книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

ка равна нулю, Т == l,0265gZ. Таким образом, натяжение

вш л а н г е почти неизменно по всей его длине. Теперь обратимся к более общей постановке задачи и

выясним, что изменится, если жидкость движется вдоль неподвижного шланга с некоторой заданной скоростью v. Предполагается, что рассматриваемый шланг является участком некоторого трубопровода, который продолжает­ ся в обе стороны от закрепленных концов шланга; для определения динамического (дополнительного к гидроста­ тическому) давления жидкости на шланг можно восполь­ зоваться теоремой Эйлера, согласно которой для любого объема яшдкости, выделенного двумя сечениями, равна нулю сумма главного вектора динамических реакций

Рис. 1.2. К определению давления жидкости на шланг (выписаны модули векторов): а) векторная схема к теореме Эйлера; б) силы, действующие на элемент шланга

шланга и векторов секундных количеств движения жид­ кости, протекающей через названные сечения шланга, направленных внутрь выделенного объема. Соответству­ ющая схема для жидкого элемента показана на рис. 1.2, а, где R — интенсивность центростремительной силы, т. е. динамической реакции шланга . (реакция, рассчитанная на единицу длины осевой линии), тп— масса жидкости, протекающей через сечение в единицу времени. В нашем случае m = q2vfg, и согласно теореме Эйлера (в проек­ циях на нормалыж элементу) имеем

где р — радиус кривизны осевой линии шланга. Конечпо, выражение (1.5) можно было сразу выписать как произ­ ведение погонной массы жидкости qjg на центростре­ мительное ускорение и2/р.

Интенсивность динамического действия жидкости на шланг, т. е. интенсивность центробежной силы, опреде­

ляется тем же выражением (1.5), но эта сила направ­ лена по внешней нормали к оси шланга.

Рассмотрим действие на шланг только центробежных сил жидкости; схема равновесия элемента шланга пока­ зана на рис. 1.2,6, где Tv— натяжение в сечениях шлан­ га, вызываемое действием центробежных сил жидкости. Эта схема, можно сказать, взаимна со схемой, показан­

Заметим, что этот результат совершенно не зависит от формы осевой линии шланга; отсюда следует, что появ­ ление центробежной нагрузки не вызывает изменения произвольно заданной формы шланга.

Выше мы указали на то, что наличие в шланге по­ коящейся жидкости не влияет на форму его равновесия, а теперь мы можем также отметить, что эта форма оста­ ется неизменной и при движении жидкости вдоль шлан­ га. Для того чтобы окончательно в этом убедиться, вос­ пользуемся принципом возможных перемещений, соглас­ но которому форма равновесия шланга, соответствующая V= 0, остается формой равновесия и при v Ф 0, если возможная работа дополнительной нагрузки (1.6) равна нулю.

Считая исходной форму равновесия шланга при ,v = О, обозначим через бun(s) и 6ux(s) возможные перемеще­ ния произвольной точки осевой линии в направлениях нормали и касательной. Тогда возможная работа эле­ мента дополнительной нагрузки q2v2ds/(gp) определится произведением q2v2ds bu j (gp) , а возможная работа всей дополнительной нагрузки запишется в виде

(1.7)

о

Теперь аналитически сформулируем условие нерастя- жимости шланга. Известно, что если ип и их— малые перемещения произвольной точки деформируемой (изги­ баемой и растяжимой) плоской кривой по направлениям нормали и касательной, то относительное удлинение кри­ вой в этой точке определяется^выражепием

8 =Un/p+ dux/ds.

В случаях, когда относительное удлинение заведомо oi-

сутствует, должно быть

duх

дополнительной нагрузки оказывается равной нулю. Как было сказано, это означает, что форма равновесия шлан­

бы заранее «согласны» с такой формой и вызывают лишь приращение натяжения.

Такова особенность действия центробеяшых сил инер­ ции, связанная, конечно, с их пропорциональностью кри­ визнам осевой линии.

Пониманию сути этого заранее не очевидного ре­ зультата может помочь разбор следующей статически

Рис. 1.3. Нагружение стержня: а) схема нагружения; б) силы, действующие на элемент стержня

определимой задачи об изгибе стержня. На рис. 1.3, а пока­ зан шарнирно-закрепленный на концах упругий стержень,

криволинейная ось которого имеет вид произвольно

заданной плоской кривой. К стержню приложена распре­ деленная внешняя нагрузка специального вида — она направлена всюду по внешней нормали к оси стержня, причем интенсивность нагрузки пропорциональна кривиз­ не оси 1/р и равна к !р, где к = const — заданный коэф­ фициент пропорциональности. Нужно найти изгибающие моменты, поперечные и продольные силы, а также упру­ гие перемещения, вызываемые указанной нагрузкой, считая ось стержня иерастяжимой — как это обычно де­ лается при расчете изгибаемых стержней и рам.

На рис. 1.3, б показан элемент стержня длиной ds = = р dtp под действием названной нагрузки, а также иско­ мых изгибающих моментов М, поперечных сил Q и про­ дольных сил N. Уравнения равновесия элемепта имеют вид

Этим уравнениям, а также очевидным граничным усло­ виям удовлетворяет следующее решение:

только продольные силы, постоянные по всей длине стержня и в точности совпадающие со значением коэф­ фициента к. Особенно важно отметить, что изгибающие моменты и поперечные силы тождественно равны нулю

стержня и не деформирует его ось; поэтому неудивитель­ но, что также пропорциональная кривизне нагрузка на шланг, создаваемая центробежными силами протекающей жидкости, не вызывает изменения формы равновесия, которой обладает шланг при покоящейся жидкости.

В нашей задаче полная продольная сила в сечении шланга согласно (1.2) и (1.6) равна

Т = 0,2296ql + 0,7172ql + 0,7339g/ = 1,6807g/ и при х = 0,5/

T = 1,0265g/ + 0,7339g/ = 1,7604g/.

Роль отдельных слагаемых здесь настолько ясна, что мы воздержимся от подробных комментариев, отметив лишь, что при прочих равных условиях относительное влияние последнего слагаемого убывает с ростом пролета.

Установленная выше независимость формы равнове­ сия шланга от скорости протекания жидкости — вполне ■общее свойство, которое относится' не только к случаям, когда ось шланга имеет вид гладкой кривой, но и к случа­ ям, когда имеются изломы оси, вызванные заданными со­ средоточенными силами (например, весами сосредоточен­ ных грузов). В подобных случаях при протекании жидко­ сти вдоль шланга, кроме распределенных центробежных сил, в точках излома оси возникают дополнительные со­ средоточенные силы гидродинамического происхождения. Однако можно сказать, что вся система дополнительных сил,' сосредоточенных в точках излома оси и распреде­ ленных вдоль гладких участков, также «согласна» с фор­ мой, соответствующей и = 0, и не стремится ее изменить.

Разумеется, все эти заключения верны лишь по­ стольку, поскольку вёрны исходные предположения. Так, •если учесть растяжимость шланга, то несомненно обна­ ружится некоторое влияние центробежных нагрузок на форму равновесия — такие нагрузки, вызьщая изменение натяжения, вызовут и допол­ нительное растяжение осевой линии шланга.

Некоторое влияние на форму равновесия несомненно оказывают и с и л ы т р е н и я между движущейся жид­ костью и внутренней поверхностью шланга; в частности, если шланг симметричен и его опоры расположены на одинаковых уровнях, силы трения нарушат симметрию (рис. 1.4) и вызовут некий общий «перекос», направлен­ ный в сторону движения жидкости:

Если площадь жидкого сечения шланга меняется по длине шланга, то в схеме на рис. 1.2, а величины секунд­ ных количеств движения оказываются неодинаковыми и кроме нормальной реакции R появляется также касатель­ ная реакция. Вместе с этим изменяется и направление динамического давления жидкости на шланг; возникаю­ щие при этом дополнительные касательные нагрузки, очевидно, вызовут перекос того же тина, как показанный на рис. 1.4.

В литературе обычно не подчеркивается, что скорость проте­ кания жидкости не влияет па форму равновесия абсолютно гибко­ го нерастяжимого шланга, в частности, и тогда, когда ось шланга имеет изломы, обусловленные заданными сосредоточенными на­ грузками. Более того, в статье [40] (написанной, увы, при участии автора этих строк) было ошибочно высказано противоположное утверждение; авторы статьи спохватились с большим опозданием, когда статья уже была в печати, но все же успели внести в текст краткое дополнение с необходимой поправкой (см. [40], с. 114).

§ 2. Замечания к технической теории изгиба балок

В начале второй половины XIX века механика твер­ дого деформируемого тела обогатилась рядом важных результатов, которые затем вошли в «основные фонды»

ки Гейдельбергского и Берлинского университетов. С 1862 г.— член-корреспондент Петербургской академии паук. Заложил осно­ вы спектрального анализа. Автор многих исследований по матема­ тической физике и теории упругости.

**) Бенуа Поль Эмиль Клапейрон (1799—1864) — француз­ ский физик и инженер. В 1820—-1830 гг. работал в Петербургском институте инженеров путей сообщения. Член-корреспондент Пе­ тербургской академии наук (с 1830 г.), член Парижской академии наук (с 1858 г.). Автор ряда работ по термодинамике и механике упругого тела.

***) Дмитрий Иванович Журавский (1821—1891) — автор проектов и строитель крупных мостов. Директор департамента же­ лезных дорог России в 1877—1889 гг. Основатель русской научной школы в области строительной механики и мостостроения.

Между прочим, из теоремы Шведлера (2.2) вытекает, что в сечении, в котором изгибающий момент достигает своего максимума, поперечная сила меняет знак. Сейчас это представляется почти самоочевидным, но даже неза­ долго до опубликования теоремы Шведлера сам знамени­ тый Навье *) неверно полагал, что сечение, в котором М = Afmax, находится там, где проходит равнодействующая нагрузки на балку.

Здесь уместно отметить, что в том временном отрезке, о котором шла речь выше, эпюр вообще не строили. Не только Навье, ио и более поздние авторы — Клапейрон, Журавский и сам Шведлер — прекрасно обходились без всяких эпюр (эпюры были введены Брессом**) в 1859 г.).

В учебниках по сопротивлению материалов всегда от­ мечается, что техническая теория применима только для относительно невысоких балок, когда высота сечения на превосходит 1/12— 1/10 длины балки; в достаточно пол­ ных курсах излагается уточненный вариант, называемый теорией Тимошенко. К этому варианту мы ниже еще вернемся, ио прежде всего отметим обычно неупоминаемое, относящееся к обоим вариантам обстоятельство: за­ висимость (2.2) не охватывает все возможные случаи нагружения балки и поэтому может оказаться неверной;

и мы убеждаемся, что зависимости (2.2) и (2.3) выпол-

рой технике «эшоростроительства», иные студенты думают, что по­ стигли самое существенное в курсе сопротивления материалов^ В этом повинны, конечно, те преподаватели, которые излагают ?курс так, как если бы главным в сопротивлении материалов было именно построение эпюр. Разумеется, если студент не в состоянии правильно построить эшоры Q и то это бесспорно свидетельству­ ет о низком уровне его подготовки, но обратное неверно: даже без­ упречным построением эпюр студент еще не доказывает подлин­ ное знание предмета.

*) Луи Мари Анри Навье (1785—1836) — один из бсновопо-

.ложников теории упругости, автор ряда трудов по сопротивлению материалов, гидравлике и гидромеханике. Член Парижской акаде­ мии наук (с 1824 г.).

**) Жан Антуан Шарль Бресс (1822—1883) — французский ученый и инженер. С 1870 г.— главный инженер, а с 1881 г.— гене­ рал-инспектор мостов и дорог. Ввел в расчетную практику эпю­ ры внутренних усилий, поставил в общем виде задачу расчета статически неопределимых систем методом сил. Член Парижской академии наук с 1880 г.

няются. Посмотрим теперь на рис. 2.1, б, где показана нагрузка в виде равномерно распределенных пар и соот­ ветствующие эпюры Q и М, . построенные с помощью

a

Рис. 2.1. Два случая нагружения консоли: а) сосредоточенной на­ грузкой на конце; б) распределенной моментной нагрузкой

уравнений равновесия (через т обозначена интенсив­ ность момента распределенных пар). Так как производ­ ная М' не равна нулю, a Q = 0, то в данном случае со­ отношение (2.2), очевидно, нарушено.

Дело, конечно, в том, что при выводе теоремы Шведлера нагружение распределенными нарами вообще не

Рис. 2.2. Силы, приложенные к элементу балки: а) обычная схемам б) при наличии распределенной моментной нагрузки

предусматривается. Исходной обычно служит схема эле­ мента балки, показанная на рис. 2.2, а, где впешняя на­ грузка представлена в виде единственной силы q dx, направленной перпендикулярно оси балки. Однако в бо­ лее общем случае наряду с распределенными силами q(x) на балку могут'действовать и распределенные пары, интенсивность моментов которых мы будем обозначать

2*

через т(х); тогда для составления уравнений равновесия нужно исходить из схемы, показанной на рис. 2.2, б, где mdx — момент внешней пары, приложенной к эле­ менту. Уравнение проекций для элемента и в данном случае приведет к прежнему соотношению (2.3), по из уравнения моментов вместо (2.2) получим

Этот результат заменяет или, можно сказать, обобщает теорему Шведлера (2.2).

Нагружение распределенными парами может физиче­ ски осуществляться по-разиому. Пожалуй, наиболее важ­

Отсюда видно, что при составлении дифференциаль­ ного уравнения изогнутой оси вместо распределенной нагрузки q(x) и распределенных пар т(х) можно рас­ сматривать некую приведенную распределенную нагруз­ ку q — т\

Для того чтобы понять существо такого объединения нагрузок двух видов, будем рассуждать следующим об­ разом. Пусть балка нагружена^иеравномерно распреде­ ленными по длине моментами т = т(х) . Как бы в дей­ ствительности ни была реализована элементарная внеш­

с моментом ш dx. Если рассмотреть два соседних элемен­

ваемыми элементами, равна —dm, так что действие рас­ пределенных пар можно заменить действием распреде­