книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

чале § 30 для ротора с линейно деформируемыми опо­ рами. Обозначив по-прежнему, через г координату цент­ ра масс, мы должны придать выражению (34.1) такой вид, чтобы и м . можно. было пользоваться не только при положительных, но и при отрицательных значениях г:

ния ротора; принятое здесь равенство угловых скоростей о б р а щ е н и я центра масс и в р а щ е н и я ротора — не произвольное предположение, а косвенно выражает действие сил внешнего трения, которые здесь формальна

к оси абсцисс мал и прямая пересекается с кривой 2 только в о д н о й точке, как это показано на рисунке сплошной линией. Абсцисса этой точки определяет един­ ственный в данном случае корень уравнения (34.3) и соответственно .единственный стационарный режим (ус­ тойчивый). При возрастании угловой скорости построе­ ние в принципе сохраняется, но прямая будет проходить все круче и, начиная с ^некоторого значения со, будет

Глава 8

§35. Выявление структуры сил

Вклассических курсах механики принято различать* две задачи динамики точки:

а) дана сила, действующая на материальную точку,-

обратной задачей механики мы подразумеваем определе­ ние сил по заданным свойствам движения». Здесь слова' «определить силы» имеют смысл выявления структуры сил, т. е. их зависимости от подлипно управляющих эти­ ми силами аргументов (времени, координат, скоростей) г а выражение «заданное движение» нужно понимать либо в смысле «движение, наблюденное в опыте» (когда нуж­ но истолковать экспериментальные факты),, либо в смыс­ ле «намеченное движение», (когда речь идет о какихлибо «проектируемых» типах движения). В недавно вы­ шедшей книге [18] А. С. Галиуллин справедливо отме­ чает, что именно решения обратных задач «раскрылиновые положения и явления в естественных науках; не­ которые из них оказались исходными задачами в ста­ новлении и развитии современных отраслей науки по* управлению движениями материальных систем».

Знание структуры силы — непременное условие пол­ ноты постановки любой конкретной задачи механики; без этого невозможно составить в развернутом виде диф­ ференциальные уравнения движепия. Ньютон характери­ зовал основную задачу механики -следующими словами: «Из рассмотрения совершающихся явлений движения

как раз и говорит, в сущности, об установлении струк­ туры силы. Л. И. Седов по этому поводу пишет (см. [58а]): «...даже в рамках классической механики теоре­ тическую проблему о составлении дифференциальных уравнений движения нельзя считать простой и уже принципиально разрешенной. Как раз задача о состав­ лении уравнений движения, задача о действующих силах, т. е. о правых частях дифференциальных уравнений дви­ жения, является основной задачей физических исследова­ ний, причем, даже в условиях возможного применения классической механики эта задача не разрешена в очень многих случаях ».

Для установления структуры силы опираются на ра­ зумно ориентированные наблюдения над природными про­ цессами, а в технических проблемах — на целеустремлен­ ные и хорошо поставленные эксперименты. Именно так были установлены и фундаментальные соотношения фи­ зики, такие как закон всемирного тяготения, и более ча­ стные законы — законы сопротивления среды движущим­ ся телам, законы деформирования твердых тел и т. и.

Разумеется, осмысливание и обработка опытцых дан­ ных, использованных для выявления структуры силы, невозможны без соответствующей теоретической основы.

В некоторых случаях структура силы может быть вы­ явлена не только путем наблюдений за движением, а с помощью соображений, выходящих за рамки механики (например, лореицева сила действия электромагнитного поля на заряженную частицу). Тогда выявление струк­ туры сил становится «внемеханической» задачей. В кни­ ге [2] читаем: «...сила — результат сложных физических процессов, обусловливающих взаимодействие материаль­ ных объектов. Механика не изучает физическую природу этих взаимодействий. Поэтому силы как функции поло­ жений и скоростей материальных точек или тел в на­ шей конкретной мехаиической задаче считаются извест­ ными — их определяют в иных дисциплинах». И далее: «...основная задача механики как науки начинается толь­ ко после того, как такая предварительная и, вообще го­ воря, выходящая за рамки механики работа проделана и сила задана как фупкция времени, координат точек си­ стемы и их скоростей». С этими соображениями можно согласиться, если структура силы может быть выявлена без анализа вызываемого ею движения.

Добавим к сказанному, что именно к обратным за­ дачам механики сводится проблема формулировки опре-

деляющих (реологических) уравнений, характеризующих свойства реальных сплошных сред, в частности, твердых деформируемых тел.

Во многих современных учебниках теоретической ме­ ханики совершена замена терминов: задачу б называют п е р в о й задачей динамики точки, а задачу а — в т о р о й задачей. Хотя трудно понять, для чего потребовалось ломать традицию, но сама по себе такая ломка — еще полбеды. Хуже другое: в учебниках теоретической меха­ ники — возможно, вопреки желанию их авторов — чита­ телю очень часто внушается мысль о том, что задача б 'относительно проста и на ней — мол долго можно не задерживаться. Делается это на основании сугубо упро­ щенного, обедненного толкования слов «найти силу».

Вот, например, как в одном из учебников характери­ зуется решение такой задачи (приводим дословную цита­ ту, изменив только нумерацию формул):

«Первая задача проста и ее решение легко доводится до конца. Если заданы кинематические уравнения дви­

и масса точки 7/г, то сила, вызывающая это движение, имеет проекции

F ^ m f ^ t ) , F y =z F z = m f 3(t) (35.2)

и, таким образом, в любой момент времени может быть найдена простым дифференцированием по времени ра­ венств (35.1).»

Конечно, в задачах механики нередко рассматривают­ ся силы, которые управляются как бы самим временем (например, вынуждающие силы в задачах о колебаниях механических систем); их изменение во времени проис­

нако любое заданное движение (35.1) могло быть ре­ зультатом действия сил и иного характера (иной струк­ туры), а именно таких, которые сами зависят от движе­ ния, т. е. от координат точки (скажем, упругих сил) или/и от ее скорости (положим, сил вязкости).

Такая возможность в выражениях (35.2) совершенно не отражена, и хотя переход от (35.1) к (35.2) действи­ тельно очень прост, но при этом мы получаем ответ на вопрос лишь о том, как изменялась сила в процессе заданного конкретного движения. Иногда такой ответ

15 Я. Г. Паншшо

может оказаться достаточным и полезным в тех или иных частных целях, однако выражения (35.2) не определяют подлинной структуры силы, не позволяют выделить и да­ же назвать управляющие аргументы, а, следовательно, не дают никакой возможности предсказать движение при измененных начальных условиях. Чаще всего эта поста­ новка вопроса вообще не представляет интереса.

Гораздо более содержательна иная постановка обрат­ ной задачи, когда слова «найти силу» означают «найти структуру силы» (иногда также говорят «найти закон силы»). Легко убедиться в том, что любое конкретное дви­

ти структуру силы. Приведем пример, показывающий, что из анализа заданного частного движения вытекает бес­

Хотя нельзя утверждать, что выражение (35.5) обя­ зательно представляет собой истинную структуру силы, но, не исключено, что движение в самом деле вызвано силой, заданной в виде явной функции времени. Не­ надолго поверим в это, и определим движение той же точки при иных начальных условиях, скажем, таких:

предложить здесь любые другие варианты, отличающиеся от (35.4)).

Поскольку структура силы принята в виде (35.5), нужно интегрировать уравнение

тпх= —mAh2sin Ы

структуры:

Fx = — шк2 (я + Л sin ht)/2,

=— шк2(0,1х + 0/М sin /с£)

ит. д. до бесконечности, причем различным вариантам структуры силы соответствуют несовпадающие описания движения при измененных начальных условиях.

Вэтом примере отчетливо видно, что выражения (35.2) сами по себе совершенно недостаточны для выяв­

ления структуры силы. Если исходить из одного конкрет­

то задача приобретает должную определенность. Но тог­ да существенна мотивировка выбора; во всяком случае,

жащие пояснения нередко отсутствуют. В качестве при­ мера дословно приведем'еще одну цитату из распростра­ ненного учебника:

«Уравнения движения точки массы т имеют вид

Находим проекции равнодействующей

X— тх = —ink2г cos kt,

Y= ту = —mkzr sin kt.

Определяем модуль и направление силы

Р = УХ2 + Y2 — тк2гУcos2 kt + sin2 kt = mkzr, (35,12)

cos (P, i) = -р- = — cos Ы — —

Y

cos (P, j) = -р- = — sin kt = —

Углы, составленные направлением силы Р с направлени­ ями осей координат, имеют значения

^ (P , i ) = 180° — Ф, ^ (Р , j) = 90° + ф,

т. е. в любой момент сила направлена к началу коорди­ нат О.

Таким образом, установлено, что на точку действует сила притяжения, модуль которой пропорционален массе точки и ее расстоянию от центра притяжения О.»

Заметил ли читатель, что буквально в последних сло­ вах этого отрывка молчаливо введена дополнительная ги­ потеза? В самом деле, хотя согласно выражению (35.12) модуль силы Р равен тк2г, но это равенство вовсе не обязательно определяет структуру силы, как это, в сущ­ ности, утверждается в конце цитаты.

Из названного выражения (35.12) можно сделать и иные (столь же легкомысленные) заключения. Заметив, например, что в рассматриваемом случае движения мо-

началу координат, а ее модуль пропорционален массе точки и ее скорости».

Таким образом, одного частного случая движения принципиально недостаточно для выяснения структуры силы; понятно, что это относится не только к задачам динамики материальной точки, но вообще к задачам ди­ намики любых механических систем. В 1938 г. H. Н. Да­ виденков*), занимаясь проблемой описания сил внутрен­ него трения, обнаружил, что экспоненциальный закон за­ тухания свободных колебаний может оказаться следствием действия не только сил линейного вязкого трения, но и

*) Николай Николаевич Давиденков (1879—1962) — советский ученый в области механики, академик Академии наук УССР, с 1926 г.— профессор Ленинградского политехнического института. Основные труды посвящены проблемам механики материалов.

спл несколько иного тнпа (мы не будем останавливаться здесь на деталях этого вопроса) п комментировал эту си­ туацию в яркой афористической форме: «одинаковые следствия могут быть порождены различными причина­ ми»; эта фраза может быть отнесена к довольно широко­ му кругу явлений и выражает некое общефилософское утверждение.

Итак, без дополнительных гипотез выражения (35.2) не дают возможности выявить структуру силы. Но как же нужно поступать, если, следуя выражению Ньютона, «не выдумывать гипотез»? Должен же существовать ка­

опирается не на какой-либо один изолированный случай движения типа (35.1). Для восстановления (идентифи­ кации) структуры силы нужно обладать более обширной информацией, а именно, рядом частных законов (запи­ сей движения), полученных при различных начальных условиях. Такие частные законы движения нужно обоб­ щить так, чтобы вместо (35.1) была образована зависи­ мость координаты не только от времени, по и от началь­ ных условий (обобщенный закон движения)

Идея дальнейших выкладок состоит в следующем. Дифференцируя (35.13) по времени, последовательно на­ ходим скорость и ускорение точки в зависимости от вре­

(35.15). Это и даст искомое описание структуры силы в