книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

делают силы инерции, исходя из недеформнрованной схе­

которое для наиболее напряженного сечения х — 0 выра­ жается формулой

(v — скорость конца стержня).

При необходимости теперь можно вычислить дефор­

знаваемые в конце выкладок, не были учтены в начале. Для уточненного решения нужно исходить не из

(37.1), а из соотношения

р{х) = pF(ù2(x + и),

в котором учтено изменение положений элементов вдоль оси стержня из-за его деформаций. Далее нужно обра­

В предельном случае, когда т ->■ 0, имеем

и критическое состояние возникает при условии

M(Ù4 __ ,

Вторая часть статьи Брюиеля посвящена задаче о растяжении вращающегося диска постоянной толщины центробежными силами. Если при обычной постановке задачи основное уравнение записывается в виде

то при учете радиальных перемещении элементов диска получено

Решение выражено через бесселевы функции и далее ус­ тановлено, что при достаточно большой угловой скорости диска наступает критическое состояние такого же типа, как и при вращении стержня.

По поводу таких решений нужно сделать одно крити­ ческое замечание общего характера. При анализе состо­ яний, для которых типичны заметные перемещения и большие деформации, естественно не забывать и о свой­

конце, причем упругая характеристика стержня прини­ малась нелинейной. В этой своеобразной системе придостаточно больших угловых скоростях появляется более чем одно состояние равновесия и возникают перескоки из неустойчивых состояний в устойчивые. Те же эффек­ ты можно обнаружить и в задаче о вращении кольца из низкомодульного материала (рис. 37.1, б), свойства кото­ рого определяются не законом Гука, а нелинейным соот­

ношением; для иллюстрации примем его в виде

ная площадь сечения.

Масса, приходящаяся на единицу длины осевой линии

то интенсивность распределенной нагрузки центробежны­ ми силами определяется выражением

рF R

Р = ®2(в о + и) = P W

(отметим, что она не меняется при деформации) . Окруж­ ное растягивающее усилие в сечении кольца находится по известному выражению

N = р (Д0 + и) = pF0R0(ù2(Д0 + и) .

Если считать, что при переходе в деформированное со­ стояние плотность материала не меняется (коэффициент Пуассона v = 0,5), то площадь сечения кольца в дефор­ мированном состоянии определяется выражением

F = F0R0/(Д0 + и)

и-для окружного напряжения получаем*)

Теперь образуем основное уравнение нашей задачи, приравняв (37.12) выражению (37.11), в которое под­ ставлено 8 = U/RQ:

PaW l(l+u/R0)* = K(u/R0y 13.

*) Здесь имеется в виду и с т и н н о е напряжение, рассчиты­ ваемое с учетом изменения площади сечения. Предполагается, что в законе деформирования (37.11) под а понимается также истин­ ное напряжение.

Это уравнение представим в виде

На рис. 37.2 показано графическое решение этого уравнения. По оси абсцисс отложены значения относитель­ ного удлинения U/ R Q; сплошная прямая соответствует ле­ вой части уравнения (37.13) для некоторого значения (p/K)l/2(ùR0, а кривая — правой части. Абсциссы точек пересечения прямой и кривой определяют два корня

Рис. 37.2. Схема к графическому решению уравнения (37.13)

уравнения (37.13) (большему корню соответствует со­ стояние неустойчивого равновесия). Прямая проходит че­ рез точку А (—1, 0) при любых значениях угловой ско­ рости о), но с ее возрастанием угол наклона прямой к оси абсцисс увеличивается. При достаточно большом зна­

весия вообще нет. Для определения критической угло­ вой скорости нужно приравнять производные обеих ча­ стей* (37.13) по аргументу u/R0:

Согласно (37.11) точке В соответствует напряжение

ов = 0,5848üT.

Если предел прочности материала стержня меньше, чем Ов, то критическое состояние станет недостижимым и раз­ рушение произойдет при угловой скорости, меньшей, чем сокР.

§ 38. О динамическом продольном изгибе

Конечно, название настоящего параграфа не вполне ясно характеризует его содержание,-— под динамическим продольным изгибом можно понимать существенно раз­ личные явления и для их анализа нужны несовпадающие математические средства. Под задачей о динамическом продольном изгибе можно понимать как задачу об устой­ чивости прямолинейной формы оси стержня, нагруженно­ го периодической продольной силой (в этом случае чаще говорят о параметрических колебаниях и параметриче­ ском резонансе), так и задачу о продольном изгибе, вы­ зываемом внезапно приложенной осевой нагрузкой. .Пер­ вая из этих задач относительно широко известна, имеет уже шестидесятилетнюю историю (впервые она была по­ ставлена в 1924 г. H. М. Беляевым *) ), и здесь мы ее касаться не будем**), ниже речь пойдет только о второй задаче, которая в различных постановках изучается на­ чиная с 40-х годов этого векй***).

В различных, довольно близких, вариантах оно было предложено несколькими авторами, в частности Джераром и Бэкером (см. [1]); о его логической обоснованности пусть сначала судит сам читатель, проследив за следу­ ющими выкладками.

Джерар и Бэкер напоминают известный результат изу­ чения статической устойчивости сжатого стержня с жест­

где <5кР~ критическое напряжение, Е — модуль упругости, г — радиус инерции поперечного сечения, I — длина стержня. Из выражения (38.1) можно найти критическую

*) Николай Михайлович Беляев (1890—1944) — советский ме­ ханик, член-корреспондент Академии наук СССР (с 1939 г.). С 1934 г.— профессор Ленинградского путейского института. Ряд работ по устойчивости упругих стержней при действии продоль­ ных периодических сил, проблеме контактных деформаций, тео­ рий пластичности.

**) Этой проблеме посвящена книга В. В. Болотина [12].

***) Как известно, для исследования устойчивости стержней при действии следящих нагрузок также необходимы методы дина­ мики, однако проявление неустойчивости в этом случае не приня­ то называть динамическим продольным изгибом.

длину стержня, нагруженного заданным сжимающим на­ пряжением о:

Упомянутые авторы приписали формуле (38.2) универ­ сальный смысл и считали ее справедливой не только для

<5

<*>

L -

N / ^

0

условий статического нагружения, но и вообще для любых случаев,— в частности, для условий внезапного нагруже­ ния прямолинейного стержня сжимающим напряжением о (см. рис. 38.1, а), когда возникает волна сжатия, распро­ страняющаяся со скоростью

Полученные результаты толкуются следующим обра­ зом. Если длина стержня меньше чем (38.2), то потери устойчивости вообще не происходит, сколько бы ни дли­ лось действие напряжений. Устойчивость сохраняется