книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

ленной поперечной нагрузки интенсивностью —dm/dx. Если, кроме того, на балку действует задаппая попереч­

Довольно равнодушный тон нашего рассуждения мог усыпить внимание читателя. В действительности же здесь не все безупречно, и хорошо, если описанное статически

эквивалентное представление заданных пар , вертикальны­ ми силами несколько насто­

вдесь носит пе локальный ха­ рактер, а относится ко всей длине балки, и, следователь­

но, способно исказить всю картину напряжений и дефор­ маций. Но чем же тогда объяснить, что явно сомнитель­ ная замена полностью согласуется с бесспорным урав­ нением (2.6)?

Единственное и притом исчерпывающее объяснение совершенно не связапо с принципом Сен-Венана, а вы­ текает из принятой в технической теории гипотезы пло­

картины, которая определяется технической теорией из­ гиба. Если отказаться от этой теории и учесть сдвиги, скажем, по теории Тимошенко, то упомянутое статиче­

ски эквивалентное преобразование окажется попросту неверным, а логически необоснованное обращение к прин­ ципу Сеп-Венапа приведет к явным ошибкам.

Этот вопрос в учебной литературе обычцо не обсуж­ дается — так же, как и сам рассмотренный выше случай нагружения балки распределенными парами. Однако весьма близкий вопрос, возникший в теории изгиба тон­ ких пластин, вызвал в свое время оживленную дискус­ сию, отчасти не завершенную до сих пор; этой любо­ пытной теме посвящен § В, где еще раз и в более ши­ рокой постановке обсуждаются различные мотивировки статически эквивалентных преобразований в прикладной механике деформируемых тел.

Возвращаясь к нашей теме, отметим, что изложенное выше преобразование нагрузки в рамках технической

с помощью закона Гука). Однако и в этих рамках в ре­

представить вертикальными силами, как это сделано на рис. 2.4, а, то Q = —т и для касательных напряжений получится известное выражение (обозначения обычные)

В случае, когда сечение балки прямоугольное, эпюра ка­

это показано па рис. 2.3, то из условия равновесия эле­ мента, изображенного на pnc.^z.5, б, можно найти каса­ тельное напряжение

Эпюра касательных напряжений для балки прямоуголь­ ного сечения показана на рис. 2.5, в; можно проверить,, что система касательных напряжений самоуравновешена, как и должно быть, поскольку Q = 0. , Не нужно удив­ ляться тому, что статически эквивалентная замена не обеспечивает тождественности всех результатов — суррогатность замены где-то должна была проявиться.

букву т буквой Р, то получатся известные результаты^ относящиеся к, казалось бы, совсем иному случаю изги­ ба, а именно к тому, который показан на рис. 2.1, а. Это» совпадение отнюдь не случайно; более того, его можно было предвидеть.

В самом деле, представление каждой из равномерно распределенных пар в виде вертикальных сил ±т при­ ведет к тому, что эти силы уравновесятся на всех грани­

но она непосредственно здесь же будет воспринята за­

же, как одна-единственная сила т , приложенная к сво­ бодному концу балки.

Нагружение балок распределенными парами было* рассмотрено, по-видимому, впервые Рэлеем*) более ста лет назад. Опираясь на гипотезу плоских сечений, оп об­ ратил внимание на то, что при колебаниях балок наряду с распределенными поперечными силами инерции

- P F-дгY действуют также продольные силы инерции,,

связанные с поворотами сечении; эти продольные силы: инерции приводятся к распределенным парам, интенсив­ ность момента которых определяется выражением:

грузки возрастает при увеличении относительной высо­

Рэлеем: если балка настолько высока, что нужно учнты-

*) Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей, 1842—1919) — англий­ ский физик, звтор фундаментальных трудов по теории колебаний,, акустике, оптике. Член (с 1873 г.) и президент (1905—1908 гг.) Лондонского королевского общества, нобелевский лауреат (1904 г.)„ иностнанный член-корреспондент Петербургской академии наук: (с 1896 г.).

ному решению, исчезает право на статически эквивалент­ ные преобразования.

В заключение отметим, что соотношения технической теории изгиба балок следуют не только из *кинематиче­ ской гипотезы плоских сечений, но также из эквивалент­ ной гипотезы G = с». Тем самым можно сказать (а иног­ да и действительно говорят), что в основе технической

балки, когда модуль сдвига бесконечно велик; при этом, конечно, отрицается справедливость соотношения G =

риала. Возможно, что такое представление позволяет лучше почувствовать существо технической теории.

внизу стойки имеется спиральная пружипа, обладающая^ линейной характеристикой упругости.

Исследование' устойчивости такой стойки исключи­ тельно просто, и в то же время опо достаточно полно­ ценно, так как содержит в себе все главные логическиеэлементы, которые входят в анализ устойчивости упругих стержней с распределенной податливостью (при неиз­ менном направлении нагрузок). С помощью схемы на рис. 3.1, а можно не только решить задачу Эйлера, т. е. найти силу, при которой наряду с невозмущенным со­ стоянием равновесия существует смежное равновесное состояние, но можно изучить даже закритическое пове­ дение системы (учитывая при этом конечность переме­ щений), можно продембнстрировать динамический метод анализа устойчивости, оценить влияние неидеальностея (скажем, начального эксцентриситета) и т. д.

Так, например, для решения задачи Эйлера нужно выяснить значение силы Р, при котором существует смежное состояние равновесия (рис. 3.1,6), т. е. выпол­ няется уравнение моментов

ряется при любом значении Р. Этот результат тривиа­ лен — он попросту означает, что вертикальное положение стойки является состоянием равновесия независимо от

Не задерживаясь далее на этой хорошо известной эталонной схеме, обратимся к модельным задачам, отно­ сящимся к влиянию с д в и г о в па устойчивость сжатых стержней. Здесь нужно напомнить читателю, что задача о потере устойчивости стержня с непрерывно распреде­ ленными податливостями па изгиб и на сдвиг несложна, и была решена еще в XIX веке (Ф. Энгессер*), 1891 г.);

*) Фридрих Энгессер (1848—1931) вел практическую работу на строительстве железных дорог и выполнил многочисленныеисследования в области строительной механики. В 1885—1915 гг.— профессор кафедры теории сооружений в Карлсруэ.

-30

к этому решению мы еще вернемся ниже. Однако не ли­ шены интереса — главным образом из-за большей на­ глядности — и наиболее упрощенные модели, в которых самым схематичным образом отражены изгибная и сдви­ говая податливости стержня. Как мы увидим, при вы­ боре таких моделей, т. е. при умозрительном их конструи­ ровании, необходима осторожность — иначе модель может существенно исказить подлинные свойства - моделируе­ мого объекта и, следовательно, оказаться негодной.

Кажется, что не только приемлема, но и наиболее ес­ тественна простая модель, показанная па рис. 3.2, а. Она представляет собой обобщение модели, данной на

Рис. 3.2. Модельная система с двумя степенями свободы: а) не­ возмущенное состояние; б) возмущенное состояние

рис. 3.1, а, и содержит два упругих элемента с локализо­ ванными податливостями — упругий опорный шарнир i, по-прежнему имитирующий изгибную податливость, и ви­ тую пружину 2, отображающую сдвиговую податливость реального стержня. Предполагается, что сжимающая сила прикладывается к ползуну 5, который может, без трепня перемещаться вдоль верхней платформы 4 за счет растяжения-сжатия шружины 2, причем сама платформа вместе со стойкой образуют жесткое1тело, которое моясет поворачиваться вокруг опорного шарнира.

Такая система имеет .цве степени свободы, и поэтому можно предвидеть, что в результате решения задачи Эй-

.лера мы найдем два значения, критической силы. Чита­ тель, привыкший к обычным расчетам па устойчивость, возмояшо, предположит здесь, что из двух найденных

.значений нам предстоит выбрать наименьшее, отбросив