книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Приведем пример. .Допустим, что результаты ряда на­ блюдений позволили получить обобщенный закон движе­ ния в виде.

Конечно, сам вид этой записи наводит на мысль о том, что движение происходит под действием силы линейного вязкого трения, но, как сказано, не будем «выдумывать гипотез», а последуем только что изложенному способу. Дифференцируя (35.17), находим скорость

обобщенного закона движения (35.17).

Понятно, что изложенный способ в принципе распро­ страняется на случаи криволинейного движения точки и, вообще, на механические системы с одной или несколь­ кими степенями свободы, но для этого необходимо рас­ полагать обобщенными законами движения в виде зави­ симостей координат от времени и начального состояния.

Таким образом, существуют два совершенно неравно­ ценных по трудности и по содержательности варианта постановки обратной задачи; в интересах полной ясности формулировки обоих вариантов должны отличаться от того, что обычно пишут в учебниках.

Усечепную постановку обратной задачи (для точки) следует формулировать так: «Дано движение материаль­ ной точки заданной массы, требуется найти, как изменя­ ется во времени сила, действующая на эту точку». Такая постановка задачи весьма проста, хотя, как говорилось, она относительно малопродуктивна.

Задачи исследовательского характера требуют, как цравило, расширенной постановки задачи (для точки) :

Конечно, в данном случае разделение единого тела на два тела — искусственный прием, использованный только для того, чтобы показать неточность утверждения Л. Пар­ са. Вместе с тем схема, показанная на рис. 35.1, дает простейшую иллюстрацию понятия присоединенной мас­

в жидкости. В этих задачах с помощью присоединенных масс учитывается та часть реакции жидкости, которая связана с ускорением тела.

Некоторые принципиальные особенности сил, завися­ щих от ускорения, обсуждены в книге В. В. Петкевича [46], с. 73-74 .

§36. Модель абсолютно твердого тела

внекоторых задачах динамики

Удачность того или иного модельного представления обычно проверяется путем сопоставления полученных на его основе результатов с экспериментальными или с ре­ зультатами, найденными с помощью более полной и за­ ведомо доброкачественной теоретической модели. Если при этом обнаруживаются значительные расхождения, то принятое модельное представление должно быть забрако­ вано (для изучаемого типа, задач!)— по выражению

Л.И. Мандельштама «идеализация мстит за себя». Такая месть оказывается особенно жестокой, когда

принятая модель вследствие своей чрезмерной примитив­ ности не позволяет составить нужное число соотношений и система уравнений задачи оказывается незамкнутой. Впрочем, этот случай можно считать в некотором смысле «экономичным», поскольку непригодность модели, выяв­ ленная уже в начальной стадии построения теории, свое­ временно удерживает исследователя от продолжения не­ продуктивной разработки. Эти общеизвестные соображе­ ния уместно вспомнить, приступая к обсуждению модели абсолютно твердого тела — ее приемлемости для решения одних задач динамики и непригодности — для других.

Понятие об абсолютно твердом теле неоднократно подвергалось критике с общефизических позиций: если бы такое тело существовало, то при его перемещениях в пространстве стала бы возможной мгновенная передача сигнала, что противоречит основным представлениям

современной физики. Впрочем, и в рамках классической механики модель абсолютно твердого зела мешает глубо­ ко понять природу возникновения и передачи сил при контакте твердых тел; по этому поводу в книге [70, с. 58] довольно резко написано, что «...тел абсолютно жестких не только пет в природе, но, строго говоря, им пет места в механике...».

Тем не менее названная модель — наряду с моделью материальной точки — является одной из основных в об­ щей механике; с помощью такой модели удается с высо­ кой степенью точности и полноты решить множество ста­ тических и динамических задач. С другой стороны, эта модель, конечно, неупиверсальпа.

Нечего и говорить, что она непригодна для решения задач, прямо ориентированных на определение упругих перемещений — статические расчеты на жесткость, зада­ чи об упругой устойчивости, задачи об упругих колеба­ ниях и т. п.— в этих случаях модель абсолютно твердого тела исключается самой постановкой вопроса.

Однако есть задачи,' в которых не ставится вопрос о деформациях и упругих перемещениях и которые, каза­ лось бы, не требуют для анализа привлечения этих по­ нятий, но в принципе не решаемые на основе модели абсолютно твердого тела. Читатель, конечно, знает яркие примеры из области статики — нахождение реакций и внутренних усилий в статически неопределимых систе­ мах или задачи о распределении напряжений в сплош­ ных средах. Здесь недостаток числа уравнений статики

твердого тела сразу компроме­ тирует модель и прямо указы­ вает на необходимость учета деформаций.

В иных статических зада­ чах непригодность модели аб­ солютно твердого тела обнару­ живается не столь быстро, по­ скольку формально удается об­

разовать замкнутую систему уравнений, но истинная ценность этих уравнений может оказаться весьма сомни­ тельной. Такова, например, задача определения усилий в стержнях системы, показанной на рис. 36.1, когда угол а мал. Исходя из уравнений равновесия, записанных для недеформированной схемы, мы можем допустить боль­ шую количественную ошибку и в принципе не улавлива­ ем возможность перескока системы в новое (несмежное)]

состояние равновесия при достаточно большой нагрузке на узел.

В сущности то же относится и к области динамики, где также можно указать случаи быстрой «самодискредитации» модели абсолютно твердого тела, не позволяю­ щей получить замкнутую систему уравнений, а также случаи, когда будучи формально приемлемой, она неспо­ собна привести к достаточно полному описанию изучае­ мых явлений.

Так, при попытках решить задачу об ударе с по­ мощью модели абсолютно твердого тела, сразу обнару­ живается, что число уравнений не соответствует числу неизвестных. Напомним простейшую задачу этого ти­ па — прямой центральный удар двух абсолютно твердых тел, двигавшихся до соударения поступательно со ско­ ростями 1>а- и Каковы скорости этих тел vA+ и Vb+ после соударения? Для определения этих двух неизвест­ ных можно составить только одно вполне безупречное уравнение, следующее из теоремы о сохранении количе­ ства движения механической системы при отсутствии внешних импульсов:

об абсолютной твердости соударяющихся тел, мы не мо­ жем указать второе, замыкающее уравнение, которое вы­ текало бы из основных законов механики — складывает­ ся в#принципе та же ситуация, как и в задачах об упру­ гом равновесии статически неопределимых систем.

Для того чтобы придать постановке задачи об ударе полную определенность, нужно поступить так же, как и при раскрытии статической неопределимости, а именно ввести в анализ учет деформируемости соударяющихся тел;— считая, например, тела упругими, мы замыкаем систему уравнений законом Гука. Это позволяет по-на­ стоящему поставить задачу об ударе и в ряде случаев без труда завершить решение — найти скорости во время удара и после него, силы, развивающиеся при контакте тел, длительность этого контакта.

Так, если речь идет, скажем, о продольном ударе уп­ ругого стержня о неподвижную преграду, то из извест­ ного решения волнового уравнения легко найти ско­ рость распространения волны деформации с = 1/Е/р, на­

в большинстве курсов теоретической механики, сопро­ тивления материалов и строительной механики) часто отказываются от строгих решений и записывают замы­ кающее уравнение в виде, предложенном Ньютоном,

(R — коэффициент восстановления). К сожалению, дела­ ется это без надлежащего, достаточно откровенного об­ суждения и не отмечается, что соотношение (36.2) лише­ но ясных логических обоснований и к тому же не впол­ не удовлетворительно подтверждается в экспериментах. Кррме того, решая совместно (36.1) и (36.2) можно най­ ти кинематические результаты удара, тогда как вопрос о динамических эффектах, т. е. о развивающихся при уда­ ре силах, остается, в сущности, открытым. В этих слу­ чаях обычно говорят о мгновенности акта удара и о мгновенных ударных импульсах, но такшм импульсахМ соответствуют бесконечно большие силы ударного взаи­ модействия и следовательно, бесконечно большие напря­ жения, а такие представления никак не могут устроить тех инженеров, которые озабочены проблемой прочности при соударениях.

Конечно, было бы несправедливо отрицать известную пользу, которую дает соотношение (36.2) для прибли­ женного* решения многих практических задач об ударе, но нельзя закрывать глаза и на суррогатность этого соот­ ношения. Поэтохму можно еще раз повторить, что модель абсолютно твердого тела в принципе не позволяет по­ строить стройную теорию удара.

Даже в тех динамических задачах, для которых мо­ дель абсолютно твердого тела дает возможность записать замкнутую систему уравнений, картина явления может быть существенно искажена; в особенности это относит­

одного из концов свободного стержня продольной силой Р (см. рис. 36.2). Пусть F = const — площадь сечения

стержня, I — его длина, р — плотность материала. Для определения движения стержня после такого нагружения обычно исходят из того, что стержень абсолютно жесткий;

после приложения силы Р. Если учесть деформируемость материала стержня и восполь­

зоваться упомянутым выше решением волновой задачи, то можно найти, что скорость головного сечения В будет

следствие принятой здесь модели идеально упругого те­ ла (на сей раз нужно критически взглянуть и на нее!); если учесть влияние неучтенных здесь сил внутреннего трения, то -обнаружится постепенное затухание ко­ лебаний и неограниченное приближение к решению (36.3) .

Таким образом, модель абсолютно твердого тела мож­ но признать «асимптотически» верной, т. е. правильно описывающей истинный процесс движения при достаточ­ но больших значениях времени.

от интенсивности сил внутреннего трения. Если принять, что колебания практически затухнут после, скажем, 50 циклов, то длительность этого этапа составит 100 l/с; для стального стержня длиной 1 м (при с = 5000 м/с) полу­ чится, что переходный этап окажется весьма непродол­ жительным — он длится всего 0,02 с. За это время стер­

солютно жестким. Но эта «асимптотически верная» модель сомнительна именно д начале движения, Ьнезапно возникшего после обрыва нити, т. е. как раз для ус­ ловий, о которых идет речь в задаче. Прежде всего по­ следуем цитированному выше указанию (см. рис. 36.4, а). Будем отсчитывать координату центра масс уг. вниз от начального уровня, а угол поворота — по ходу часовой стрелки. Тогда движение центра масс стержня в проек­

ции на вертикальную ось описывается уравнением

i i c - P - T

(Т — натяжение сохранившейся левой нити), а враща­ тельное движение стержня вокруг его центра масс — уравнением

Кроме того, имеем очевидное равенство

ус = (çl/2.

Из этих уравнений следует данный в задачнике от­ вет: Г = Р/4. Таким образом, получается, что при обрыве правой нити натяжение в левой нити мгновенно умень­ шается в два раза.

К тому же результату можно прийти с помощью кинетостатической схемы, показанной на рис. 36.4, б, где треугольная эпюра описывает распределение сил инер­ ции, мгновенно возникающих при обрыве правой нити, причем q — наибольшее значение этой интенсивности. Для определения неизвестных q и Т запишем два урав­

результат Г —Р/4, который, как мы уже писали, вызы­ вает некоторые сомнения.

Для того чтобы наиболее простым образом выявить

а состоит из двух одинаковых абсолютно жестких звень­ ев, которые соединены упругим шарниром. Момент, воз­ никающий в этом шарнире до обрыва нити равен очевид­ но Р1/8.

Кинетостатическая схема, соответствующая состоя­ нию системы после обрыва правой нити поцазана на рис. 36.4, £, где #1 и да — характерные значения интенсив-

пости распределенных сил инерции. В данном случае для определения трех неизвестных, кроме двух уравнений равновесия системы в целом, необходимо записать еще одно соотношение. Оно вытекает из того условия, что по­ ложение системы при обрыве нити мгновенно не меняет­ ся, а, следовательно, момент в шарнире сразу после об­ рыва нити сохраняет значение Р1/8; рассматривая пра­ вую часть балки, имеем

всю картину. В особенности обращает на себя внимание, что найденные результаты не зависят от коэффициента жесткости упругого шарнира; тем самым получается, что

стему, полагая, что горизонтальный стержень состоит из п шарнирно-сочлененных звеньев, то распределение сил инерции будет определяться их п характерными значе­ ниями, так что общее число неизвестных — включая на­ тяжение левой нити Т — равно п + 1. Для определения этих неизвестных будут служить два уравнения равнове­ сия системы в целом и п — 1 условий сохранения значе­ ний моментов во всех промежуточных шарнирах. Как и в предыдущем варианте, значения коэффициентов жест­ кости шарниров на результаты повлиять не могут.

qk= 6,9278 P/l, T = 0,4950 P.

В целом можно отметить, что с увеличением числа звеньев силы инерции все более концентрируются вбли­ зи правого конца балки, а натяжение Т довольно отчет­ ливо приближается к значению 0,5 Р.