книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

В этой зоне, длину которой обозначим через а2, силы трения меняют знак и действуют в направлении оси х. Условие равновесия полосы (рис. 15.1, г)

аР + qaz — q (щ m« — а2) = О

позволит найти длину зоны обратных перемещений в виде

прямого проскальзывания aimax в конце первого этапа. Правее сечения X Û-2max состояние сохраняется таким же, как и в конце первого этапа. На втором этапе для

Постоянные в решении уравнения (15.6) определяются условиями

Щ (а2, а) = их(a2t 1), и2(0г a) = — aP&EF)\

первое из них выражает совпадение значения и2 на пра­ вой границе зоны обратных смещений со значением ии полученным для того же сечения в конце первого этапа; второе условие относится к начальному сечению. В ре­ зультате можно найти

коном нагружения. Естественно, что в конце второго этапа, т. е. после полной разгрузки, начальное сечение не возвращается в исходное положение и образуется оста­ точное перемещение Р2/(4д2?Р), составляющее половину перемещения в конце первого этапа. Можно сказать, что

чальной зоне полосы вновь возникнут положительные перемещения; распределение сил трения показано на

рис, 15.1, д. Из условия равновесия полосы

С&Р - («1 шах — СЬчmax) <1 ~ d3q + (d2юах — Cl3) q = О

длина зоны положительных смещений совпадает с дли­ ной зоны обратных перемещений в конце второго этапа. При дальнейших повторных разгрузках и нагружениях дополнительные деформации будут возникать только в пределах этой длины.

Дифференциальное уравнение для щ вновь принимает вид (15.4), а его решение должно удовлетворять гранич­ ным условиям

Щ (а3х а) = “ г («з. °). и'з(0, а) = — aPj(EF).

В результате получим

Отсюда, в частности, следует, что в конце третьего этапа, когда а = 1, все сечения оказываются там же, где они располагались в конце первого этапа. Кроме того, имеем

Ha рис. 15.2, а показана полная характеристика рас­ смотренной упругофрикционной системы — связь между

Рис. 15.2. Петля конструкционного гистерезиса: а) схема петли; б) площадь петли в зависимости от интенсивности предельной си­ лы трения.

параметром нагружения а и перемещением начального сечения и(0, а) на всех трех этапах. Здесь ясно видна не только нелинейность, но и несовершенная упругость системы.

ходя до плоскости заделки*). Предположим, что каса­ тельные напряжения, вычисляемые по формуле сопро­ тивления материалов (формуле Журавского), меньше предельного значения т0, определяемого законом Кулона. Отсюда как будто следует, что накладки деформируются совместно с балкой, а касательные напряжения реализу­ ются в виде сил трения покоя {сил сцепления), одинако­ вых по значению и направлению. Но тогда, например, верхняя накладка оказалась бы нагруженной так, как это показано на рис. 16.2, б; однако эта схема невозмож­ на, так как она не удовлетворяет условиям равновесия. Поэтому необходимо предположить, что на некоторой части накладки контактной поверхности происходит про­ скальзывание накладки по балке. В этой области каса­ тельные напряжения должны иметь обратное направле­ ние и определяются уже не формулой Журавского, а рав­ ны предельному значению т0 (рис. 16.2, в). Длина этой области определяется ' из условия равновесия накладки, причем проскальзывание возникает с самого начала на­ гружения. При увеличении нагрузки на балку размеры

разные стороны. При дальнейшем росте нагрузки Р усло­ вия нагружения накладки не меняются.

Отметим также задачу о циклическом деформирова­ нии консольной балки, составленной из двух одинаковых

*) Вряд ли эта конструкция удачпа с практической точки зре­ ния — конечно, в интересах прочности следовало бы довести пакладки до защемления и здесь их закрепить. Несмотря на это оче­ видное соображение, анализ схемы Бяня — Халловела поучителен в методическом отношении.

балок, прижатых одна к другой давлением р (Гудман и

аР, мала, касательные напряжения в плоскости контак­ та балок, определяемые формулой Журавского, меньше, чем предельное значение т0; взаимное проскальзывание балок отсутствует, и происходит совместная деформация обеих частей как единой балки. На этом начальном этапе Нагружения рассеяние энергии не происходит. Когда в процессе роста силы аР касательныенапряжения достигают предельного значения т0, между балками начинается проскальзывание, и притом сразу по всей длине.

Гудман и Кламп проанализировали весь симметрич­ ный цикл нагружения, нашли площадь петли гистерези­ са и, в частности, установили, что существует некоторое оптимальное значение давления р, при котором рассеи­ ваемая за цикл механическая энергия оказывается наи­ большей. Это легко понять с помощью следующего про­ стого рассуждения. Если давление отсутствует, то силы трения вообще не развиваются и рассеяния энергии пет. С другой стороны, при доетаточно больших значениях давления энергия также не рассеивается из-за отсутствия проскальзывания между балками. Следовательно, с ро­ стом р рассеяние механической энергии должно сначала увеличиваться, а затем уменьшаться. Ниже мы подробно рассмотрим эту задачу.

В работе [21] (1959 г.) рассмотрен циклический чи­ стый изгиб балки с прижатыми к ней накладками (рис. 16.3, б). В средней части балка деформируется совместно с накладками; здесь происходит чистый изгиб в обычном смысле слова, между балкой и накладками касательные усилия отсутствуют. Концевые участки на­ кладок нагружены так, как показано на рис. 16.3, в, причем касательные, усилия, равномерно распределенные на концевом участке длиной а, уравновешивают продоль­ ную силу, действующую в сечениях накладки в средней ее части. Разумеется, что при увеличении момента дли­

с чисто фрикционным взаимодействием между соеди­ няемыми элементами (обзор этих работ см. в книгах [21] и [42]).

Рассмотрим подробности симметричного цикла нагру­ жения для задачи Гудмана и Кламда, схема которой бы­

и обе балки изгибаются как одна цельная балка. При этом прогиб конца определяется обычной формулой

где I — длипа конструкции, J= bhzl 12 — момент инерции сечения одной из балок, &, h — ширина и высота такого сечения.

Когда касательные напряжения, определяемые форму­

достигнут значения т0, наступает конец первого этапа. При этом

Рис. 16.4. а) Нагружение балок; б) образование петли гистерезиса

проскальзывание с р а з у по всей длине I. При дальней­ шем росте силы аР касательные напряжения остаются

достоянной равномерно распределенной моментпой на­ грузкой

При этом прогиб конца балки составляет

внешней силы а Р, наступает новый, третий этап про­

цесса. На этом этапе силы трения постепенно уменьша­ ются, и так как т < т0, то проскальзывание сразу стано­ вится невозможным и возникает жесткое сцепление обеих балок по контактной поверхности. Касательные напря­ жения цо контактной поверхности равны

(Заметим, что при малых значениях а величина т ста­

Из выражений (16.4) и (16.10) видно, что жесткость балки на этом этапе равна жесткости на первом этапе.

На рис. 16.4, б показано течение процесса на первых трех этапах (сплошная линия). Заметим, что при полной разгрузке, когда а = 0, образуется остаточный прогиб

Подобным же образом исследуются дальнейшие эта­ пы, показанные штрихами на рис. 16.4, б. На ч е т в е р ­ т о м этапе происходит проскальзывание по поверхности

обеих балок. Конец четвертого этапа соответствует мини­

ния пет. После того как вновь начинается проскальзы­ вание, наступает ш е с т о й этан; его продолжением слу­ жит второй этап, и, начиная с а = а0, весь цикл повто­ ряется.

Рассеиваемая за полный цикл энергия равна площади

мума величины ¥ как функции от предельпого значения т0, т. е. при заданном коэффи­ циенте трения — от давления р (рис. 16.5).

Тщательно поставленный эксперимент Гудмана и Клампа подтвердил высокую точность полученных ре­ зультатов.

Вернемся к изображенной на рис. 16.3, б схеме балки прямоугольного поперечного сечения с тонкими наклад­ ками, которые прижаты к балке давлением р. Концевые