книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Возможную работу перерезывающих сил можно сразу записать в виде

Таким образом, возможная работа крутящих момен­ тов и перерезывающих сил согласно (7.10) и (7.11) за­ пишется в виде одного интеграла

*2

S1

Отсюда и следует, что возможная работа контурных уси­ лий определяется разностью Qn— dMnJds, а не порознь перерезывающей силой и крутящим ‘ моментом. Поэтому

играничное условие должно записываться для указанной разности.

Хотя в этой работе Кйрхгофа ярко продемонстрирова­ на мощь и универсальность вариационного метода в ана­ лизе упругих систем, но строгим результатам Кирхгофа все же не хватало наглядности (судя по всему, он к ней

ине стремился).

Стех пор, когда оформилась аналитическая механика,,

ивплоть до наших дней можно встретить авторов, кото-,

рые, подобно Кирхгофу, вообще не считают, что отсут­ ствие наглядности — недостаток. Одпако все же кажется,, что большинство лиц, занимающихся механикой, думают и чувствуют иначе. К этому большинству несомненно от­ носился один из выдающихся физиков XIX века лорд Кельвин (У. Томсон), в творчестве которого удивитель­ ным образом одновременно сочетались научные занятия отчетливо практического характера с чисто теоретиче­ скими изысканиями — от ответственнейших консультаций при прошгадке первого трансатлантического кабеля до ана­ лиза вопроса о числе .граничных условий на свободном крае пластины. Занимаясь последним вопросом (он был рассмотрен в книге «Натуральная философия» Кельвина и Тэта, вышедшей в свет в 1867 г., всего через год после ввода кабеля в эксплуатацию), Кельвин стремился в наглядных образах объяснить, почему и как два гра­ ничных условия сливаются в одно.

Он исходил из того, что способ реализации крутящегомомента вообще не имеет значенйя: действие касатель­

ных напряжений rns, приводящихся в пределах бесконеч­ но узкой полоски шириной ds к элементарному моменту

чом ds. Если теперь рассмотреть две соседние бесконечно узкие полоски (рис. 7.3, в), то выяснится, что вдоль их

Рис. 7.3. Преобразование Кельвина: а) исходная схема касатель­ ных усилий, образующих крутящий момент; б) заменяющая схе­ ма; в) нагружение двух смежных элементов границы

приложенная так же, как и «обычная» перерезывающая

Çn и Мп8.

Весьма яспое преобразование Кельвина действительно помогает понять, как двд граничных условия «прессуют­ ся» в одно. Тодхантер и Пирсон в своей фундаменталь­ ной «Истории теории упругости и сопротивления мате­

•формулировок Пуассона и Кирхгофа. Думается, что сло­ во «примирение» (reconciliation) применено неточно — хотя Кельвин и установил ясную связь между двумя фор­ мулировками граничных условий, но все же верна лишь одна из них, тогда как другая ошибочна.

В рассуждении Кельвина есть одно место, которое заслуживает специального разбора: откуда в рассматри­

допустимость статически эквивалентных замен неоспори­ ма только применительно к модели абсолютно твердого тела, тогда как объектом теории пластин служат дефор­ мируемые тела. Итак, чем можно аргументировать пере­ вод от схемы на рис. 7.3, а к схеме на рис. 7.3, б?

[64]; на принцип Сен-Венана обычно ссылаются и многие лекторы. Однако есть одно соображение, заставляющее усомниться в убедительности ссылки на принцип Сен-Ве­ нана: «иметь право» и «быть обязанным» — совсем не одно и то же. Положим, что принцип Сен-Венана дает некоторое право на преобразование Кельвина, но из этого вовсе не следует, что мы о б я з а н ы такое преобразова­ ние совершать. Однако без преобразования Кельвина нельзя перейти от неправильных условий Пуассона к правильным условиям Кирхгофа. В принципе ли Сен-Ве­ нана дело?

пластин модельными представлениями, т. е. с системой исходных гипотез. Так, в книге Саусвелла [54] можно прочитать в связи с преобразованием Кельвина: «Прибли­ женная теория не может учесть различие в способе при­ ложения заданных компонентов упругого момента». От­ метим точный оборот речи «не м о ж е т у ч е с т ь » , а не просто «не учитывает». Примечательно, что здесь Саусвелл совершенно не упоминает принцип Сен-Венана, хотя в других местах книги и по другим поводам имеется мно­

мали остаются и после деформации перпендикулярными к срединной поверхности, ...элемент dy границы х =■ = const поворачивается в своей плоскости как жесткий диск (на угол dw/dy). Поэтому приложенный к элементу крутящий мохмеят Mxydz можно заменить статически экви­ валентной ему парой вертикальных сил, равных Mxv каждая».

Действительно, поскольку в показанных на рис. 7.3

та, совершаемая крутящим моментом Мху, вообще не за­ висит от способа его реализации — можно сказать, что в этой теории варианты реализации попросту н е р а з л и ­ чимы; это видно и в исходной записи виртуальпой ра­ боты крутящих моментов по Кирхгофу. Поэтому для замены одного способа реализации крутящего момента другим способом необходима (и совершенно достаточна) ссылка на то, что в модели сохраняются некие «рудимен-

ных напряжений (рис. 7.4, а)* Принято говорить, что согласно принципу Сен-Венана эту систему можно за­ менить статически эквивалентной системой напряжений, линейно изменяющихся по сечению (рис. 7.4, б). Пока­ жем, что ссылка на принцип Сен-Венана не вполне ло­ гична, так как преобразование напряжений осуществляет

Рис. 7.4. Нагружение торца балки: а) заданная схема; б) статиче­ ски эквивалентная схема, согласованная с гипотезой плоских сечепий; в) «материализация» гипотезы плоских сечений с помощью жесткого элемента

сечения, плоские и нормальные к оси балки, до приложе­

личины, зависящие от нагрузкп на балку.

Наконец, в-третьих, существо гипотезы можно выра­ зить конструктивными образами. Для торцевого сечения балки смысл гипотезы отражен на рис. 7.4, в в виде аб­ солютно жесткого диска нулевой толщины, который прикреплен к торцу (мы понимаем, что на самом деле диска нет: диск — это лишь «материализованный образ» гипотезы плоских сечений). Для остальных сечений бал­

рис. 7.4, б, т. е. диск выступает здесь в роли своеобраз­ ного преобразователя одной системы нормальных напря­ жений в другую. В выкладках, относящихся к этой мо­ дели, невозможно отразить подробности нагружения, по­ казанного на рис. 7.4, а; отражаются лишь статические эквиваленты нагрузки — продольная сила и изгибающий момент.

Аналогичнб этому в теории стесненного кручения тонкостенных стержней (теории Власова*)) внешняя на­ грузка задается в виде крутящего момента — способ при­ ложения внешних сил, приведенных к этому моменту, роли не играет. Как и выше, переход к статическому эквиваленту обоснован тем, что в названной теории од­ ной из основных является гипотеза о неизменяемости контура сечения в его плоскости.

Эту гипотезу можно умозрительно материализовать, представив себе, что тонкостенный стержень подкреплен абсолютно жесткими в своей плоскости диафрагмами (нервюрами, шпангоутами), которые и обеспечивают не­ изменность контура сечения; одновременно нужно счи­ тать, что они абсолютно податливы при изгибе из их плоскости, а также что они непрерывно следуют одна за другой вдоль оси стержня. Ясно, что лежащие в плос­ кости абсолютно жесткой диафрагмы приложенные к ней внешние силы допускают., любые статически эквивалент­ ные преобразования.

В сущности, то же самое относится и к условиям па свободном крае пластины; преобразование Кельвина здесь совершает (не может не совершать!) сама модель.

А вот еще один выразительный, хотя и несколько искусственный пример — плоская система в виде цепочки жестких крестообразных элементов, связанных шарни­ рами (рис. 7.5, а). Положим, что нагрузкой на систему служат, во-первых, вертикальные силы Рп, приложенные к шарнирам, и, во-вторых, пары-Мп, реализованные в ви­ де горизонтальных сил, приложенных к верхним и ниж­ ним точкам жестких «крестов». Поскольку крестообраз­

конца своих дней профессор Московского инженерно-строительного института. С 1953 г.— член-корреспондент Академии паук СССР.

Автор многочисленных исследований в области теории тонкостен­ ных конструкций и оболочек.

заменить эквивалентной парой вертикальных сил (см. рис. 7.5, б) ; складывая вертикальные силы, приложенные

Рис. 7.5. Нагружение шарнирной цепи: а) схема нагрузки; б) за­ мена пары, приложенной к одному звену, системой двух попереч­ ных сил; в) приведенпая схема нагружения цепи

заведомо известно, что все элементы цепочки самоуравновешены. Как аналитически выразить это свойство? Конеч­ но, запись

явно избыточна и не выражает необходимых условий самоуравновешенности. Необходимые (и достаточные! ) условия следует формулировать в виде

мп- м,п—1 = 0 (/г = 1, 2 , . . . ) .

Здесь ясно видно, как сами свойства модели диктуют обязательность статически эквивалентных замен — без я'аких замен нельзя правильно формулировать необходи­ мые и в то же время достаточные условия самоуравновешенпости. Именно в этом и состоит подлинная логическая основа преобразования Кельвина.