книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

где (dw/dt)e— среднее значение вертикальной скорости балки на отрезке е. Входящий сюда интеграл равен Р, так что

JИ*.*)£*-*■(£).• (12.4)

О

Для того чтобы перейти к случаю действия сосредо­ точенной силы Р, необходимо устремить длину е к ну­ лю, подставить в (12.4) вместо (dw/dt)6 вертикальную скорость сечения # = £, равную dw/dt\x. . При этом эле­ ментарная работа (12.3) примет вид

Но произведение dwldt\x^dt представляет собой элемен­ тарное перемещение сечения балки, расположенного под силой; элементарная работа силы Р оказывается равной

Рис. 12.1. К определению, работы силы

êw/dt\x=*idt и элементарным вертикальным перемещением dx\ начала вектора силы Р:

которое представляет собой полный дифференциал функ­ ции w(x, t) в точке х — g.

Приведенные выкладки могут показаться несколько старомодными по форме, и, хотя это — добротная старо­ модность, можно воспользоваться и более современной

манерой записи, представив нагрузку через дельта-функ­ цию Дирака в виде

р(х, f) = P ô [ x - i( i) ] .

Тогда элементарная работа такой нагрузки должна вы­ числяться согласно (12.3) следующим образом *) :

I

М= Ji>ô [х - 1 (г)] dx^dt - Р % \ ^

т.е. в результате мы приходим вновь к выражению (12.5)* Таким образом, при определении работы силы за

элементарное перемещение нужно принимать не переме­ щение геометрической точки приложения силы, а пере­ мещение сечения, через которое «проходит» сила. Если подвижной нагрузкой служит сосредоточенная пара, при­ ложенная в сечении £ = |(£), то подобно выражению (12.5) ее элементарная работа определяется произведением

Когда в курсах механики вводится попятив элемен­ тарной работы силы, то обычно пишут, папример, так: «Элементарная работа силы равна скалярному произве­ дению силы на элементарное перемещение». Авторы бо­ лее подробных курсов механики, опасаясь возникающей здесь двусмысленности (перемещение ч е г о имеется в виду?), предусмотрительно добавляют необходимые пояс­ нения. Вот как это делается в курсе П. Аппеля [4]: «...при вычислении элементарной работы силы, как воз­ можной, так и действительной, не следует смешивать материальную точку, к которой приложена сила, с гео­ метрической точкой ее приложения. В выражениях эле­ ментарной работы F •ММ' cos (F, ММ'), Fvcos(F, v) сим­ волы ММ' и v обозначают бесконечно малое перемеще­ ние и скорость той материальной точки, к которой при­ ложена сила, а не перемещение и скорость геометриче­ ской точки приложения силы». Конечно, во многих слу­ чаях (и даже весьма часто, можно сказать, обычно)

из частей записанного равенства. Получилось, конечно, не очепь. удачно — но не из-за авторского недосмотра, а как результат под­ чинения известным традициям в выборе обозначений для элемен­ тарной работы и функции Дирака.

становится излишним, но в рассматриваемой здесь задаче о действии подвижной нагрузки оно необходимо и содер­ жит ключ к разъяснению нашего парадокса: работу силы Р нельзя вычислять в виде произведения Р/.

Посмотрим, что получится при правильном вычисле­ нии полной работы, совершаемой вертикальной силой Pf когда линия ее действия движется от заделки к свобод­

рость геометрической точки приложения силы определя­ ется выражением

которое ровпо в два раза больше вертикальной скорости сечения (12.10) (именно в два раза! Читатель чувствует,, что мы вплотную приблизились к развязке).

Теперь согласно (12.5) и (12.10) элементарная работа силы Р определяется в виде

Интегрируя по всей длине балки, находим работу, совер­ шенную силой Р к моменту времени, когда сила достиг­ нет конца балки:

Как видно, этот результат точно равен потенциальной энергии изгиба в тот же момент процесса. Словом, ника­ кого парадокса на самом деле нет, а вычисление работы по выражению Pf попросту ошибочно*).

Б. В. Мукосеев доказал (см. [5]), что полученное вы­ ше соотношение

справедливо для упругих систем более общего вида. Вве­ дем функцию влияния G[x, £(£)], представляющую со­ бой перемещение сечения х при действии единичной си­ лы, приложенной в сечении £(£)• Тогда

w(x, t) = PG[x, g (01.

TJ( 0 - * G [ Ê (0.5'(0].

Соответственно находим вертикальную скорость про­ извольного сечения балки

в частности, при х — I

(звездочка указывает, что по отмеченному аргументу дифференцирование не производится).

В то же время вертикальная скорость геометрической точки приложения силы определяется выражением

*) Читателя не должно шокировать, что в рассуждения о квазистатическом решении проникло представление о скоростях. Как мы только что видели, закон движения нагрузки g = |(f), а сле­

Это выражение действительно вдвое больше выражениям (12.13).

Конечно, выкладки, которые привели к выражениям (12.12) — (12.15), верны лишь при условии, что при х =

= | существует производная dG(x, f)/d£. Применительно

ксистеме, показанной на рис. 11.2, это условие выпол­ нено. В самом деле, согласно (12.8)

ж2(3£- х) при

G(x, î > -

6EJ

t(3*- 1) при X^ I

6EJ

щ следовательно,

При х = £ оба выражения дают один и тот же результат::

012EJ*

Вследующем параграфе мы увидим, что так бывает не всегда и даже для довольно обычных систем, лишен­ ных каких-либо признаков «искусственности или надуман­

§13. Разрывное изменение скоростей

Взадачах о действии подвижной нагрузки могут* встретиться случаи, когда при движении геометрической точки приложения силы скорости материальных точек меняются разрывным образом. Здесь возникает новый вопрос: какое значение скорости нужно подставить в вы­ ражение, определяющее элементарную работу силы?-

Одной из таких задач является задача о действии на* упругий стержень растягивающей силы Р, геометриче­

с к о р о с т е й сечений, расположенных слева и справа от рассматриваемого. Выражение (13.7) указывает правило для вычисления элементарной работы в случаях разрыв­

скоростей обнаруживается и

мещается по горизонтали совершенно жесткая втулка, плотно прилегающая к балке и создающая условия жест­ кого защемления на левом конце деформированного пра­ вого участка балки. При этом ось балки постепенно рас­ прямляется, а груз поднимается. На поднятие груза расходуется работа, которую совершают реакции под­ вижной втулки — вертикальная сила N и пара с момен­ том М.

Понимая, что никакого энергетического парадокса за­ дача не содержит, мы легко можем предсказать значение этой работы. Если / — прогиб конца балки при £ = 0, то при распрямлении балки потенциальная энергия ее изги­ ба уменьшается на величину G//2, а потенциальная энер­ гия груза увеличивается на величину Gf; следовательно, полная энергия системы возрастает на Gf/2 —именно

этому значению и должна равняться искомая работа реакций подвижной втулки (если читателю вначале по­ казалось, что эта работа должна равняться 6?/, то он ошибся!). Проследим, как прийти к этому значению,

(так ли это было очевидно с самого начала?) и, во-вто­

ставляет записывать выражение элементарной работы момента подобно (13.7) в виде

найдем полную работу реакции втулки при постепенном поднятии груза G:

I

Конечно, она точно равна выражению G//2, которое бы­ ло указано выше.

§ 14. Работа реакций подвижных опор

Система, показанная на рис. 13.1, позволила разо­ брать особенности вычисления элементарной работы при разрывном изменении скорости. Но та же система дает удобный повод для постановки и полезного обсуждения иного вопроса, которого мы пока вообще не касались: для того чтобы осуществить постепенное горизонтальное перемещение втулки слева направо, по-видимому, необ­

в конечном счете именно эта сила совершает работу, не­ обходимую для поднятия груза.

Более того, внимательно рассмотрев схему, показан­ ную на рис. 13.1, мы придем к выводу, что некоторая приложенная к втулке горизонтальная сила необходима не только для передвижения втулки слева направо, но и для сохранения ее состояния покоя в положении, изо­ браженном на рисунке; как мы увидим, если такая сила извне не приложена, то втулка не м о ж е т находиться в равновесии и будет скользить вдоль балки справа налево.