книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

постепенно перестает зависеть от п и стрейится к зна­ чению

lim (tn+1 — tn) = V htg.

П ~*оо

Конечно, этот результат можно было предвидеть — он сразу вытекает из уже отмеченного факта существования предельной скорости Vgh.

§ 27. Задача о вытягивании горизонтальной цепи

Завершим настоящую главу разбором следующей за­ дачи. На гладкой горизонтальной плоскости сложена в кучу массивная цепь, к одному из концов которой в мо­ мент t = О прикладывается действующая в той же пло­ скости постоянная сила Р0. Нужно найти закон движения

чг. е. конец цепи, начиная с первого же момента движе­ ния, движется с п о с т о я н н о й с к о р о с т ь ю .

Конечно, такое решение выглядит довольно непривыч­ но — не очень просто представить себе механическую си­ стему б ез т р е ния, которая двигалась бы с постоян­ ной скоростью под действием постоянной силы.

Попробуйте предложить опытному специалисту такой вопрос. Горизонтальная постоянная сила постепенно вы­

тягивает однородную массивную цепь из отверстия, нахо­ дящегося внизу вертикальной стенки «черного ящика»г поставленного на горизонтальную плоскость; как показа­ ли наблюдения, скорость движения конца цепи постоян­ ная. Что можно предположить относительно внутреннего устройства ящика?

Скорее всего, ваш собеседник скажет, что внутри ящика, вероятно, находится вязкий элемент, создающий сопротивление, пропорциональное некоторой степени ско­ рости,— нечто вроде демпфера. Можно ожидать тот же ответ, если вместо рассказа о цепи вы просто покажете собеседнику дифференциальное уравнение (27.1) и спро­ сите, какой механической задаче оно соответствует? Очень мало шансов на то, что вы услышите ответ, выте­ кающий из приведенного выше решения: в черном ящике нет никакого вязкого элемента, и вообще н ет н и ч е г о , кроме самой цепи, сложенной непосредственно около от­ верстия.

Как и следовало ожидать, совершаемая силой Р0 ра­ бота Р0х лишь отчасти переходит в кинетическую энер­ гию цепи:

1 q x p pg

2Г7Т~

Вторая половина работы определяет потерю механической энергии, связапнукх с последовательными ударными при­ соединениями элементов цепи к движущейся ее части.

Г л а в а 7

О С О Б Е Н Н О С Т И Д И Н А М И К И У П Р У Г И Х Р О Т О Р О В

§ 2 8 . В в о д н ы е з а м е ч а н и я

Роторы и вращающиеся валы служат непременными частями электродвигателей, крыльчаток, турбин и множе­ ства других современных машин — от миниатюрных, ве­ сящих несколько, граммов микродвигателей до тысячетон­ ных турбин на гидроэлектростанциях. Разнообразные ро­ торные устройства, общее число которых в мире ныне составляет, вероятно, миллиарды единиц, характеризуют­ ся весьма широким диапазоном частот вращения, доходя­ щих до сотен тысяч оборотов в минуту. Ответственность этих устройств очень велика: поломки и аварии больших быстроходных роторов могут надолго вывести из строя важные инженерные объекты, нанести значительный эко­ номический ущерб, а в некоторых случаях угрожать здо­ ровью и даже жизни людей.

Вращение ротора сопровождается разнообразными ди­ намическими эффектами, в частности — колебаниями. Уже давно было замечено, что с увеличением угловой скорости ротора со размахи его колебаний, постепенно возрастают, а при некотором критическом значении угло­ вой скорости сокр — тем большей, чем больше жесткость вала,— развиваются особо значительные колебания (вал «бьет»). Также давно было понято, что это явление су­ щественно связано с неуравновешенностью ротора, по­ скольку даже при малых отклонениях центра тяжести ротора от оси вращения развиваются значительные цент­ робежные силы.

Хотя тщательное предварительное уравновешивание ротора заметно уменьшает размахи колебаний при уме­ ренных угловых скоростях, но, как показали наблюдения, юно не предотвращает возникновение критического состо­ яния и не влияет на критическое значение угловой ско­ рости. Поэтому довольно долго инженеры считали, что нужно стремиться не только к наилучшему уравновеши­ ванию роторов, но и к тому, чтобы делать их возможно

которое время оставалось невскрытой, так как слишком элементарные рассуждения качественного характера не могли объяснить все своеобразие динамики упругих ро­ торов. Понятно, например, что упругие прогибы линейно

но эти соображения — без записи и обсуждения соответ­ ствующих аналитических соотношений — не позволяют предсказать возможность возникновения критических со­ стояний или тенденцию к самоцентрированию в закритической области.

. Практика настоятельно требовала развития соответ­ ствующей теории, и первый принципиальный шаг в этом

*) Август Феппль (1854—19,24) — с 1893 г. профессор Мюпхен- *екого политехнического института, автор первого курса теории уп­ ругости для инженеров; известен рядом исследований в области механики твердого деформируемого тела. По поводу педагогиче­ ских воззрений А. Феппля С. П. Тимошенко писал (см. [64] ) : «В своей автобиографии Феппль обсуждает требования, которым должен удовлетворять хороший учебник. Весьма часто, замечает он, авторы учебников думают больше о критиках, собирающихся рецензировать их труд, чем о студентах. Чтобы угодить критикам, эти авторы стараются представить свой предмет в самых общих терминах и изложить его в насколько это возможно строгой фор­ ме. Читать такую книгу начинающим становится поэтому трудно». Ют себя спросим': так ли уж сильно улучшилось дело за истекшие с тех пор многие десятилетия?

ным. Движение, сопровождаемое перекосами диска и воз­ никновением гироскопических эффектов, А. Феппль не исследовал; это было сделано позднее другими авторами.

Модель Феппля — вероятно, самая простая из моде­ лей, достаточно адекватных реальным конструкциям,— позволила понять некоторые существенные черты дина­ мики упругих роторов и сыграла роль основы, на которой впоследствии развивалась более полная и соответственно более сложная теория. В этом развитии была выявлена и изучена роль множества не отраженных в модели Феппля обстоятельств: трения (внешнего и внутреннего), анизо­ тропии (внешней и внутренней), внешней динамической

асимметрии*), нелинейной упругости, гироскопических явлений, возникающих при перекосах срединной плоско­ сти диска и т. п. К этому нужно добавить, что упомяну­ тые влияния — порознь и в различных сочетаниях — ча­ сто приходилось изучать для многодисковых роторов и для роторов' с непрерывно распределенной массой.

К настоящему времени названные (и многие неназван­ ные) эффекты достаточно хорошо исследованы, накоплен обширный теоретический и опытный материал; благодаря своей важности и бесспорному своеобразию, динамика упругих роторов ныне образует достаточно самостоятель­ ный раздел механики — столь же четко оформившийся,, как, например, теория гироскопов.

Если оставить в стороне специфические нестационар­ ные задачи (например, задачи о разгоне роторов), то главное содержание динамики упругих роторов состоит в выявлении стационарных режимдв движения и в ана­ лизе их устойчивости. Последние две задачи связаны между собой — неустойчивые режимы как правило фи­ зически неосуществимы, и поэтому нельзя ограничиться выявлением стационарных режимов, оставив в стороне вопрос об их устойчивости. Добавим к этому, что контроль устойчивости необходим нё только . в тех случаях, когда из нескольких возможных стационарных режимов нужно выделить устойчивые, но и тогда, когда обнаружен толь­

ла тяжести при горизонтальном расположении оси.

Нашей теме посвящена обширная литература, веро­ ятно, тысячи названий журнальных статей и книг — в подавляющем большинстве вполне доброкачественных публикаций. Однако в отдельных работах встречаются недомолвки, а иногда и ошибочные трактовки вопросов, в сущности, давно изученных и бесспорных. Таких пуб­ ликаций немного, но и они способны причинить ущерб пониманию сути дела.

§ 29. Модель Феппля

Обратимся к описанной в § 28 модели и исследуем ее

ся, что после разгона, когда достигнута номинальная угло­ вая скорость, привод отключается, и изучается движение изолированной системы, когда внешние моменты на вал не действуют; 2) предполагается, что привод «идеальный», т. е. обеспечивает неизменность угловой скорости враще­ ния вала (например, при помощи маховика с весьма боль­ шим моментом инерции). Конечно, можно было бы пред­ положить и иные, более сложные условия. Так, например, имеет смысл задача о разгоне ротора, когда задается -либо вращающий момент, либо закон возрастания угловой ско­ рости в виде, скажем, линейной функции времени. Этих нестационарных задач мы касаться не будем.

Хотя эти две постановки задачи в принципе неодина­ ковы, однако, как показывают расчетные оценки, количе­ ственные различия между результатами невелики (см.,, например, с. 225 книги [7]), и поэтому естественно оста­ новиться на том из вариантов, который обещает боль­ шую простоту анализа. Чаще всего принимают, что со = const; при этом угловое движение диска можно счи­ тать заданным в виде ф = (ùt и остается определить лишь движение его центра масс С, координаты которого обо­ значим через x = x(t), y = y(t). Так поступим и мы.

Сила упругости вала определяется положением пецентра масс С, а точки М, и равна —сг, где с — коэффи­ циент жесткости вала (применительно к схеме, данной: на рис. 29.1, в случае коротких подшипников с = 48EJ/13,. причем I — длина вала, Е — модуль упругости материала вала, / — момент инерции сечения относительно его диа­ метра). Проекции силы упругости вала на неподвижные* координатные оси составляют

—схм= —с(х — е cos (ùt), —сум — —с(у — е sin (ùt) . (29.1 >

Введем в дифференциальные уравнения движения: также силу сопротивления, пропорциональную скорости

центра масс —Ьр; ее проекции на оси х и у равны —Ъх и

—by. Отметим, что силу впешнего трения можно было связать со скоростью точки М, однако такое изменение условий задачи непринципиально и может лишь незначи­ тельно повлиять на количественные результаты. При со­ ставлении дифференциальных уравнений движения влия­ нием веса диска пренебрежем. Таким образом, дифферен­ циальные уравнения движения центра масс С записыва­ ются в виде

тх = —с(х — е cos сùt) — Ъх, ту = —с(у —- е sin (dt) — by,

Понятно, что к имеет смысл собственной частоты недемп­ фированной системы; обычно к > п (малое трение).

В целом стационарному режиму соответствует равно­ мерное вращение неизменно изогнутой оси вала (пред­ ставляющей собой плоскую, кривую) вокруг прямой 0 0 , проходящей через центры подшипников, причем угловая скорость этого вращения в точности совпадаёт с заданной угловой скоростью вращения сечений вала ю; тацое дви­ жение называется прямой синхронной прецессией. Устой­ чивость этого стационарного режима почти очевидна. Ес­ ли он каким-либо образом нарушен, то для возмущений координат Ьх и ôу из (29.3) получаются следующие одно­ родные дифференциальные уравнения;

Отсюда непосредственно видно, что при любых заданных начальных значениях возмущений координат и их скоро­ стей решения этих уравнений описывают затухающие колебания, т. е. нарушения стационарного режима вызы­ вают только п р е х о д я щ и е эффекты, что* и свидетель­ ствует об асимптотической устойчивости решений (29.5).

Особенность прямой синхронной прецессии состоит в том, что деформации вала остаются н е и з м е н н ы м и во времени; деформированный вал совершает свое, дви­ жение с «замороженными» значениями деформаций, я следовательно, и напряжений. Диск, так же как и лю­ бое сечение вала, все время обращен к оси 0 0 одной и той же стороной, подобно Луне при ее движении вокруг Земли. Поэтому движение, которое в избранной выше ко­ ординатной системе выглядит как упругие колебания, в действительности никаких упругих колебаний не содер­

ло). Подчеркнем, что сказанное относится только к ста­ ционарному режиму — при любых его нарушениях, ко­ нечно, возникают переменные во времени дополнитель­ ные деформации.

Основным параметром стационарного режима можно считать данный в выражении (29.7) упругий прогиб ва­ ла г, потому что именно он определяет уровень напряже­ ний в конструкции. При возрастании значений со прогиб jr изменяется так же, как меняется амплитуда вынужден-