книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Отметим, что оба корня имеют ясный физический -смысл: корень (3.6) соответствует потере устойчивости при силе Р, направленной вниз (сжатие стойки), а ко­ рень (3.7) — потере устойчивости при силе Р, направлен­ ной вверх (растяжение стойки).

Этот результат достаточно любопытен — оказывается, что потеря устойчивости рассматриваемой системы мо­ жет произойти не только при сжатии, но и при растя­ жении системы. Читатель знает, что обычно при решении задач устойчивости упругих систем в найдеппом спектре критических значений выделяют наименьшее и далее ориентируются только на него, справедливо считая, что остальные значения практически неважны. Как видно,

шданном случае это не так: практический интерес могут

зу.

!Рис. 3.3. Каждому значению у соответствуют два значения крити­ ческой силы

представлять оба значения критической силы — именно из-за того, что они имеют разные знаки.

На рис. 3.3 даны соответствующие (3.6) и (3.7) кри­ тические значения Рст и Рраст в зависимости от^ безраз­ мерного параметра у.

Таким образом, обе модели на рис. 3.2 и 3.4 облада­ ют одинаковыми свойствами: а) потеря устойчивости этих систем возможна не только при сжатии, но и при растя­ жении; б) эти системы неограниченно устойчивы при

Гис. 3.6. Каждому значению параметра cl5/(EJ) соответствуют два

'значения критической силы

гов невозмояша. Насколько это отражает свойства, при­ сущие стеряшю с распределенными податливостями из­ гиба и сдвига?

Теперь пора вспомнить о точном (весьма несложном) решении, которое было дано Ф. Энгессером. Оно приво­ дится во многих книгах по устойчивости упругих систем и имеет следующий вид:

кр%'

(GF)

где Ркр — критическая сила, найденная без учета сдвитов, а остальные обозначения пояснены после формулы (2.9). Прежде всего отметим, что согласно формуле Энтессера потеря устойчивости остается возможной и при неограниченном увеличении изгибной жесткости, когда

-Ркр-^00- В этом случае из (3.13) получается предельное значение критической силы

(рис. 3.7, а). Конечно, если в (3.13) подставить модуль сдвига какого-либо классического конструкционного ма­

териала, ск'ажем, стали, то разпица между РкР и Ркр окажется почти незаметной; соответственно, по формуле

6

Рис. 3.7. Потеря устойчивости вследствие сдвига: а) для стержня (верхнее селение опускается вниз!); б) для рамы

(3.14) для критического напряжения получится огром­ ное значение — около миллиона килограммов на квадрат­ ный сантиметр. Отсюда, казалось бы, следует, что фор­

была выведена вовсе не для сплошных стержней, а рас­ считана на применение к составным системам типа ре­ шетчатых стоек. При этом составная система заменяется эквивалентным сплошным стержнем, а величина GF/к лишь формально описывает «квазисдвиговую» жесткость реальной конструкции, в действительности обусловленную

приписать эквивалентному стержню бесконечно большую жесткость на изгиб и конечную жесткость на сдвиг. Разумеется, при переходе к эквивалентной схеме имеет значение лишь комплекс GF/k, а обсуждение вопроса о порознь взятых значениях G, F и к вообще лишено смысла.

Подводя первый итог, мы вынуждены отметить, что обе рассмотренные выше упрощенные схемы обнаружили существенно иные свойства и оказались неспособными отразить возможность потери устойчивости при бесконеч­ ной изгибной жесткости.

Второй итог также неутешителен — в упрощенных схе­ мах возможна потеря устойчивости и при растягивающих силах, тогда как согласно (3.13) потеря устойчивости реального стержня может произойти только при сжима­ ющей силе.

Коротко можно сказать, что эти упрощенные схемы (сами по себе довольно любопытные) не годятся в каче­ стве моделей стержня, обладающего конечной сдвиговой жесткостью.

Чем это можно объяснить? Ведь кажется, что в обеих упрощенных схемах сдвиговые свойства •представлены вполне отчетливо и в качественном отношении — пра­ вильно. Лишь при внимательном рассмотрении этих схем можно заметить их коренное несоответствие моделируе­ мому стержню. Все дело в том, что в реальном стержпе

стема, показанная на рис. 3.8. Для нее, как и должно быть, обе критические силы соответствуют сжатию (прак­ тическое значение имеет наименьшая из них) и при Ci -> оо обнаруживается потеря устойчивости только вслед­ ствие сдвига.

Устойчивость системы, показанной на рис. 3.2, была обсужде­ на в книге В. С. Чувиковского [72], но из-за ошибочной записи исходных уравнений результаты неверны. То же неверное реше­ ние повторено в книге [73].

§ 4. «Негативизм» упругих систем

Во многих Iслучаях процесс статического нагружения упругой системы можно определить двумя величинами — параметром нагрузки Р и параметром перемещения w. Этот процесс описывается в плоскости w, Р некоторой кривой, служащей своеобразным и обычно весьма выра­ зительным «портретом» системы.

В простейшем случае линейной системы зависимость

Рис. 4.1. Линейно деформируемая система: а) пример системы; б) характеристика

системы, показацйой на рис. 4.1,а). Особенно выразитель­ ны кривые P — w для нелинейных систем: такова, напри­ мер, кривая состояний равновесия хлопающей мембраны (рис. 4.2, а и б); здесь отчетливо выражена неизбежность

Рис. 4.2. Нелинейно деформируемая система: а) .пример системы (хлопающая мембрана); б) характеристика

прямого и обратного перескоков при нагружении и раз­ грузке и ясно видны оба критических значения парамет­ ра нагрузки (верхнее и нижнее). Впрочем, если величи­ на Р определяет параметрическую нагрузку, то зависи­ мость P — w нелинейна даже для системы, описываемой

характеризует свойства системы; для обоснованных суж­ дений о свойствах системы нужно не только построить

Рис. 4.3. Сжато-изогнутый стержень: а) схема стержня; б) харак­ теристика

кривую P — w, но н исследовать у с т о й ч и в о с т ь каж­ дого нз состояний равновесия.

Можно выделить несколько принципиально различа­ ющихся типов кривых P — w. Среди них особое место за­ нимают кривые весьма' необычного ви­ да, как на рис. 4.4. Здесь много стран­ ного: во-первых, бросается в глаза, что при постепенном возрастании парамет­ ра нагрузки происходит убывание пе­ ремещения, так что, начиная с точки А , положительным значениям нагрузки соответствуют отрицательные значения перемещений, т. е. система обладает как бы отрицательной жесткостью.

Сказанное настолько удивительно, что может даже вызвать сомнение относи­ тельно реальности существования таких механических систем. Однако они су­ ществуют, и мы подробно рассмотрим одну из них.

Речь пойдет о консольном стержне, нагруженном па конце сосредоточенной парой с моментом и «следя­ щей» продольной силой Р (рис. 4.5, а)\ предполагается, что при любом изгибе оси стержня эта сила остается нор­ мальной к торцевому сечению стержня, т. е. линия дей­ ствия силы всегда совпадает с касательной к его оси в концевой точке.

Задачи об устойчивости упругих систем при действии «следящих» сил (см. рис. 4.5, а, если М * = 0) уже более

30 лет оживленно обсуждаются в литературе и в послед­ нее время нашли некоторое отражение даже в учебниках. 'Как известно, для\ решения этих задач метод Эйлера не­ применим, и чтобы выявить критическое состояние и со­ ответствующее Схму критическое значение продольной

Рис. 4.5. Нагружение консольного стержня следящей силой и изги­ бающей парой: а) схема нагружения; 6) форма изогнутой оси для различных значений параметра al; в) «отрицательная»s жесткость стержня при больших значениях параметра al

силы, нужно анализировать свойства возмущенного дви­ жения. Именно таким путем установлено критическое значение сжимающей силы для стержня с равномерно распределенной массой:

Лер = 20,05EJ/12.

Однако здесь мы будем обсуждать не анализ устой­ чивости, а решение статической задачи о продольно-попе­ речном изгибе стержня, показанного на рис. 4.5, когда Р < Р кр. Пусть

тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси стерж­ ня запишется в ви*де