книги / Механика деформируемого твердого тела.-1
.pdfсплошного стержня. Сходство двух графиков, так же как и различия между ними, настолько ясны, что в подроб ных комментариях не нуждаются. Однако самое суще ственное нужно все же подчеркнуть: если вдоль сплош ного стержня возмущение распространяется с конечной
Рис.. 20.3. Результаты расчета для многомассовой системы, показан ной на рис. 20.2: а) распределения усилий в упругих связях в раз личные моменты времени; б) изменение усилия в пятой (средней) упругой связи с течением времени; штриховой линией показано изменение усйлия посередине сплошного стержня
скоростью (20.1), то |
вдоль |
дискретной цепочки грузов |
она распространяется |
к ак |
бы м г н о в е н н о — при лю |
бом сколь угодно малом значении времени t и любом номере р по формуле (20.10) получится конечное значе ние усилия Npi
Это |
различие между двумя моделями |
носит, к а з а |
л о с ь |
бы, принципиальный характер и |
должно пре |
пятствовать замене сплошного стержня цепной системой (или обратной замене). В действительности же при до статочно большом числе п в удаленных от преграды пружинах усилия в начале процесса настолько малы, что упомянутое различие существует лишь формально. В сле дующей таблице с точностью до девяти знаков после запятой даны значения безразмерного усилия в первой
(наиболее удаленной |
от |
преграды) пружине |
для различ |
||
ных моментов времени. |
|
|
|
||
t/t* |
N J N |
t/t* |
N t/N |
t/U |
N J N |
0,4 |
0,000000000 |
0,5 |
0,000049128 |
0,8 |
0,052544295 |
0,2 |
0,000000005 |
0,6 |
0,000922264 |
0,9 |
0,195294944 |
0,3 |
0,000000008 |
0.7 |
0,009013365 |
1,0 |
0,478177871 |
0,4 |
0,000001074 |
|
|
|
|
Другое (также принципиальное только внешне) раз личие между сплошным стержнем и дискретной моделью можно обнаружить при сопоставлении спектров собствен ных частот.
Для сплошного стержня со свободными концами бес конечная последовательность собственных частот дается выражением
ks = sKc/l |
(5 = 1, 2, , . . ) . |
(20.11) |
В данпом случае высшей собственной частоты попросту не существует.
Для дискретной цепочки со свободными копцами чис ло собственных частот равно числу грузов (этот случай исследуется также с помощью системы уравнений (20.6)), и существует наибольшее значение собственной
частоты, равное |
|
|
&тах ~ 2 |
f |
(20.12) |
казалось бы, пе зависящее от числа элементов цепочки. Нужно иметь в виду, что неограниченное возрастание числа элементов дискретной цепочки может происходить по двум различным вариантам: 1) п увеличивается при фиксированных значениях с и* ттг; это означает, что про исходит «прирастание» новых элементов цепочки без
преобразования старых; 2) при увеличении п меняются жесткости с и массы т , например, так, как это дано выражениями (20.4) и (20.5).
Разумеется, первый вариант не имеет отношения к пашей задаче, а По второму варианту нужно в (20.12) подставить выражения (20.4) и (20.5) ; тогда для высшей собственной частоты дискретной цепочки получится вы ражение.
&гпах = Т |
(2(Ш ) |
неограниченно в о з р а с т а ю щ е е |
с увеличением числа |
элементов цепочки. Оказывается, что, как и для сплош ного стержня, здесь нет верхней границы для последова тельности собственных частот. Таким образом, ' и это сравнение двух моделей не обнаруживает какой-либо су щественной разницы между ними (при достаточно боль шом числе элементов дискретной системы).
§ 21. «Ложные» резонансы
Когда мы слышим, что речь идет
—о режиме вынужденных колебаний, соответству ющем максимуму амплитудно-частотной характеристики,
—или о совпадении частоты гармонического возбуж дения с одной из собственных частот механической си стемы,
—или, наконец, о появлении вековых членов в урав нениях, описывающих движение механической системы, то у нас естественно возникает мысль о резонансных си
туациях, таящих в себе известные угрозы, в первую оче редь — прочности системы. Как правило, эта мысль верна, однако в некоторых избранных (но невымышленных) случаях названные настораживающие признаки вовсе не свидетельствуют о . подлинно резонансных условиях. Последовательно рассмотрим три примера таких, можно сказать, л о ж н ы х резонансов.
С и с т е м а с с и л ь н ы м д е м п ф и р о в а н и е м . Вспомним дифференциальное уравнение движения ли нейной механической, системы с одной степенью свободы при действии гармонической вынуждающей силы:
aq + bq + cq = Q0sin of, |
(21.1) |
в котором a — инерциойный коэффициент, |
b — койффи- |
циент вязкости, с — коэффициент жесткости, Q0— ампли туда вынуждающей силы, со — частота возбуждения. Ре шение этого уравнения (для установившегося движения^ запишем в виде
q = А sin(cùt — а),
где а — сдвиг фаз, величина которого для нашего расска
за несущественна, А — амплитуда колебаний, |
определяе |
||||||
мая выражением |
|
2 |
/ 2 2 |
|
|
||
|
|
|
- 1/2 |
|
|||
|
а - ° *с |
1— ■ |
, 4?г |
со |
|
( 21. 2) |
|
|
~Г Та |
|
|||||
|
к2 = |
с/я, |
п ='Ъ/(2а). |
|
|
||
Наибольшее |
значение амплитуды |
колебаний |
достигает |
||||
ся при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со = |
fk z- |
2nz |
|
|
(21.3) |
и составляет |
(при п < к/У2) |
|
|
|
|
||
|
Лпа* = |
Q,k/{2nc n - |
rï/V)\ |
(21.4) |
В системах с умеренным вязким сопротивлением мож но пренебречь отношением п/к по сравнению с едини цей, т. е. принять вместо резонансного условия (21.3) упрощенное соотношение со = к и соответственно вместо (21.4) — выражение Amax~ Q0k/(2пс).
При значительном вязком сопротивлении максимум амплитудно-частотной характеристики выражен весьма
слабо. Например, |
при |
п = к/2 из (21.4) |
находим |
А тах= |
|||||||
с£_ |
|
|
= 1,15Ç0/с — максимальная ампли |
||||||||
гкк/т/2' |
туда всего на 15% больше стати |
||||||||||
ческого |
отклонения |
Q0/c |
(при |
||||||||
1 |
|
|
со = 0). |
Более того, |
при значе |
||||||
п>,к /Г 2 |
ниях |
|
коэффициента |
вязкости, |
|||||||
|
удовлетворяющих |
условию |
п ^ |
||||||||
|
|
|
^ к/ "]/2, |
амплитуда колебаний ни |
|||||||
О |
|
|
при |
каких |
значениях |
частоты |
|||||
Рис. 21.1. Фрагмент |
ам |
возбуждения |
со |
не |
превосходит |
||||||
статического |
отклонения |
QJc, |
|||||||||
плитудно-частотной |
ха |
||||||||||
|
рактеристики |
|
т. е. |
резонапс оказывается |
пол |
||||||
|
|
|
ностью |
подавленным |
(рис. |
21.1). |
В подобных случаях вынужденные колебания, соответ ствующие максимуму амплитудно-частотной характери стики, вряд ли уместно называть резонансными — тем бо-
лее что этот «резонанс» возникает при исчезающе малой частоте возбуждения. (В заключение подчеркнем, что
значение п = kl']/2 достаточно реально, во всяком |
случае |
оно меньше критического значения п = Æ, при |
котором |
частота свободных затухающих колебаний становится мнимой, а свободное движение системы около равновес ного положения — неколебательным.)
« П с е в д о р е з о н а н с » . Сразу обратимся к вырази тельному примеру — упругой балке с распределенными параметрами, нагруженной произвольно заданной вынуж дающей нагрузкой q(x, t) (х — абсцисса произвольного сечения, t — время). Положим, что в результате решения задачи о свободных колебаниях балки найдены собствен
ные частоты h |
и собственные функции |
Х{(х) (i = |
= 1 ,2 ,...). Тогда |
прогибы w = w(x, t) при |
вынужден |
ных колебаниях можно найти способом разложения на грузки в ряд по собственным функциям задачи о свобод ных колебаниях в виде
00 |
|
w (X, 0 = 2 В Д , |
(21.5) |
1=1 |
|
причем входящие сюда функции времени ^(^опреде лятся из дифференциальных уравнений
Ti + k\Ti = |
S* |
|
( 21.6) |
в которых |
|
|
|
I |
|
|
|
Jq (.х, t) Xtdx |
|
|
|
|
|
|
(21.7) |
О |
|
|
|
— непосредственно вычисляемые |
функции |
времени, |
ш — |
интенсивность массы балки. |
|
задана в |
виде |
Пусть, например, нагрузка на балку |
|||
g = q0(ж) sin cot; |
(21.8) |
||
тогда согласно (21.7) |
i |
|
|
|
|
|
|
|
J 9„ И Xidx |
|
|
Si = Bi sin G)£, |
0_________ |
(21.9) |
|
l |
|
JmX\dx
0
10 я. Г. Пановко
и уравнения (21.6) принимают вид |
|
Ti + к гТг2 = В{ since*. |
(21.10) |
Отсюда как будто следует, что если частота возбуж дения совпадает с какой-либо из собственных частот Ær,
то |
возникает резонанс, и соответствующее г-е слагаемое |
в |
(21.5) с течением времени будет неограниченно воз |
растать. В действительности это не обязательно: может случиться так, что соответствующий коэффициент Вп вы числяемый по выражению (21.9), окажется равным ну лю. Это в самом деле произойдет, если закон изменения амплитуд нагрузки q0(x) ортогонален r-й собственной форме.
Рис. 21.2. иллюстрирует такой случай — здесь на балку действует равномерно распределенная по пролету вынуж
дающая нагрузка qQsin со£, причем q0= const. |
Такая на |
||||||||
|
|
|
грузка, |
вследствие |
своей |
сим |
|||
|
|
|
метрии |
относительно |
середины |
||||
ГШШ'ИIfш ин |
балки, |
ортогональна |
ко |
всем |
|||||
антисимметричным, |
|
т. е. |
име |
||||||
S/S7Z |
|
|
ющим четные номера, собствен |
||||||
Рис. |
21.2. |
Двухопорная |
ным функциям; |
поэтому |
под |
||||
линный резопапс возникает при |
|||||||||
балка |
под |
действием |
кг= |
со, |
если г = |
1, 3, |
5, ... При |
||
распределенной вынуж |
|||||||||
дающей нагрузки |
г = |
2, 4, 6, .. . получится Вг= 0, |
|||||||
|
|
|
в соответствующих |
уравнениях |
|||||
(21.10) |
правые части |
исчезают, |
и нельзя |
говорить |
а ре |
зонансе, поскольку амплитуда вынуждающей силы равна нулю. Именно для этого случая иногда пользуются тер мином «псевдорезонанс».
Если углубиться в рассматриваемый вопрос, то мы прежде всего заметим, что при сколь угодно малой асим метрии распределения пагрузки нарушится и условие ор тогональности
I
j % (х) Хт{*) dx = 0 |
(г = 2,4, 6, ...), |
О |
|
а в соответствующем уравнении -{37.10) вновь возникает правая часть. Хотя она окажется очень малой, но все равно наступает резонанс и, формально говоря, размахи колебаний неограниченно возрастают с течением времени. Получается, что само состояние псевдорезонанса с прак тической точки зрения как бы неустойчиво относительно возмущений симметрии нагрузки.
С другой стороны, в наших рассуждениях не было учтено неизбежное трение. Понятно, что если его учесть, то резонанс, вызванный, вынуждающими силами с весьма малыми амплитудами, может оказаться вовсе не опасным. В конце концов можно заключить, что выполнение при веденного выше условия ортогональности, как правило, служит и достаточным основанием для того, чтобы .счи тать резонанс ложным. Разумеется, для вполне надеж ного вывода необходимы прикидочные оценки количе ственного характера.
Д е й с т в и е на б а л к у д в и ж у щ е г о с я с о с р е
д о т о ч е н н о г о |
г р у з а * ) . |
Одной из характерных черт |
||||||||
научного творчества А. Н. Крылова **) |
было |
мастерское |
||||||||
приложение |
общих |
методов |
|
математики |
и |
механики |
||||
(в частности, относящихся к ма |
|
IР |
|
|
||||||
тематической физике) |
|
к реше |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
нию практических инженерных |
к |
|
|
|
||||||
задач. Эта черта ярко выраже |
|
|
|
|||||||
на и в его работе [22], посвя |
ut |
|
|
|
||||||
щенной |
вынужденным |
изгиб- |
|
|
|
|
||||
ным колебаниям |
балок. |
избран |
|
|
|
|
||||
Изложив |
оущество |
Рис. |
21.3. |
Двухопорпая |
||||||
ного метода |
(разложение произ |
балка под действием си |
||||||||
вольно |
заданной |
нагрузки |
в |
лы, линия |
действия ко |
|||||
торой |
|
перемещается |
||||||||
ряд по |
собственным |
формам), |
|
вдоль балки |
А. Н. Крылов переходит к ил люстрациям и в качестве первого примера рассматривает
колебания однопролетной шарнирно-опертой* балки, воз никающие при равномерном движении груза передаю щего балке неизменную силу Р (рис. 21.3).
Прежде всего рассматривается вспомогательная за дача, в которой вес груза предполагается равномерно распределенным на малом участке длиной Л, Çk<l, где I — длина балки). Для случая нулевых начальных .усло вий решение найдено в видё бесконечной суммы, члены
которой |
содержат в знаменателях разности п2п2Ъ — v2l2, |
где п = |
1, 2, 3, ... — номер члена, v — скорость движения |
нагрузки, Ь2 = EJ/(pF), EJ — изгибная жесткость балки,
*) На обсуждаемые ниже неточности внимание автора обра тили С. С. Кохманюк и Л. Г. Романенко.
**) Алексей Николаевич Крылов (1863—1945) — механик, ма тематик, кораблестроитель и историк науки. Академик (с 1916 г.), Герой Социалистического Труда (1943 г.). С 1890 г. в течение почти пятидесяти лет преподавал в Морской академии в Петербурге (Ленинграде).
р — плотность |
материала, |
F — площадь сечения |
балки. |
||||
Комментируя |
полученную |
формулу, А. |
Н. Крылов пи |
||||
шет: «Формула... предполагает, что |
ни |
одно |
из |
выра |
|||
жений, |
стоящих в знаменателе, не |
может |
быть |
равно |
|||
нулю: |
n2n2b2— v2l2 Ф 0...» |
и делает |
подстрочное |
приме |
чание: «Появление этих бесконечных коэффициентов вы звано, как известно, тем, что наша задача поставлена без учета трения. Это было сделано краткости ради и при введении членов, учитывающих трение, можно разрешить проблему без дальнейших трудностей тем же методом».
Затем читаем: «Если существует |
такое |
целое число |
п = пи что |
|
|
п2п2Ъ2- v2l2= |
0, |
(*у |
то необходимо члены, отвечающие значению п = пи за менить следующими...» (мы не приводим здесь довольно громоздкие выражения полученных А. Н. Крыловым ве ковых членов, содержащих время вне знаков тригоно метрических функций). И далее: «Формула (*) говорит об известном синхронизме между периодом свободного колебания стержня и интервалов времени, в течение ко торого груз пробегает всю длину стержня». Для соответ ствующей («критической») скорости движения груза А. Н. Крылов находит
где т — половина периода основного тона свободных ко
лебаний, и заключает это обсуждение словами: |
«Для боль |
|||
шинства случаев, |
встречающихся в |
технике, |
значение |
|
(**) скорости у, |
при котором указанный выше резонанс |
|||
может иметь место, весьма велико |
и на практике |
не |
||
встречается». |
|
|
|
со |
Далее совершается переход к предельному случаю |
средоточенной силы (Я-^0), после чего А. Н. Крылов пишет, что «в случае указанного выше резонанса» сла
гаемое, |
отвечающее значению |
п = |
необходимо |
заме |
||
нить следующим выражением: |
|
|
|
|||
1 |
Pt |
п пх |
ll^TLvt |
PI |
n пх |
n nvt |
рF n^nv sin —,— cos |
Г~ |
П±П2V2 sin — sin ~T~' |
(***)
Впоследствии A. H. Крылов почти полностью вклю чил эти результаты в свои книги [23, 24], опустив, одна
ко, выражения (***) для вековых слагаемых и лишь указав, что они должны быть учтены при условии (*).
К сожалбнию, во всех этих текстах А..Н. Крылов не отмечает, что из-за ограниченности времени пребывания груза на балке вековые слагаемые не могут беспредель но возрастать, а их наибольшее значение может быть настолько невелико, что вообще неуместно говорить о резонансе (или критической скорости) — по крайней ме ре в общепринятом смысле этих слов.
Невозможно усомниться в том, что это простое об стоятельство было вполне ясно самому А. Н. Крылову, но вряд ли ему стоило рассчитывать на ту же ясность представлений у каждого из читателей. Не исключено, что некоторые из них, заметив упоминание о резонансе и увидев в решении вековые слагаемые, могли всерьез
встревожиться, |
хотя |
на самом |
деле |
шё* о |
чем |
угрожа |
||||||
ющем эти слагаемые не свидетельствуют. |
|
|
позднее |
|||||||||
Надлежащее |
разъяснение |
было |
сделано |
|||||||||
С. П. Тимошенко в |
книге. [65]. Придя |
к |
выражению |
|||||||||
(***), С. П. Тимошенко указывает, |
что |
для п== 1 |
онб |
|||||||||
достигает максимума |
в момент |
схода .груза |
с балки |
(при |
||||||||
t — l/v) |
и этот максимум равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Р1 |
|
. Jïvt |
ПЫ |
nvt |
\ |
|
. nx |
|
|
|
|
|
|
sin — |
“T |
cos “ Г |
h=*i/r> |
s mT = |
|
|
|
|
|||
рFn2v2 ( |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
PI3 |
sin nx |
(21.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
nsEJ |
|
|
|
|
Любопытно, что найденный результат не зависит от скорости груза и для середины балки всего на 55% больше статического прогиба PI3/(4&Е7).
Этими выкладками вопрос по существу был полностью исчерпан, и единственное, с чем, пожалуй, трудно согла ситься в тексте С. П. Тимошенко — это опять-таки с упо минанием о резонансе (без кавычек). Подлинно резо нансная ситуация предполагает не только известный син хронизм, о котором писал А. Н. Крылов, но и достаточ ную длительность действия возбуждения.
Наглядное представление об относительно слабой ди намичности действия одиночного подвижного груза мож но получить из решения следующей модельной задачи. Вдоль консольной балки, масса которой т сосредоточена, на кощце,4с постоянной скоростью v движется груз веса Р\ достигнув конца, груз сходит с балки. Нужно найти
движение |
копца* балки, пренебрегая |
(как и |
в задаче |
А. Н. Крылова) массой груза (рис. |
21.4, а). |
Для вер |
|
тикальной |
координаты конца* балки у, |
отсчитываемой от |
Р
Рис. 21.4. Действие «движущейся» силы на балку с одной степенью, свободы: а) схема; б) значения коэффициента динамичности при различных скоростях движения
положения равновесия при t== 0, можно получить следу ющее дифференциальное уравнение
- . 3EJ |
зPvh2- |
(21.12) |
У + ~ т У |
2ml2 |
|
ml |
|
При нулевых начальных условиях решение этого урав нения имеет вид
|
3Pvà |
|
|
|
kh2 |
7,2 |
.3 |
|
|
|
У = |
^cos kt —^-sin kt_— 1 '+ y. - |
к vt |
(21.13) |
|||||||
ml2k4 |
|
“"âT |
||||||||
Где |
k = |
У3277/ {ml3) — собственная |
частота |
балки. |
За |
вре |
||||
мя |
£* = |
l/v, в течение |
которого |
груз находится |
на |
бал |
||||
ке, прогиб |
(21.13) непрерывно возрастает и в момент |
£*, |
||||||||
когда груз сходит с балки, составляет ($=kl/v) |
|
|
||||||||
|
|
|
у* = <Р(Р3 + Зр cos Р — 3 sin P)/(mÆ2P3). |
|
|
|||||
При этом |
вертикальная скорость конца балки равна |
|
||||||||
|
|
у* =п ?Р (2 + р2 - |
2р sin Р - 2 cos P)/(2m*ps). |
|
Таким образом, наибольшее значение прогиба достигает-