книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

пых колебаний любой линейной системы с одноц сте­ пенью свободы при гармоническом возбуждении, пропор­ циональном квадрату частоты: сначала происходит рост значений г и при со ~ к наступает критическое состояние,, когда прогиб вала достигает максимума

Затем прогиб постепенно уменьшается и при больших значениях со приближается к значению е. Зависимость безразмерного прогиба rie от безразмерной угловой ско­ рости (ù/k показана сплошной линией на рис. 29.2, где*

штриховой линией изображено изменение безразмерного соотношения А/е, определяющего удаление центра масс С

Максимумы кривых, показанных на рис. 29.2, в дейст­ вительности соответствуют немного различающимся зна­ чениям со; впрочем, это различие, как правило, настолько невелико, что нет практического смысла даже поднимать вопрос о том, какое из этих двух зпачений со следует счи­ тать критическим. Обычно полагают, что критическое со­ стояние наступает при со/к = 1, когда угловая скорость вращения равна собственной частоте невращающейся си­ стемы вал — диск, а упругий прогиб вала имеет мак­ симум.

Как видно, при всей своей относительной простоте рассмотренная модель позволяет уловить и аналитически описать важнейшие особенности динамики вращающих­ ся валов —- стационарные режимы, критические состояния

Йй ведливым и для модели на рис. 29.3, если

Апод с понимать коэффициент жесткости упру-

(или коэффициента п) обычно трудно указать с большой точностью, а иногда речь может идти только об оценке порядка величины, однако учет силы трения — пусть да­ же сугубо приближенный, скорее качественный, чем ко­ личественный,— п р и н ц и п и а л ь н о необходим. Дело в том, что если с самого начала полностью пренебречь силами трения, то в решении формально нельзя усмотреть затухающие колебания и выделить устойчивый стационарный режим — режим, к которому стремится система при любых начальных условиях или к кото­ рому она асимптотически возвращается после его воз­ мущения.

Отметим, что для учета сил трения часто пользуются (и не только в задачах о роторах) формально иным, но вполне приемлемым и в принципе почти эквивалентным способом: в дифференциальные уравнения силы трения вообще не вводят, но как бы вспоминают о них при запи­ си общего решения упрощенной задачи и учитывают их действие тем, что попросту отбрасывают решение одно­ родной задачи, удерживая в результата^ только частное

Из (30.3) следует простое выражение для прогиба

Отсюда непосредственно видно, что с приближением угловой скорости к критическому значению

прогибы неограниченно возрастают. В закритической об­ ласти при со > (окр прогибы о т р и ц а т е л ь н ы и харак­ терные точки расположены, как показано на рис. 30.2, б;

да, кроме случая* когда о = сокр. В последнем случае зна­ чение г оказывается неопределенным, так как независимо от г центробежная сила ттго)2г точно уравновешивается упругой реакцией вала —сг.

Такой анализ подкупает своей простотой; он легко позволяет определить прогибы и найти значение крити­ ческой скорости, а также описывает явление самоцентри­ рования. Однако, если вдуматься в существо приведен­ ных выкладок, то могут возникнуть некоторые дополни­ тельные вопросы.

Прежде всего в изложенной трактовке не вполне ясно, почему исследуется только один, в общем, п р о и з в о л ь ­ но в ы д е л е н н ы й тип движения, при котором -угловая скорость вращения изогнутой оси вала со принимается равной заданной угловой скорости вращения диска. Ко­ нечно, такое движение (прямая синхронная прецессия) — это,-очевидно, примечательный, но вовсе не единствен­ ный вид движения; наряду с ним, очевидно, существует множество других видов движения, как бы не замечен­ ных, по крайней мере не упомянутых в приведенных рас­ суждениях.

Но если даже есть какие-то неназванные здесь дово­ ды, заставляющие выделить рассмотренный случай и счи­ тать его особо существенным (эти доводы связаны с дей­ ствием внешнего трения и подробно обсуждены в конце предыдущего параграфа), то приведенный выше анализ

стояния относительного покоя вовсе не следует его устой­ чивость.

Хотя мы знаем, что найденное решение устойчиво (это было выяснено в § 29), но все же не поленимся про­ следить за следующим простым рассуждением об устой­ чивости (благодушного читателя попросим настроиться на критический лад).

Представим себе, что относительный покой некоторым образом нарушен, и радиус-вектор точки М получил ма­ лое возмущение бг. Так как при этом появляется допол­ нительная сила упругости —сбг и дополнительная цент­ робежная сида 77zco2ôr, то полная дополнительная сила определяется выражением ÔP = (ягсо2 — с) ôr. Кажется, что вопрос об устойчивости полностью решается направ­ лением дополнительной силы 6Р — если оно противопо­ ложно возмущению ôr, то контролируемое состояние от­ носительного покоя устойчиво; если же направления до­ полнительной силы 6Р и возмущения ôr совпадают, то на­ званное состояние следует признать неустойчивым.

Такое рассуждение может показаться достаточно убе­ дительным — рассуждения этого тийа нередко применя­ ются для решения вопроса об устойчивости состояния покоя механических систем с одной степенью свободы или для иллюстрации решения, полученного каким-либо иным путем. В нашей задаче из этого рассуждепия сле­ дует, что устойчивость зависит только от знака разности тсд2— с — если она отрицательна, то состояние относи­ тельного покоя устойчиво, но если эта разность положи­ тельна, то это состояние неустойчиво.

Вот и неожиданность: так как при со > сокр названная разность положительна, то состояние относительного по­ коя в закритической области нужпо признать неустойчи­ вым. Этот вывод должен вызвать недоумение, поскольку ожидалось, что устойчивость имеет место как при со < сокр, так и при ю > (оКр. Где же ошибка?

Она была совершена в самом начале приведенного здесь рассуждения,.когда нашей системе было «навяза­ но» свойство, которым она в действительности не облада­ ет: предполагалось, что точки О, М, С все время находят­ ся наодной прямой — не только в стационарном режиме, для которого это верно, но и в возмущенном движении. Иными словами, в изложенном анализе устойчивости

точки С вдоль вращающегося радиуса ОС неизбежно по­ является кориолисово ускорение, перпендикулярное это­

Рис. 30.3. Система с одной степенью свободы: а) состояние покоя; 6) состояние относительного покоя в докритяческой области (ус­ тойчивое!); в) состояние относительного покоя в закритической области (неустойчивое!)

вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной уг­ ловой скоростью со, и упругозакреплеыной на рамке втул­ ки, которая может без трения скользить вдоль горизон­ тального верхнего стержня. Если обозначить через т мас­

удлинение пружины, а через с — ее коэффициент жестко­

с о > с о кр) . В данном случае вполне уместно и изложенное

ное отличие этой системы от рассматриваемых в этой главе роторов состоит в том, что сама конструкция (рис. 30.3) обеспечивает коллинеарность силы упругости и центробежной силы — не только в стационарном режи­

мерно вращающейся вокруг точки О с угловой скоростью

динаты точки С во вращающейся системе, а через i, j — орты осей этой системы.

В дифференциальные уравнения относительного дви­ жения диска нужно ввести силу упругости вала

—сг = —с(р — е) = —с[(| — e)j + T)j],

V

переносную силу инерции (we — переносное ускорение)

нию специально посвящен следующий параграф. Уравне­ ния относительного движепия в проекциях на подвижные оси имеют вид

ml = — с (g — е) + нгсо2£ -f 2/жоц,

тц = — сг\ + пио2г\— 2modi,

Любопытно, что сюда время явно не входит, т. е. урав­ нения описывают автономную систему, хотя в неподвиж­ ных осях соответствующие уравнения (29.3) описывали неавтономную систему. Отсюда, между прочим, можно за­ ключить, что свойства автономности или иеавтопомности не абсолютны, а зависят от выбора координатной систе­

мы. К этому, довольно простому, но обычно не обсужда­ емому факту мы еще раз вернемся в конце настоящего параграфа.

Подставив в уравнения dm = к2, получим

Î — 2ют1+ (к2 — со2) £ = к2е,

(30.6)

г) + 2о4 + (к2— со2) ц = 0.

Конечно, к этой системе можно было прийти и с по­ мощью формальной замены

х = g cos cot — Г] sin cot, у = g sin cot + rj cos соt

в уравнениях (29.2), по хотя бы в целях контроля полез­ но рассмотреть и независимый вывод, не требующий предварительного изучения задачи в неподвижной коор­ динатной системе.

Неоднородная система уравнений (30.6) имеет част­

которое и описывает относительный покой диска, т. е. стационарный режим движения системы. Теперь можно перейти к анализу устойчивости этого состояния, предпо­ ложив, что он каким-то образом нарушен и возникло воз­ мущенное движение, описываемое выражениями

стему, ненулевые решения которой возможпы только в том случае, если равен нулю определитель