той или иной целевой функции (этого термина в прежние времена так­ же не существовало). Вероятно, исторически первой за­ дачей этого типа была задача Парана*), решенная в на­ чале XVIII века, на заре становления теории изгиба стержней: как нужно обтесать круглое бревно, чтобы получитц брус прямоугольного сечения, обладающего наи­ большим моментом сопротивления; эта задача и поныне

встречается в учебниках по сопротив­

но, даже при наиболее рациональном превращении брев­ на в брус прямоугольного сечения теряется более трети первоначальной прочности.

В XIX веке был рассмотрен близкий по теме вопрос: нельзя ли, отказавшись от стремления к прямоугольной

сти аналитической геометрии, механики машип и сопротивления материалов. На последнем году жизни Паран был избран членом Парижской академии наук.

момент сопротивления сечени^ не уменьшился, а у в е ­ л и ч и л с я ?

Обсуждение этого вопроса также можно встретить в современных книгах, причем устанавливается, что если бревно симметрично обтесано сверху и снизу (рис. 5.2), то момент сопротивления определяется выражением

цг ^ 2 (л — а) + sin 2а

8 co s(а/2)

которое достигает максимума при а —24°. То, что после обтесывания момент сопротивления может возрасти, представляет определенный интерес, хотя достигаемый

ка производилась только для того, чтобы конструктивно улучшить примыкание к балкам прибиваемых сверху до­ сок пола и прибиваемых снизу ^досок потолка. О какомлибо выигрыше в прочности строители конечно, не заду­ мывались и, вероятно, даже не

которое достигает максимума при А = 8У2а/9; этот мак­ симум составляет 64У2а3/729, т. е. на 5,3% больше, чем

кой балки, шариирно-закрепленной на левом конце и под­ держиваемой высокой стойкой посередине (рис. 5.5, а) ; длина балки а. На балку действует равномерно распреде­ ленная нагрузка интенсивностью q. Стойка сжата и при

л

Рис. -5.5. Исходная система (а) ; система с дополнительным стерж­ нем (б)

возрастании интенсивности q может потерять устойчи­ вость. В дальнейших выкладках принимается, что кри­ тическое состояние наступает при напряжениях, не пре­ восходящих предела упругости. Если Е — модуль упру­ гости материала стойки, / 4— момент инерции ее попереч­ ного сечения, I — высота, то критическое значение интен­ сивности нагрузки на балку определяется очевидным вы­ ражением

Рассмотрим теперь измененную конструкцию, которая получится, если в систему ввести дополцительно еще одну стойку (рис. 5.5,6). Положим, что поперечные сече­ ния обеих стоек подобны, но линейные размеры сечения стойки 2 в а раз больше линейных размеров сечения стойки 1, т. е. Fг= а2/7!, / 2 = а4Л. Что произойдет с кри­ тическим значением нагрузки на балку?

Обратимся к вычислениям и прежде всего найдем сжимающие силы Ni и 7V2, которые возникают в сечениях стоек до потери устойчивости. Решение простой, но с т а ­

Система будет выглядеть, как показано на рис. 5.6 (она статически определима!), и для силы, сжимающей стой­ ку 2, найдем

Лишь когда эта величина достигнет критического значе-

значению Рц<р, найдем, что потеря устойчивости кон­ струкции в целом наступает при нагрузке

только потому, что после добавления стержня 2 система 'Стала статически неопределимой (см. рис. 5.5,6), а выход из строя «лишнего» стержня вовсе не то же самое, что потеря устойчивости «необходимого» стержня, т. е.4стерж­ ня, в котором усилие статически определимо. Здесь уместно напомнить написанное полвека назад И. .М. Ра­