книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

ниях как вследствие трения внутри материала, так и из-за конструкционного трения, возникающего, например^ между валом и ступицей диска, в цанговых зажимах и т. д.

Имея в виду изучить здесь влияние сил трения обо­ их типов, воспользуемся припятой в § 30 вращающейся координатной системой (см. рис. 30.4) ,и составим диф­ ференциальные уравнения относительного движения ро­ тора. Силу внешнего трения по-прежнему примем -про­

с относительным движением, т. е. в конечном счете опре­ деляется относительной скоростью vr. Предполагая и здесь линейную зависимость этой силы от скорости уТг запишем

-Ь 0\г = - b 0(li+ rjj),

ющими влияние внешнего трения. Параметр щ сюда но входит/ так как силы внутреннего трения при относи­ тельном покое отсутствуют.

Рассматривая возмущенное движение I = £* + б£ <ц= щ + 6г], придем к однородной системе дифференци­ альных уравнений для б| и бг), а затем — к характери­ стическому уравнению

г д е

В3 = 4 (га + щ), i?2 = 4 (га + га0)2 + 2 (к2 + со2),

В0 = (А:2 — ю2)2 + 4га2ш2.

Для устойчивости рассматриваемой системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех кор­ ней .уравнения {32.3) были отрицательными, что соот­ ветствует выполнению условий Рауса — Гурвица, кото­ рые имеют вид (см. выше (18.12) в § 48)

Особенно просто исследуются случаи, когда имеется только внешнее или только внутреннее трение. В первом

ское уравнение имеет по крайней мере один корень с положительной вещественной частью и возмущенное дви­ жение приобретает характер колебаний с возрастающими размахами.

Разумеется, такой процесс будет сопровождаться уве­ личением энергии ротора. Было бы о ш и б о ч н ы м ду­ мать, что это происходит из-за того, что силы внутренне­ го трения каким-то образом совершают положительную

энергии от привода в систему. Положительную работу сойершает создаваемый приводом вращающий момент,

который обеспечивает предположенное выше постоянство угловой скорости; эта работа расходуется на увеличение энергии ротора и на потери, связанные с действием сил внутреннего трения. На эти обстоятельства обратил вни­ мание В. В. Болотин в книге [13].

Напомним, что условие устойчивости в виде (32.7) соответствует отсутствию внешнего трения. При одно­ временном учете внешнего трения порог возникновения неустойчивости отодвигается, и с помощью (32.5) можно получить условие устойчивости в выразительной форме

(32.8)

Иначе обсуждается вопрос о влиянии внутреннего трения на устойчивость вращающихся роторов в получив­ шей всемирное признание книге С. П. Тимошенко [65], автор которой славится мастерством простого и ясного анализа самых сложпых механических явлений. Верный своему принципу, С. П. Тимошенко и в рассматриваемом

движения центра вполне уравновешенного диска С. П. Ти­ мошенко записал в виде

тх + сх + ау = 0, ту + су — ах = О

и. из простого анализа этих уравнений получил, что ро­ тор всегда неустойчив. Сразу настораживает, по-видимо­ му, незамеченное С. П. Тимошенко простое обстоятель­ ство: к тому же выводу о неустойчивости можно прийти, изменив направление силы внутреннего трения па обрат­ ное, когда дифференциальные уравнения записываются в виде

тх + сх — ау = 0, ту + су + ах = 0.

Конечно, такой анализ неверен, хотя бы потому, что из него следует явно ошибочный результат о неустойчи­

(величины к\ = cjrrt и к\ = с21пь представляют собой соб­ ственные частоты невращающегося вала при его колеба­ ниях в направлениях главных осей жесткости). Далее*

к характеристическому уравнению

Я4 + Я2 (к\ + к\ + 2со2) -f- (kl — о)2) (к\ г— а>2) == 0.

Решив это уравнение относительно Я2, получим

X2=4 [ - (*ï + *5 + 2®2)± V (*5 - **)“ + 8ш2(*1 + А|)].

(33.1>

Так как подкоренное выражение положительно, та оба найденных значения Я2 вещественны. Следовательно* соответствующие значения Я либо чисто мнимые, либо вещественные; комплексных значений Я в этой задача нет. Мнимым значениям Я соответствуют колебания с по­ стоянными амплитудами, а вещественным отрицательным значениям Я —. неколебательный затухающий процесс. В обоих этих случаях вал может быть признан устой­ чивым.

Однако, если какой-либо из в е щ е с т в е н н ы х кор­ ней Я оказывается п о л о ж и т е л ь н ы м , то с течением времени отклонения | и ц будут неограниченно возра­ стать, что свидетельствует о неустойчивости вала. Для положительности одного из корней Я необходимо, чтобы

Таким образом, различие главных жесткостей вызы­ вает появление конечной зоны неустойчивости, соответ­ ствующей интервалу частот [ки к2]; при ki = к2 эта зона вырождается в единственную опасную точку ю = к.

Примечательный случай соответствует бесконечна большой жесткости в одном из главных направлений.. Если, например, с2-*• «>, То зона неустойчивости начина­ ется при о) == kt и простирается до бесконечности. Суще­

ство этого результата легко понять, обратив внимание на то, что при с2->• °° вал может изгибаться только в одной из главных плоскостей, т. е. исчезает одна степень сво­ боды и ротор приобретает свойства системы, показанной на рис. 30.3 (как мы писали в § 30, при со > к она не­ устойчива).

При учете внешнего трения вместо неравенства (33.2) получается более сильное неравенство

которое определяет и более узкую зопу неустойчивости.

т. е. неустойчивость, связанная ; с внутренней анизотро­ пией, полностью подавляется внешним трением.

Случай в н е ш н е й анизотропии естественно и удобно анализировать в неподвижной координатной системе. Есци пренебречь трением, то дифференциальные урав­ нения движения можно сразу получить из (29.2), введя, конечно, различие между коэффициентами жесткости ci и с2 в двух главные направлениях, параллельно которым ориентируем координатные оси. После этого вместо (29.3) получится при п = 0:

х + к\х = к\е cos ю£,

(33.5)

У + к\у = к\е sin оо£,

где к\ = cjm, к\ = с2/пг. Стационарный режим описыва­ ется частными решениями уравнений (33.5)

в которых

(33.7)

Очевидно, что в данном случае критические состояния возникают при со = ki и со = к2.

Если из (33.6) исключить время, то мы найдем траекторию точки С — эллипс, по которому точка С

ния вала, о полном синхронизме двух движений гово­ рить нельзя, так как угловая скорость обращения пере­ менна.

На рис. 33.2 в качестве иллюстраций показаны тра­ ектории и направления движения центра масс для трех

Ж

Рис. 33.2. Примеры движения в условиях внешней анизотропии; в случаях а) и в) — прямая прецессия, б) — обратная прецессия

значений угловой скорости вала в характерных диапазо­

лению вращения вала. Если вглядеться в соотношения (33.7), то станет ясным, что это явлепие (обратная пре­ цессия) связано с тем, что величины А х и Az имеют различные знаки, и возникает всегда, если угловая ско­ рость вращения располагается в промежутке между соб­ ственными частотами (Лг4< со < Лг2) . Отметим, что эти же неравенства нам встречались в задаче о роторе с внут­ ренней анизотропией, где, однако, они определяют не

условия обратной прецессии, а согласно теореме Прандтля — область неустойчивости *).

Естественно, что еще более своеобразны явления, воз­ никающие при сочетании свойств внутренней и внешней •анизотропии. Отметим, например, любопытный случай, когда движение внутренне анизотропного вала ограничен­

уравнение колебаний имеет вид уравнения с перемен­ ными коэффициентами (уравнение Матье)

У + т ( 1 + С' С* sin2(ûi) У= 0

п описывает параметрические колебания. Здесь также возможна неустойчивость (параметрический резонанс) , но границы областей неустойчивости определяются не­ сколько сложнее, чем в рассмотренных выше случаях. Решение этой задачи было дано В. В. Болотиным (см. его книгу [12J).

§ 34. Влияние нелинейной упругости

и роликоподшипники. Известно, что при сжатии упругих шаров связь между сжимающей силой и соответствую­ щим упругим обжатием нелинейна:

*) Внешняя анизотропия — не единственная причина возник­ новения устойчивой обратной прецессии в роторных системах; то же явление возникает из-за гироскопического эффекта при пере­ косах плоскости диска.

В записанном здесь законе Герца *) коэффициент К оп­ ределяется геометрией контактирующих тел и упругими постоянными их материалов. Например, при сжатии уп­ ругого шара по схеме, изображенной на рис. 34.1, К =

соответственно модуль упругости и коэффициент Пуас­ сона. В данном случае у — сближение тел А и В (точнее говоря — сближение точек этих телг достаточно удаленных от контакт­

ной зоны).

Природа этой конструктивной не­ линейности проста: в самом начале нагружения, когда существует лишь точечный контакт, жесткость равна нулю, но при увеличении нагрузки площадь контакта возрастает и же­ сткость становится большей.

Соотношение (34.1) получено Герцем в результате решения стати­ ческой задачи теории упругости и безупречно в той же степени, в ко­

торой верна сама эта теория. Герц предложил пользо­ ваться тем же соотношением (в качестве приближенного) и для условий динамического нагружения; это приемле­ мо в случае не слишком ^быстрого изменения нагрузки (существуют подлежащие количественные оценки).

Часто считают, что для описания упругих свойств шарикоподшипниковой опоры в целом также можно поль­ зоваться соотношением (34.1) с соответственно изменен­ ным значением коэффициента К ; ниже этот модифици­ рованной коэффициент будет обозначаться буквой В.

Для того чтобы отчетливо выявить влияние нелиней­ ности на динамику ротора, положим силы трения ис­ чезающе малыми и будем искать стационарные режимы из условий относительного покоя во вращающейся ко­ ординатной системе — так, как это было сделано в на­

*) Генрих Рудольф Герц (1857— 1894) — профессор физики в Карлсруэ и Бонне. Экспериментально доказал существование элект­ ромагнитных волн, открыл внешний фотоэффект и др. «Хотя тео­ рия упругости занимала в научных достижениях Герца сравни­ тельно скромное место, мы все же обязаны ему решением ряда трудных проблем, представлявших к тому же, и большое практи­ ческое значение» [64, с. 417].