книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

биновичем*) в связи с проблемой устойчивости статиче­ ски неопределимых ферм: «...критическая нагрузка ста­ тически определимых стержней с полным основанием могла бы быть названа «катастрофической»... Критиче­ ская нагрузка «лишнего» стержня не является катастро­ фической, так как ферма, вообще говоря, осталась бы не­ изменяемой и после совершенного выхода из строя этого стержня; тем более она остается неизменяемой при ча­ стичном ослаблении работы стержня, наступающей после его выпучивания в результате продольного изгиба» [49].

Если бы система на рис. 5.5, б содержала большее число параллельных стоек, то можно было бы выделить соответственно большее число этапов и проследить за. последовательным выходом из строя отдельных стоек. Впрочем, можно вообще оставить в. стороне подробности этого процесса и сразу рассмотреть заключительное пре­ дельное состояние, когда сжимающие силы во всех стойках достигли соответствующих критических значе­ ний и система в целом становится геометрически изме­ няемой.

Эти обстоятельства принимают во внимание при ана­ лизе устойчивости некоторых реальных конструкций, на­ пример сжатых палубных перекры­ тий, состоящих из продольных и по­ перечных балок и тонкой обшивки (см. фрагмент на рис. 5.7). При по­

шивке полагаются неизменными). Справедливо считается,, что подлинно критическое состояние для всей системы возникает тогда, когда нагрузка вызовет потерю устойчи­ вости также и продольных балок (о &щ а я потеря устой­ чивости).

*) Ксаак Моисеевич Рабинович (1886—1977) — профессор Воен­ но-инженерной академии имени В. В. Куйбышева, член-корреспон­ дент Академии наук СССР (с 1946 г.), Герой Социалистического' Труда (е 1966 г.). Автор многих работ по строительной механике..

§ 6. Критические состояния рамных систем

При изложении теории устойчивости упругих рам в большинстве курсов строительной механики речь обычно идет о решении эйлеровых *задач, т. е. об определении тех значений параметров нагрузки, при которых возни­ кает бифуркация форм равновесия («эйлерова потеря устойчивости»). Все внимание настолько приковано к по­ строениям расчетных процедур, позволяющих найти эти критические значения, что степень опасности выявляе­ мых критических состояний, в сущности, даже не обсуж­ дается — молчаливо принимают, что достигшая такого со­ стояния рама не может сопротивляться дальнейшему воз­ растанию нагрузки.

Эта не формулируемая, но подразумеваемая оценка опасности критического состояния опирается на резуль­ таты, относящиеся к изолированным стержням; хотя она остается практически верной и для большинства рам, но ее справедливость все же ограничена — можно построить примеры, когда рамная система, даже придя в критиче­ ское состояние по критерию Эйлера, очевидно, далека от катастрофы. Такие примеры могут показаться несколько искусственными, но это не означает, что они не заслу­ живают внимания — их обсуждение позволяет шире взглянуть на проблему и понять, что ценность традици­ онного подхода довольно относительна.

Рис. 6.1. Схема рамы: а) нагрузка; б) изгиб рамы при принуди­ тельном повороте узла

Рассмотрим, например, Г-образную раму, которая об­ разована жестко сочлененным ригелем и стойкой и на­

в котором коэффициент vj полностью определяется отно­ шением жесткостей сечений ригеля и стойки у. Впрочем,

величина V3 довольно вяло изменяется при изменении

на 76%.

Однако не исключено, что истинное различие, гораздо

может быть геометрически изменяемой системой, тогда как третья рама (с жестким ригелем), придя в критиче­ ское состояние при Р = 37,59£7/Z2, способна продолжать упругое сопротивление дальнейшему возрастанию нагруз­ ки, но по и з м е н е н н о й р а с ч е т н о й с х е м е за счет из­ гиба мощногъ ригеля как консоли с защемленным правым концом. В этом случае возникновение критического состоя­ ния (в эйлеровом смысле) означает подлинную потерю ус­ тойчивости (в практическом, инженерном смысле) только для первой рамы, тогда как для третьей рамы оно опреде­ ляет лишь некоторое изменение расчетной схемы рамы*).

Таким образом, анализ устойчивости упругих рам (можно сказать шире — любых сложных конструкций) не следует сводить — как это обычно делается — только к вы­ числениям критических нагрузок; сколь бы стройными и логически завершенными ни выглядели соответствующие расчетные алгоритмы, они принципиально недостаточны — необходимо объективно оценивать, чем действительно грозит достижение критического состояния. Понятно, что для такой оценки требуется углубление в анализ закритического поведения упругой системы (при Р > Р Э).

Неполнота общепринятого подхода к изучению устой­ чивости рам ощущается многими специалистами — одни­ ми отчетливо, другими смутно, но до сих пор почти не обсуждалась в литературе. Возникавшие время от време­

*) В современной научной литературе понятия критического состояния и потери устойчивости более или менее ясно различа­ ются. Так, например, В. Койтер предложил делить критические со­ стояния упругих систем на устойчивые и- неустойчивые в зависи­ мости от знака производной dPjdw новой ветви состояний равно­ весия в точке бифуркации на оси Р (ш — параметр перемещения, Р — параметр нагрузки). Так, например, определяемое по Шенли критическое состояние упругопластического стержня — устойчиво, потому что в точке бифуркации dPIdw > 0.

ни устные споры (иногда в весьма представительных: аудиториях) оказывались^ малопродуктивными из-за тогог что критика существующего подхода грешила нечет­ костью, а предложенные описания закритического состоя­ ния рам были плохо обоснованы и давали много поводов для контркритики.

Для того чтобы вникнуть в существо дела, подробнее

(рис. 6.1,6); известно, что при этом узел передает верх­

силы), а крайнему левому сечению изгибаемого ригеля — момент

Величины ki и к2 представляют собой коэффициенты изгибпой жесткости каждого из стержней. Сумму

можно назвать коэффициентом общей угловой жесткости рамы. При нагружении узла внешним моментом произ­ вольной величины М справедливо соотношение

которое определяет упругую характеристику рамы при указанном типе нагружения.

Согласно методу Эйлера критическое значение сжи­ мающей силы определяется из условия, что существует* смежная, возмущенная форма равновесия рамы ф Ф О при М = 0. Это приводит к условию к = 0 — возмущен­ ная равновесная форма существует, если общая угловая: жесткость рамы равна нулю. В нашем случае мы прихо­ дим к трансцендентному уравнению

Для дальнейшего нужно вглядеться в довольно любо­ пытное изменение коэффициента изгибной жесткости

конечно, не следует считать критическим, поскольку об­ щая угловая жесткость рамы (6.4) еще не утрачена (ко­ эффициент к2 для ригеля — положительный).

При дальнейшем увеличении параметра v коэффици­ ент изгибной жесткости стойки ki становится меньшим нуля. Отрицательный коэффициент жесткости — понятие, довольно редко встречающееся в строительной механике, ж на нем полезно немного задержаться*). В данном слу­ чае отрицательность коэффициента изгибной жесткости нужно понимать в том смысле, что если к узлу рамы приложить внешний момент, то со стороны стойки на узел будет передаваться момент того же знака — стойка становится «толкающей» упругой связью и ригелю пере­ дается момент, больший приложенного извне. Иными словами, стойка вносит свой положительный вклад в об­ щую угловую жесткость рамы лишь при v < v*; при v>v^. стойка не только не создает упругого сопротивления мо­ менту, извне прикладываемому к узлу, но действует на узел заодно с этим моментом — образно выражаясь, она начинает играть «предательскую» роль. Наконец, при

*) В § 4 также был отмечен случай отрицательной жесткости упругой системы, но иной природы.

V = \'э = 5,329, когда коэффициент изгибной жесткости стойки становится равным —4Ë7/Z, общий коэффициент угловой жесткости рамы обращается в нуль, появляется

Хотя «ответственна» за это состояние, конечно, сжа­ тая стойка, но было бы неверно говорить, что теряет ус­ тойчивость именно она — в смежном состоянии равнове­ сия изогнута не только стойка, но и ригель, причем их отклонения имеют одинаковый порядок малости. Поэтому здесь уместно говорить только об эйлеровой потере устой­

оборотов речи — главное состоит в оценке опасности на­ ступившего при V = v9 критического состояния, т. е.г говоря иными словами, в оценке тех резервов, которые можно обнаружить в условиях «сверхкритического» на­ гружения. Соответствующие нелинейные задачи достаточ­ но сложны, и поэтому можно понять стремление некото­ рых авторов к упрощенному анализу закритических состояний; впрочем, как упоминалось, предпринятые в этом направлении попытки оказались неубедительными..

Известно, в частности, предложение считать, что стер­ жень, «ответственный» за эйлерову потерю устойчивости,, создает в закритической области неизменную упругую* реакцию, равную ее критическому значению. Так, для рамы, избранной здесь в качестве эталонного примера (рис. 6.1), закритическое нагружение представляется схе­ мой, показанной на рис. 6.3, а. В этой схеме стойка сжата неизменной силой N = РЭ, а ригель рассматривается как изгибаемая консоль, нагруженная па конце силой Р — Рэ. Если 7 = 0,01, то вертикальное перемещение узла рамы (левого конца ригеля) определяется выражением

//Z = 33,33[PZ7(£/)- 21,38].

Соответствующая диаграмма равновесных состояний показана на рис. 6.3, б сплошной почти горизонтальной прямой. Для рамы с гораздо более жестким ригелем, 7 = 100, получится

f/l = 0,003333[PI2/ (EJ) - 37,59];.

диаграмма равновесных состояний показана на рис. 6.3, б* штриховой прямой.

Найденные описания закритических процессов в об­ щем соответствуют ожидавшимся (см. с. 58), очень про­ сты, но... неверны. В самом деле, если считать продоль­ ную силу в стойке неизменной (N = P0 при Р > Р Э), то нужно принять пеизмепным и коэффициент изгибной жесткости стойки — как мы видели, отличный от нуля (отрицательный). Следовательно, при закритическом повороте узла рамы на ригель со стороны стойки будет

рэ Р-Ро

I

а

б

Рис. 6.3. а) Предполагаемое нагружение элементов рамы при Р > > Рэ] б) предполагаемые графики равновесных состояний; в) ва­ риант предполагаемого нагружения ригеля

действовать момент, направленный в сторону поворота (рис. 6.3, в); этот момент совершенно забыт в схеме на рис. 6.3, а. Если попытаться исправить решение, поло­ жив в основу рис. 6.3, в, то формально можно найти

значение / оказывается отрицательным (узел рамы пере­ мещается вверх!). Конечно, не исключено, что выражение (6.7) окажется приближенно верным для достаточно больших значений у, но убедиться в этом можно лишь после строгого решения задачи.

Очевидно, что для изучения закритического поведе­ ния упругих рамных систем примитивные приемы, по­ добные изложенному выше, не приводят к цели — для этого необходимы более тонкие способы, основанные на нелинейных соотношениях.

§ 7. Ошибка Пуассона в теории пластин

Если в представлениях кого-либо из читателей имя Пуассона*) ассоциируется только с понятием о коэффи­ циенте поперечной деформации, то это, конечно, неспра­ ведливо — Пуассон был крупным ученым, он существен­ но продвинул решение многих сложных проблем теории упругости и математической физики в целом,, среди ко­ торых вопрос о поперечных деформациях выглядит ис­ ключительно элементарным**).

Пуассону принадлежат ценные исследования в обла­ сти статики и динамики тонких упругих пластин, но он ошибся, формулируя граничные условия для важного частного случая свободного края (1829— 1831 гг.). Эта ошибка была отмечена Кирхгофом, который в 1850 г. впервые указал правильную формулировку граничных ус­ ловий для указанного случая. В 1867 г. Кельвин***) опу­ бликовал (со ссылкой на принцип Сен-Веыана), бесспор­ но наглядные и доныне часто цитируемые соображения относительно физической сущности вопроса.

1812 г.), иностранный почетный член Петербургской академии на­ ук (с 1826 г.).

**) Впрочем, этот вопрос, тесно связанный со спорной во вре­ мена Пуассона проблемой числа независимых упругих постоян­ ных, был тогда далеко не ясным. Вместе с основоположниками тео­ рии упругости (Навье, Коши, Клапейроном) Пуассон ошибочно* полагал, что коэффициент поперечной деформации является уни­ версальной постоянной, и для всех случаев приписал ему значе­ ние 1/4; в этом параграфе речь пойдет не об этой ошибке. (Курь­ езно, что в свое время Кулон, один из основоположников теории трения, считал коэффициент трения одинаковым для любых фрик­ ционных пар и равным той же величине 1/4. Кажется, что это* число обладает некими магическими свойствами!)

***) Кельвин (Уильям Томсон, 1824—1907)— апглийский физик, член (с 1851 г.) и президент (в 1890—1895 гг.) Лондонского коро­ левского общества, ипостранпый член-корреспондент (с 1877 г.) и иностранный почетный член (с 1896 г.) Петербургской академии! наук.

центов — правда, не практического, а скорее чисто логи­ ческого характера — до сих пор в литературе освещен недостаточно. Обо всем этом и пойдет речь в настоящем параграфе, но сначала напомним современную редакцию основных соотношений теории изгиба упругих тонких пластин для случая малых прогибов.

Под действием поперечной нагрузки q(x, у), перпен­ дикулярной срединной плоскости ху, в нормальных сече­ ниях, параллельных координатным плоскостям xz и yz, развиваются нормальные напряжения ох и оу, касатель­ ные напряжения тху и хух, касательные напряжения %хг и х2Х. Они приводятся соответственно к внутренним уси­ лиям, отнесенным к единице длины в направлениях осей

Рис. 7.1. К изгибу тонких пластин: а) внутренние усилия; б) пря­ молинейная граница

ж я у: изгибающим моментам Мх и Му, крутящим момен­ там Мху и МуХ, перерезывающим силам Qx и Qv (рис. 7.1, а).

Если обозначать через w(x, у) прогиб, т. е. перемеще­ ние в направлении оси z произвольной точки срединной поверхности пластины, то для внутренних усилий спра­ ведливы следующие выражения:

модуль упругости, V — коэффициент Пуассона (не обязательпо равный 0,25!), h — толщина пластины.

Для определения прогибов служит дифференциальное уравнение

решение которого должно быть подчинено граничным условиям, зависящим от способа закрепления краев пла­ стины.

Положим, что речь идет о прямолинейном крае пла­ стины х = а (рис. 7.1,6). Если этот край защемлен, то граничные условия записываются в виде

В случае свободного опирания на крае обращаются в нуль прогибы и изгибающие моменты, т. е.

Согласно первому из этих условий контурная линия во­ обще не деформируется, а следовательно, (d2w/dy2)Xs=a= = 0. Поэтому (7.4) можно записать проще:

Иногда эти граничные условия записывают также в форме

Выписанные соотношения не расходятся с изложени­ ем Пуассона. Однако для случая свободного края Пуассон формулировал граничные условия неверно, приняв, что на свободном крае в нуль п о р о з н ь обращаются изги­ бающие моменты, крутящие моменты и перерезывающие